九年级数学竞赛专题讲座_二次函数的最值问题(含答案).pdf

九年级数学竞赛专题讲座 二次函数的最值问题 一 内容概述 对二次函数 2 0 yaxbxc a 若自变量为任意实数 则取最值情况为 1 当0 2 b ax a 时 2 4 4 acb y a 最小值 2 当0 2 b ax a 时 2 4 4 acb y a 最大值 若自变量x的取值范围为 x 则取最值分0a 和0a 两种情况 由 与 2 b a 的大小关系确定 1 对于0a 1 当 2 b a 因为对称轴左侧y随x的增大而减小 所以y的最大值为 y 最小值为 y 这里 y y 分别是y在x 与x 时的函数值 2 当 2 b a 因为对称轴右侧y随x的增大而增大 所以y的最大值为 y 最小值为 y 3 当 2 b a y的最大值为 y y 中较大者 y的最小值为 2 b y a 2 对于0a 1 当 2 b a y的最大值为 y 最小值为 y 2 当 2 b a y的最大值为 y 最小值为 y 3 当 2 b a y的最小值为 y y 中较大者 y的最大值为 2 b y a 综上所述 求函数的最大 最小值 需比较三个函数值 y y 2 b y a 二 例题二 例题解析解析 例例 1 已知 12 x x是方程 22 2 35 0 xkxkk 的两个实数根 求 22 12 xx 的最大值和最小 值 解 由于题给出的二次方程有实根 所以0 解得 4 4 3 k y 22 12 xx 2 1212 2xxx x 2 106kk 函数y在 4 4 3 k 随着k的增大而减小 当4k 时 8y 最大值 当 4 3 k 时 50 9 y 最小值 例例 2 1 求函数 2 43yxx 在区间25x 中的最大值和最小值 2 已知 1y 且21xy 求 22 2163xxy 的最小值 解 1 若 2 40 2 xx 即则 2 34yxx 2 325 24 yx 若 2 40 2 xx 即则 2 34yxx 2 325 24 yx 由此在25x 画出草图 2 325 24 yx 25x 当5x 时 6y 最大值 当2x 时 6y 最小值 对 2 325 24 yx 22x 当 3 2 x 时 25 4 y 最大值 2x 时 6y 最小值 综上所述 2x 时 6y 最小值 当 3 2 x 时 25 4 y 最大值 2 由21xy 得 1 2 y x 1 2yx 由1y 得11x 故01x 2222 119 2163144314 77 zxxyxxx z为开口向上 对称轴为 1 7 x 的抛物线 虽然有最小值19 7 但 1 7 x 不在01x 的范围内 因此不是所求的最值 又0 x 时 3z 1x 时 21z 所求的最小值为 3 例例 3 有两条抛物线 22 3 9yxx yx 通过点 0 P t且平行于y轴的直线 分别交这两条抛 物线于点 A 和 B 当t在 0 到 3 的范围内变化时 求线段 AB 的最大值 解 A 和 B 的纵坐标分别为 22 3 9ttt AB 2222 381 9 3 2392 48 tttttt 当 3 4 t 时 线段AB取得最大值 81 8 例例 4 4 已知二次函数 22 962yxaxaa 11 33 x 有最大值 3 求实数a的值 分析 本题是关于二次函数最值的 逆向问题 由题设知 二次函数 22 962yxaxaa 的对 称轴是 3 a x 而x的取值范围是 11 33 x 所以要对 3 a 是否在x的取值范围内讨论求解 解 1 若 11 333 a 即11a 抛物线开口向下 当 3 a x 时 2ya 最大值 二次函数最大值3 即 3 2 a 与11a 矛盾 舍去 2 若 1 1 33 a a 即 当 11 33 x 时 y随x增大而减小 当 1 3 x 时 2 41yaa 最大值 由 2 413 26aaa 解得 又1a 26a 3 若 1 1 33 a a 即 当 11 33 x 时 y随x增大而增大 当 1 3 x 时 2 1ya 最大值 由 2 13 2aa 解得 又1a 2a 综上所述 26a 或2a 例例 5 在坐标平面上 纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点 试在二次函数 