13.5函数的连续性.docx

常熟市技工学校教 案 授课日期 班级课题： 13.5函数的连续性 教学目的要求： 1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，3.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1.函数连续性的有关概念及其应用2.间断点及其分类教学难点：1点连续性及复合函数连续性的概念及其应用2函数的连续性的判定授课方法：探究研讨法，讲练结合法等教学参考及教具（含多媒体教学设备）：学习指导用书计算机投影仪授课执行情况及分析：变量的变化有两种形式，渐变和突变，用数学语言描述就是连续和间断。板书设计或授课提纲授课内容一 函数连续性的概念1. 增量 设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差就叫做变量的增量，又叫做的改变量，记作，即=.显然自变量的改变量，函数的改变量.2.函数在点x处的连续性函数在x处连续，反映到图像上即为曲线在x的某个邻域内是连绵不断的没有间断的，如图1-12所示，如果函数是不连续的，其图像就在该点处间断了，如图1-12所示.给自变量一个增量，相应地就有函数的增量，且当趋于0时，的绝对值将无限变小. 图 1-12 图 1-13定义设函数在点x及其左右近旁有定义，如果，那么称函数在点x处连续.令，则当时，同时时，.于是有定义设函数在点x及其左右近旁有定义，且有,则称函数在点x处连续.例1 证明函数在点 处连续.证明 =0 ，又，即.由定义知，函数在点1处连续.由定义可知，在点x连续必须同时满足三个条件：（1）函数在点x有定义；（2）存在；（3）.例2 判断函数= 在点1处是否连续？ 解 在点1处及其附近有定义， ，且 ， ，于是，因此，函数在1处连续. 3 .函数在区间(a,b)内（或a,b上）的连续性定义如果函数在区间(a,b)内每一点连续，则称函数在区间(a,b)内连续，区间(a,b)称为函数的连续区间；如果函数在区间(a,b)内连续，并且则称函数在闭区间上连续，区间a,b称为函数的连续区间.在连续区间上，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线.学生练习：P57二。函数的间断点定义 如果函数在点x处不满足连续的条件，则称函数在点x处不连续或间断.点x叫做函数的不连续点或间断点.显然，如果函数在点x处有下列三种情形之一，则点x为的间断点.（1）在点x处没有定义；（2）不存在；（3）虽然有定义，且存在，但.通常把函数间断点分为两类：函数在点x处的左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；否则称为第二类间断点.在第一类间断点中左右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点.例3讨论函数=的连续性.解 函数=在点x=2处没有定义，所以x=2是该函数的间断点. 由于，即当2时，极限是存在的，所以x=2是第一类的可去间断点（图1-14）.图1-14例4 讨论函数= 在x=0处的连续. 解 函数虽在0处有定义，但， ，即在点0处左右极限不相等，所以不存在，因此点0是函数的第一类的跳跃间断点（图1-15）.图1-15例5 讨论函数的间断点，并判断其类型.解 函数在0处无定义，所以0是间断点.由于 ， ，即在点0处左、右极限都不存在.所以 0是函数的第二类间断点.叫做无穷间断点.例6 对于函数，当时，的值在-1与1之间振荡，和都不存在，所以0是的第二类间断点，叫做振荡间断点.三、 初等函数的连续性 1.基本初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数的和、差、积、商的连续性如果，都在点x处连续，则， ，都在点x处连续（证略）.3.复合函数的连续性 设函数在点处连续，又函数在点x处连续，且，则复合函数在点x处连续.这个法则说明了连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得到如下结论： .特别地当时， ，这表示对连续函数极限符号与函数符号可以交换次序.根据上述法则可以证明以下重要定理：4. 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义域内都是连续的.因此，在求初等函数在其定义域内某点处的极限时，只须求函数在该点的函数值即可.例7 求下列极限： （1） ； （2）； （3）（）； （4）.解 （1）因为是函数定义区间内的一个点，所以.（2）因为x=2不是函数内的点，自然不能将x=2代入函数计算.当时，我们先作变形，再求其极限： =.（3）.（4）令 .四、 闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有一些重要性质，这些性质在直观上比较明显，因此我们在此只做介绍，不予证明.定理（最大值、最小值性质）设函数在闭区间上连续，则函数在上一定能取得最大值和最小值.如图1-16 所示，函数在区间上连续，在处取得最小值f()=m,在处取得最大值f()=M. 图1-16推论1：闭区间上的连续函数是有界的.定理（介值性质） 如果在上连续,是介于的最小值和最大值之间的任一实数，则在点a和b之间至少可找到一点，使得（图1-17 ）.可以看出水平直线 （，与上的连续曲线至少相交一次，如果交点的横坐标为，则有.图1-17推论2（方程根的存在定理）如果函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点. 如图1-18 所示 ， ，连续曲线上的点由A到B，至少要与x轴相交一次.设交点为，则.图1-18例8 证明方程至少有一个根介于0和1之间.证明 设=上连续，且 ， .根据性质2的推论，至少存在一点 ，使，此即说明了方程至少有一个根介于0和1之间.