一阶线性偏微分方程.doc

第七章 一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程1基本概念1） 一阶线性齐次偏微分方程形如 （7.1）的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中是自变量，是的未知函数，是域内的已知函数，并设在域内不同时为零。2） 一阶拟线性偏微分方程形如 （7.2）的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中是个变元的已知函数。在其定义域内不同时为零。所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设和在域内连续可微。3） 特征方程组 常微分方程组 （7.3）称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。常微分方程组 （7.4）称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。4）首次积分对一般的常微分方程组 （7.5）其中，右端函数都在某个域内连续，设在域内连续可微，并且不是常数。如果以方程组（7.5）的任一解代入之后，使得函数等于与无关的常数，则称表达式为方程组（7.5）的一个首次积分，其中是任意常数，有时也简称为首次积分。设是方程组（7.5）个首次积分，如果雅可比矩阵中某个阶子阵的行列式不为零，而所有阶子阵的行列式都等于零，即雅可比矩阵的秩为，则称是方程组（7.5）的个独立的首次积分。2基本理论与基本方法1）常微分方程组的首次积分解法定理7.1 设已知微分方程组（7.5）的个独立的首次积分则它们构成方程组（7.5）的通积分（或隐式解），并由它们可确定含个任意常数的函数组则该函数组就是微分方程组（7.5）的通解。常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组（7.5）的个独立的首次积分来得到它的通积分（或通解）的方法。首次积分一般可通过下列两种方法得到 把方程组（7.5）中的部分或全部方程进行重新组合，引进新的变量代换，以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。 利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数。2）一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系定理7.2 设函数在域内连续可微，并且不是常数，则是常微分方程组（7.5）的首次积分的充分必要条件为在域内成立恒等式。设在域内连续可微，并且代入方程（7.1）之后，能使该式在域内成为恒等式，则称是方程（7.1）的一个解，域是该解的定义域。定理7.3 是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的解的充分必要条件是是方程（7.1）的特征方程组 （7.3）的首次积分。3）一阶线性齐次偏微分方程的解法 定理7.4 设是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）对应的特征方程组（7.3）的个独立的首次积分，是任意的连续可微函数，则 （7.6）包括了方程（7.1）的所有解，称（7.6）为（7.1）的通解。对方程（7.1）可给出如下的初始条件 （7.7）其中为中某一数，是给定的数，为某一给定函数，求一阶线性齐次偏微分方程（7.1）满足初始条件（7.7）的解的问题称为初值问题或柯西问题。定理7.5 假设方程（7.1）中在域内连续可微，且，则初值问题存在唯一的解，其中是任意给定的数，是变元的已知可微函数。一阶线性齐次偏微分方程的解法步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组（7.3）。步骤2 求出常微分方程组（7.3）的个独立的首次积分。步骤3写出通解 ，其中是各变元的任意连续可微函数。4）一阶拟线性偏微分方程的解法定理7.6 设是常微分方程组（7.4）的个独立的首次积分，那么，若 （7.8）并能从（7.8）确定函数，则（7.8）即为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的通解，其中为的任意连续可微函数。一阶拟线性偏微分方程的解法步骤1 首先写出（7.2）的特征方程组（7.4）。步骤