初一数学竞赛讲座(二).pdf

初一数学竞赛讲座 二 特殊的正整数 一 知识要点 1 完全平方数及其性质 定义1 如果一个数是一个整数的平方 则称这个数是完全平方数 如 1 4 9 等都 是完全平方数 完全平方数有下列性质 性质1 任何完全平方数的个位数只能是0 1 4 5 6 9中的一个 性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数 性质3 偶完全平方数是4的倍数 性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数 性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数 完全平方数与非完全平方数的积是 非完全平方数 2 质数与合数 定义2 一个大于1的整数a 如果只有1和a这两个约数 那么a叫做质数 定义3 一个大于1的整数a 如果只有1和a这两个约数外 还有其他正约数 那么a叫做合 数 1既不是质数也不是合数 3 质数与合数的有关性质 1 质数有无数多个 2 2是唯一的既是质数 又是偶数的整数 即是唯一的偶质数 大于2的质数必为奇数 3 若质数p a b 则必有p a或p b 4 若正整数a b的积是质数p 则必有a p或b p 5 唯一分解定理 任何整数n n 1 可以唯一地分解为 其中p1 p2 11 一定可以表示成两个合数之和 评注 本题是通过对整数的合理分类来帮助解题 这是解决整数问题的一种常用方 法 但要注意对整数的分类要不重复不遗漏 例9 证明 n n 1 1 n是自然数 不能是某个整数的平方 分析 注意到n n 1 1 n2 n 1 n是自然数 n2 n2 n 1 n 1 2 这为我们证 题提供了出发点 证明 n n 1 1 n2 n 1 n是自然数 n2 n2 n 1 n 1 2 而n n 1是两个相邻的自然数 n n 1 1 n是自然数 不能是某个整数的平方 评注 本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个 结论 例10 如果一个自然数是质数 且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数 则称这 个数为绝对质数 证明 绝对质数不能有多于三个不同的数字 分析 绝对质数中出现的数字不会有偶数 也不会有5 因为有偶数和5它就一定不是 绝对质数 则绝对质数中出现的数字只可能是1 3 7 9 接下来用反证法来证明这个问 题 证明 因为绝对质数的数字位置经过任意交换后仍然是质数 所以绝对质数中出现的 数字不会有偶数 也不会有5 即绝对质数中出现的数字只可能是1 3 7 9 假设有一个绝对质数M中出现的数字超过了3个 也即这个绝对质数中出现的数 字包含了1 3 7 9 则 M2 M 9137 M3 M 7913 M4 M 3791 M5 M 1397 M6 M 3197 M7 M 7139都 是质数 可验证 这七个数中每两个数的差都不能被7整除 说明M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7被7除所得余数互不相同 因而必有一个是0 即能被7整除 这与此数是质数 矛盾 所以假设不成立 所以绝对质数不能有多于三个不同的数字 评注 本题是用反证法来证明 对于题目中出现 不 的字眼 常常用反证法来证明 三 巩固练习 选择题 1 在整数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中 设质数的个数为x 偶数的个数为y 完全平方数的个数为z 合数的个数为u 则x y z u的值是 A 17 B 15 C 13 D 11 2 设n为大于1的自然数 则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是 A 3n2 3n 3 B 5n2 5n 5 C 9n2 9n 9 D 11n2 11n 11 3 有3个数 一个是最小的奇质数 一个是小于50的的最大质数 一个是大于60的最 小质数 则这3个数的和是 A 101 B 110 C 111 D 113 4 两个质数的和是49 则这两个质数的倒数和是 A B C D 5 a b为正整数 且56a 392b为完全平方数 则a b的最小值等于 A 6 B 7 C 8 D 9 6 3个质数p q r满足等式p q r 且p qn2 且 则n1 n2 解答题 13 证明 不存在这样的三位数 使成为完全平方数 14 试求四位数 使它是一个完全平方数 15 a b c d都是质数 且10 c d 20 c a是大于2的质数 d 2 c 2 a 3b a b 求a b c d的值 16 设a b c d是四个整数 且是非零整数 求证 是合数 17 求一个三位数 使它等于n2 并且各位数字之积为n 1 18 设