2 9 10105 xx y 的图像 上找出满足yx 的所有整点 x y 并说明理由 解 yx 即 2 18 10 xx x 2 18 10 xxx 当0 x 时 式即为 2 1810 xxx 解得29x 此时 满足条件的点有 2 2 4 3 7 6 9 9 当0 x 时 2 1810 xxx 解得63x 此时满足条件的点有 6 6 3 3 综上所述 满足条件的整点 共有 6 个 例例 6 求分式 2 2 365 1 1 2 xx xx 的最小值 解 令 2 2 2 3652 6 1 22 1 2 xx y xx xx 问 题 转 化 为 考 虑 函 数 2 22zxx 的最小值 22 22 1 1zxxx 当1x 时 min 1z min 4y 例例 7 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上 求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 解 设矩形 PNDM 的边 DN x NP y 于是矩形 PNDM 的面积Sxy 24x 易知 CN 4x EM 4y 且有 NPBCBF CNAF 即 31 42 y x 所以 1 5 2 yx 2 1 5 2 Sxyxx 24x 所有根据二次函数的性质可得当4x 时 max 12S 例 7 二次函数的最值问题训练题 班级 姓名 学号 1 填空 1 已知函数 2 11 03 22 yxxx 当x 时 y取最大值是 当 x 时 y取最小值是 2 已知抛物线 2 0 yaxbxc a 的开口向上 对称轴是直线2x 当 123 0 3 3xxx 对应的值y分别是 1 y 2 y 3 y 则 1 y 2 y 3 y的大小关系是 3 函数 2 24 04 yxxx 的最大值与最小值分别是 4 已知二次函数 2 2yxxa 01x 的最大值是 3 那么a的值为 2 设x为正整数 则函数 2 1 yxx x 的最小值是多少 3 已知 01x 函数 2 2 a yxax 的最小值为m 试求m的最大值 4 对于任意实数x 不等式 2 10kxkx 恒成立 求k的取值范围 5 如图 半径为 1 的半圆内接等腰梯形 其下底是半圆的直径 试求 1 它的周长y与腰长x之间的函数关系式 并求出自变量x的取值范围 2 当腰长为何值时 周长有最大值 这个最大值为多少 A B O D C x 6 已知实数a b满足等式 2 2 23ab 求 b a 的最大值和最小值 7 已知 方程 22 2 1 212170 xkxkk 两根为 1 x 2 x 求 22 12 xx 的最大值与最小值 并求 此时方程的根 8 根据某服装店统计 服装价格每提高 3 出售服装的件数就要降低 2 设某种服装提价 x 结果 每天的经营收入 价格 出售价数 为原来的 y 倍 1 写出 y 与 x 的函数关系 2 要使经营收入不降低 x 应控制在什么范围内 3 当 x 是什么值时 能使经营收入最多 9 求函数 2 2 21 21 xax y xbx 的最值 参考答案参考答案 1 1 x 1 y 1 x 3 y 1 2 231 yyy 3 最大值与最小值分别为 2 0 4 a 0 2 1 3 a 0 时 m 有最大值 0 a 1 时 m 有最大值 0 25 a 2 时 m 有最大值 0 4 4 k 0 5 1 0 x 2 2 x 1 时 周长最大为 5 6 当 13 22 ab 时 b a 取得最小值3 当 13 22 ab 时 b a 取得最小值3 7 k 8 时 最大值为 98 方程为 2 14490 xx 两根为 7 k 2 时 最小值为 2 方程为 2 210 xx 两根为 1 8 1 1 1 100150 xx y 2 0 x 50 3 当 x 25 时 最多 9 解 把 2 2 21 21 xax y xbx 化为关于 x 的二次方程 2 12 1 0y xa by xy 要使这个方程有实数根 则根据 222 1 2 1 10byabya 2 10b 即1b 1 2 2 1 1 abab y b 2 1 1 abab y b 或 2 1 1 abab y b 2 1 1 abab y b 极大值 2 1 1 abab y b