（新课标）高考数学二轮复习 专题8 选修4系列 文.doc

专题8 选修4系列 文 几何证明选讲训练提示: 主要训练利用三角形相似、圆内接四边形的性质以及与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的相交弦定理、切割线定理、割线定理等知识求线段、角的大小或证明线段成比例、角相等等.1.(2015河南模拟)如图,已知圆o是abc的外接圆,ab=bc,ad是bc边上的高,ae是圆o的直径.过点c作圆o的切线交ba的延长线于点f.(1)求证:acbc=adae;(2)若af=2,cf=22,求ae的长.(1)证明:连接be,由题意知abe为直角三角形.因为abe=adc=90,aeb=acb,所以abeadc,所以abad=aeac,即abac=adae.又ab=bc,所以acbc=adae.(2)解:因为fc是圆o的切线,所以fc2=fafb,又af=2,cf=22,所以bf=4,ab=bf-af=2,因为acf=fbc,cfb=afc,所以afccfb.所以affc=acbc,得ac=afbccf=2,在abc中,由余弦定理可得cos acd=24,所以sinaeb=sinacd=144,又在rtabe中,sinaeb=abae,所以ae=absinaeb=4147.坐标系与参数方程训练提示: 主要训练参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化以及有关最值的求解.2.(2014新课标全国卷)已知曲线c:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线c的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线,交l于点a,求|pa|的最大值与最小值.解:(1)曲线c的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线c上任意一点p(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|.则|pa|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|pa|取得最大值,最大值为2255,当sin(+)=1时,|pa|取得最小值,最小值为255.3.(2015三门峡适应性测试)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=-1+tcos,y=tsin,(t为参数,0,2)(2,),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为=22sin (+4).(1)求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程;(2)若曲线c与直线l交于a,b两点,且|ab|=6,求tan 的值.解:(1)由直线l的参数方程x=-1+tcos,y=tsin消去参数得直线l的普通方程为y=tan (x+1).曲线c的极坐标方程=22sin (+4)展开得=2cos +2sin ,化为直角坐标方程得x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2.(2)(x-1)2+(y-1)2=2表示圆心为(1,1),半径为2的圆,则圆心到直线y=tan (x+1)的距离d=|2tan-1|1+tan2=2-(62)2=22,化简得7tan2-8tan +1=0,解得tan =1或tan =17.4.(2015辽宁锦州质检)已知直线l经过点p(1,1),倾斜角=6,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于a,b两点,求点p(1,1)到a,b两点的距离之积.解:(1)直线l的参数方程为x=1+tcos 6,y=1+tsin 6,(t为参数).即x=1+32t,y=1+12t.(t为参数).(2)把直线x=1+32t,y=1+12t代入x2+y2=4,得(1+32t)2+(1+12t)2=4,即t2+(3+1)t-2=0,t1t2=-2,则由参数t的几何意义知点p到a,b两点的距离之积为2.5.(2015郑州第一次质量预测)在直角坐标系xoy中,以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆c的极坐标方程为=22cos (+4),直线l的参数方程为x=t,y=-1+22t,(t为参数),直线l和圆c交于a,b两点,p是圆c上不同于a,b的任意一点.(1)求圆心的极坐标;(2)求pab面积的最大值.解:(1)圆c的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为(2,74).(2)直线l的普通方程为22x-y-1=0,圆心到直线l的距离d=|22+1-1|3=223,所以|ab|=22-89=2103,点p到直线ab距离的最大值为r+d=2+223=523,smax=122103523=1059.不等式选讲训练提示: 主要训练绝对值不等式的解法、含参不等式恒成立(或有解)问题的解法以及不等式的证明等.6.(2015黑龙江高三模拟)设不等式|2x-1|1的解集是m,a,bm.(1)试比较ab+1与a+b的大小;(2)设max a表示数集a的最大数.h=max(2a,a2+b2ab,2b),求证:h2.解:由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1.所以m=x|0x1.(1)由a,bm得0a1,0b0,故ab+1a+b.(2)由h=max(2a,a2+b2ab,2b)得h2a,ha2+b2ab,h2b,所以h32aa2+b2ab2b=4(a2+b2)ab8,故h2.7.(2015兰州监测)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(ar).(1)当a=4时,求不等式f(x)5的解集:(2)若f(x)4对ar恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=4时,|x-1|+|x-a|5 等价为x1,-2x+55,或1x4,2x-55,解得x0或x5,所以不等式f(x)5的解集为x|x0或x5.(2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,所以f(x)min=|a-1|,要使f(x)4对ar恒成立,则需|a-1|4即可,所以a-3或a5.