反比例函数讲座.doc

反比例函数课标要求：1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式2.能画出反比例函数图象，根据图像和解析表达式探索并理解其性质3.能用反比例函数解决某些实际问题考试说明：限于A级,B级要求，与课标要求相近知识点1：反比例函数解析式一【专题解读】函数(k0)叫做反比例函数，也可以写成xy=k（k0）或y=kx-1（k0）,它的自变量的取值范围是x0的所有实数，因为反比例函数(k0)只有一个常数k，所以求反比例函数表达式也就是求k，要注意两点：（1）(k0)；若写成y=kx-1是，x的指数是-1.例1.判断下列各式是否表示y是x的反比例函数，若是，指出比例系数k的值；若不是，指出是什么函数.（1） （2）（3） （4）（5）例2.根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.（1）面积为常数m的长方形的长y与宽x之间的关系；（2）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看完的页数y与天数x之间的关系.例3.（1）若反比例函数的图象经过点（3，2），则解析式为（2）若一次函数y=2x+l的图象与反比例函数图象的一个交点横坐标为l，则反比例函数关系式为（3）若函数y=（m+2）|m|-3是反比例函数，则m的值是（ ）知识点2.反比例函数图像及性质【专题解读】 反比例函数的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k的关系有如下两种情况：（1）双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，y随x的增大而减小.（2）双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，y随x的增大而增大.例1. 函数与在同一坐标系中的图象可能是例2.已知函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是例3.反比例函数图象上有三个点，其中，则，的大小关系是()例4.反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x1时，函数值y的取值范围是（ ）A.y1 B.0y1 C. y2 D.0 y2 例5.如图，l1是反比例函数y在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（）A、y（x0）B、y（x0） C、y（x0）D、y（x知识点3.反比例函数与一次函数【专题解读】 主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质，以及用待定系数法求出函数解析式，已知函数图象确定比例系数或变化范围等知识.例1.已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是（-3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式.例2.已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）.（1）求这个反比例函数的表达式；（2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.例3.已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是-3.（1）求一次函数的表达式；（2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围.知识点4 反比例函数的实际应用例1.某公司计划新建一个容积V（m3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是（）A、B、.C、.D、.例2.由物理学知识知道，在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足当W为定值时，F与s之间的函数图象如图17-42所示.（1）力F所做的功是多少？（2）试确定F与s之间的函数表达式；（3）当F= 4 N时，s是多少？【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用的一种，在解决有关函数问题时起着重要的作用.例3.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和 （1）求k和m的值； （2）若行驶速度不得超过60（kh），则汽车通过该路段最少需要多少时间？例题。小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：自变量x123412因变量y12.035.983.041.991.00请你根据表格回答下列问题： 这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由。请你写出这个函数的解析式。表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值。例题4.小刘驾车从A地到B地，每小时行驶75千米，刚好用了4小时，然后驾车返回.（1）返回时车速为（千米/小时）所用时间为（小时）.写出与之间的函数关系式；（2）如果因有紧急情况，小刘需在3小时内返回A地，那么，返回时车速至少是多少？例题5.在某一电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流=2安培时，（1）求与R之间的函数关系式（2）当电流=0.5安培时，求电阻R的值例题6.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价元与日销售量个之间有如下关系：（元）3456（个）20151210（1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（）的对应点（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与之间的函数关系式，若物价居规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？五反比例函数与面积【专题解读】 如图所示，若点A（x，y）为反比例函数图象上的任意一点，过A作ABx轴于B，作ACy轴于C，则SAOB=SAOC=S矩形ABOC=.例1. 如图17-38所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续OQ，当点P沿x轴正方向运动时，RtQOP的面积 （ ）A逐渐增大 B逐渐减小C保持不变 D无法确定【解题策略】 掌握比例系数k的几何意义，即|k|= S矩形AOPQ=2 SOPQ是这类问题的解题关键.例2.如图所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 .分析 由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设代入可求得今而求出的值例题3.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连结，若（1）求该反比例函数的解析式和直线的解析式；ABCOxy（2）若直线与轴的交点为，求的面积例题4.已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x0)的图象交于点M（a,1），MNx轴于点N（如图），若OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.六几个值得关注的问题（一）注意做好与已学内容的衔接学习好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。在引进反比例函数概念时，要适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等定义或概念、图像及性质，为反比例函数的学习做好铺垫。这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质。（二）加强反比例函数与正比例函数的对比在复习“一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数 （k为常数，）与正比例函数（k为常数，）之间的对比，对比可以从如下几方面进行：1两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？2在常数相同的情况下，当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别？3两种函数中 的取值范围有何不同？常数的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？应从以下方面理解：1两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且；不同点是自变量 在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。2在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的 t值增大（减小）。3当常数 的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在这样的氛围中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢固。（三）把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为进一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台。随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高。可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间。对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的。在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫。通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一。而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了。结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。教学过程中，可以安排较多的通过图象分析函数解析式、通过函数解析式分析图象的题目，这体现的既是数形结合思想，也体现了转化的数学思想。深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章教学的重要任务，充分发挥教材中“思考”栏目应有的作用，对实现上述任务是大有裨益的。一些具体的数学知识