即实数a的取值范围是(-,-35,+).8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac13;(2)a2b+b2c+c2a1.证明:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.又a+b+c=1,所以a2b+b2c+c2a1. 类型一:几何证明选讲1.(2015贵州省适应性测试)如图所示,已知o1和o2相交于a,b两点.过点a作o1的切线交o2于点c,过点b作两圆的割线,分别交o1,o2于点d,e,de与ac相交于点p.(1)求证:pead=pdce;(2)若ad是o2的切线,且pa=6,pc=2,bd=9,求ad的长.(1)证明:连接ab,因为ac是o1的切线,所以bac=d.又因为bac=e,所以d=e.又apd=cpe,所以pcepad,所以pepd=cead,即pead=pdce.(2)解:设bp=x,pe=y,因为pa=6,pc=2,所以xy=12.由(1)知adpcep,所以dpep=apcp,即9+xy=62,由可得x=3,y=4或x=-12,y=-1(负值舍去),所以de=9+x+y=16.因为ad是o2的切线,所以ad2=dbde=916.所以ad=12.2.(2015三门峡适应性测试)如图,abc是直角三角形,acb=90,以ac为直径的圆o交ab于f,点d是bc的中点,连接od交圆o于点e.(1)求证:o,c,d,f四点共圆;(2)求证:2df2=deab+deac.证明:(1)连接cf,of,因为ac为直径,所以cfab,因为o,d分别为ac,bc的中点,所以odab,od=12ab,所以cfod.因为of=oc,所以eof=eoc,在ocd和ofd中,因为oc=of,eoc=eof,od=od,所以ocdofd.所以ocd=ofd=90.所以o,c,d,f四点共圆.(2)设圆的半径为r,因为由(1)知offd,所以fd是圆的切线,所以df2=de(do+r)=dedo+der=de12ab+de12ac.故2df2=deab+deac.类型二:坐标系与参数方程3.(2015兰州第二次监测)已知平面直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),以o为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.c2的极坐标方程为(cos -sin )+5=0.(1)求曲线c1的普通方程和c2的直角坐标方程;(2)设p为曲线c1上任意一点,m为c2上的任意一点,求|pm|的最小值.解:(1)由x=cos,y=1+sin(为参数)得x2+(y-1)2=1,由(cos -sin )+5=0得cos -sin +5=0,即x-y+5=0.(2)由(1)知c1为以(0,1)为圆心,1为半径的圆,c2为直线,因为c1的圆心(0,1)到c2的距离为|0-1+5|2=221.所以c2与c1没有公共点.所以|pm|的最小值为22-1.4.(2015上饶三模)已知直角坐标系xoy和极坐标系ox的原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系中,曲线c的参数方程为x=2cos,y=sin,(为参数).(1)在极坐标系下,若曲线c与射线=4和射线=-4分别交于a,b两点,求aob的面积;(2)在直角坐标系下,给出直线l的参数方程为x=2+22t,y=22t(t为参数),求曲线c与直线l的交点坐标.解:(1)曲线c在直角坐标系下的普通方程为x24+y2=1,将其化为极坐标方程为2cos24+2sin2=1,分别代入=4和=-4,得|oa|2=|ob|2=85,因为aob=2,故aob的面积s=12|oa|ob|=45.(2)将l的参数方程代入曲线c的普通方程,得4+22t+12t24+12t2=1,即22t+58t2=0,解得t=0或t=-425,代入l的参数方程,得x=2,y=0或x=65,y=-45,所以曲线c与直线l的交点坐标为(2,0)和(65,-45).5.(2015石嘴山高三联考)已知曲线c1的参数方程为x=-t,y=3t(t为参数),当t=1时,对应曲线c1上的点为a,当t=-1时,对应曲线c1上的点为b.以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=64+5sin2.(1)求a,b的极坐标;(2)设m是曲线c2上的动点,求|ma|2+|mb|2的最大值.解:(1)当t=1时,x=-1,y=3,即a的直角坐标为(-1,3);当t=-1时,x=1,y=-3,即b的直角坐标为(1,-3).所以a的极坐标为(2,23),b的极坐标为(2,53).(2)由=64+5sin2得2(4+5sin2)=36.所以曲线c2的直角坐标方程为x29+y24=1.设曲线c2上的动点m的坐标为(3cos ,2sin ),则|ma|2+|mb|2=10cos2+1626.所以|ma|2+|mb|2的最大值为26.类型三:不等式选讲6.(2015九江二模)已知函数f(x)=|2x-a|+a(ar),且不等式f(x)6的解集为x|-2x3.(1)求实数a的值;(2)若存在实数n使得f(n)m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.解:(1)由|2x-a|+a6得|2a-a|6-a,6-a0,所以a-62x-a6-a,即a-3x3,所以a-3=-2,即a=1.(2)由(1)知f(x)=|2x-1|+1,令 (n)=f(n)+f(-n),则(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=2-4n(n-12),4(-1212).(n)的最小值为4,所以m4,即实数m的取值范围是4,+).7.(2015河南六市第一次联考)设不等式-2|x-1|-|x+2|0的解集为m,a,bm.(1)证明: |13a+16b|14,(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.解:(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x-2,-2x-1,-21,由-2-2x-10解得-12x12,即m=(-12,12),所以|13a+16b|13|a|+16|b|1312+1612=14,即|13a+16b|14;(2)由(1)得a214,b20.故|1-4ab|24|a-b|2,即|1-4ab|2|a-b|.8.(2015石嘴山高三联考)已知a,b,cr,且a2+b2+c2=1.(1)求证:|a+b+c|3;(2)若不等式|x-1|+|x+1|(a