42直觉、严谨、联想-数学解题三大法宝.pdf

4 2 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 直觉 严谨 联想 数学解题三大法宝 赵士元 苏州市吴中区教学研究室 2 1 5 1 0 4 数学教学离不开解题教学 如何科学 有效地 进行解题教学是每一个数学教育工作者面临的一 个永恒的课题 在平时的教学实践中 我们发现很 多教师把解题教学偏面地理解为习题讲解 在教 学实践中缺少了对解题思路的训练 缺乏学生数 学素养的培养 学生不会用 数学家 的眼光看数 学题 不会用 数学家的思维 理解数学问题 学生 只会解现成的题目 对一些新 活的题目往往无从 下手 那么 究竟怎样的讲解才算真正意义上的解 题教学呢 我个人认为 直觉 严谨和联想是数学 解题的三大法宝 只有正确掌握了这三大法宝 数 学解题活动才真正有意义 1 直觉 在 从欧拉的数学直觉谈起 纪念伟大的数学 家欧拉诞辰3 0 0 周年 这本小册子的内容简介中 这样写道 超人的毅力 非凡的才能 过人的数学 直觉 成就了历史上最多产的伟大数学家欧拉 这 本小册子让我们看到了 过人的数学直觉 在欧拉 的许多发现中所起到的作用 直觉在科学发展中 所起的作用也给了我们很多有益的启示 所谓直觉 就是在不充分条件下 凭个人以往 经验和所学知识对某一事物作出的一种判断或预 测 它是一种推理式思维 由于在作出判断的过程 中没有充分利用条件 其判断出的结论可能是正 确的也有可能是错误的 在科学实践中 当人们有 了直觉后就需要通过逻辑去验证或通过反例去否 定 在数学解题时 如果我们能有意识地利用解题 直觉 往往会起到事半功倍的效果 直觉不仅能让 我们感知可能的结果 而且能让我们在直觉的感 知过程中寻找解题突破口 因此 在平时解题教学 中应注意学生直觉意识的培养 这无论是对培养 学生数学素养 提升学生数学能力还是培养学生 应试能力都有非常积极的意义 例1在平面直角坐标系z 回中 若动点P n 6 到两直线z y z 和Z y 一z 2 的距离 之和为2 2 则口2 6 2 的最大值为 这是江苏省苏北四市 徐州 连云港 宿迁 淮 安 2 0 1 4 届高三期末统考数学试题的最后一条填 空题 难度系数约为o 1 5 属于难题 要按部就班 地完整解出答案有一定的难度 但是如果我们对 题中条件进行简单分析运算后 可以将原题转化 为这样一条题 已知 口一6 f 乜 6 2 4 求 口2 6 2 的最大值 这是一条 条件最值 问题 我 们容易发现题中条件式和目标式都是关于n 6 的 对称式 凭以往的解题经验可以得到这样一种直 观的结论 当口 6 时 目标式得到最大值或最小 值 于是我们可以由n 6 得到口一6 3 或口 6 一1 而当口一6 3 时 口2 6 2 1 8 当n 6 1 时 口2 6 2 2 至此 我们可以直观地感知到 本 题的答案应该是1 8 当然 直观地感知结论只能满足应试的要求 而作为平时的解题训练 要引导学生对感知的结 论进行必要地推理和演绎 其次 在解题教学中我 们不能就题论题 就本题而言 我们不仅感知到了 盘2 6 2 的最大值也感知到了口一6 一1 时n 2 6 2 的另一个值2 这是否为其最小值呢 这是我们 提出的一个猜想 结论是否确实如此 教师应引导 学生进行思考 n 2 6 2 的最小值是1 而不是2 当然 在解题实践中往往不可能很快地感知 到结论的存在 但解题的直觉也并不如我们所想 象的那样可望不可及或者稍纵即逝 直观结论的 感知需要我们一定的分析准备工作 更多情况下 是分析过程进行到一定程度后的灵机一动 因此 平时的解题分析要注意思维敏捷性的培养 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 数学通报 4 3 例2 在正项等比数列 口 中 口 一寺 口e 口7 3 则满足口1 口2 口 口l 口2 口 的 最大正整数竹的值为 这是2 0 1 3 年江苏高考填空题的最后一条题 也是一条有一定难度的题 一般的思路是由条件 口 一 口 口 一3 将等比数列的通项公式求出 来 再将条件 口l 口2 口 n l n z 以 化 归为关于n 的不等式并求出不等式的解集 最后 在所求得的解集中找出最大的正整数 应该说思 路比较单一而且大多数考生能够想到 但我们最 终得到的关于行的不等式是 2 一1 2 k 半地 这 个不等式的求解对高中学生而言是没法完成的 很多学生化了不少时间得到了这个结论就无所适 从了 如果我们能够感知到2 与2 L 半业都是正 的偶数 那么就比较容易得到其等价不等式 2 2 生学 于是问题转化为 2 生二掣 求解 得到坚华 挖 望单 由于望半 1 2 1 3 因此本题的答案应为1 2 2 严谨 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的 一门科学 严密的逻辑性是它的三大特性之一 缺 少了严密的逻辑思维和逻辑推理就不成其为数 学 数学教学活动应该注意培养学生思维严密性 培养学生良好的思维习惯 如果说直觉可以帮助 我们感知结论和作出预测 那么严密的思维可以 帮助我们论证结论 防止失误 严密的逻辑性在高 中数学学习活动中也有较高的要求 例3 设函数y 厂 z 是定义域为R 周期为 2 的周期函数 且当z 一1 1 时 厂 z 一1 一 z z 已知函数g z f g k I 0 则函数厂 z I l Z 2 U 和g z 的图象在区间 一5 1 0 内公共点的个数 为 这是一条典型的 数形结合 题 在同一坐标 系中画出函数 z 和g z 在区间 一5 1 0 的 图象 我们通过对学生解题结果的分析发现很多同 学找到两个函数图象在区间 一5 1 0 内的交点 个数为1 3 或1 4 极少同学正确填写答案1 5 究 其原因是不少同学忽视了在区间 9 1 0 内除了交 点 1 0 1 以外还有一个与之很近的交点 而填写 1 3 的同学除了忽视这个交点以外 将公共点 o 1 也拒之门外了 在平时的解题教学中教师务必注意学生思维 严密性的培养 以有效防止 会而不对 对而不 全 的遗憾产生 特别是在用数形结合法处理问题 时更应注意这一点 数缺形时少直观 形缺数时 难入微 说的正是这个道理 本题的最大陷阱是在区间 9 1 0 有两个不同 的交点 这是不大容易从图象上直接观察出来的 如果我们将两个函数在区间 9 1 0 内的图象放 大 可能会出现如下两种情况 91 0 图甲 彳 y 0 1 0 圈乙 如果是图甲的情形 则本题答案将是1 4 如 果是图乙的情形 答案将是1 5 而究竟是图甲还 是图乙不是靠肉眼可以看出来的 必须经过严密 的推理才能判断 我们知道在区间 9 1 0 内 z 一1 一 z 一1 0 2 g z 一l g z 构造函数矗 z g z 一厂 z 一l g z z 一1 0 z 一1 求得 l l z 垡三坠生 Z 令m z 一2 2 2 2 0 z 1 易知m z 在区间 9 1 0 单调递增 又m 9 o 万方数据 4 4 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 因此 7 z 一垫生二娶生盟 o 在区间 9 1 0 内 必有一个实根z 于是当z 9 z 时 7 z o 因此函数 z 在区 间 9 z o 内单调递减 在 z 1 0 单调递增 又 9 o 1 0 一O 故必有J l l z 9 侄一丝一 二丝 8 6 4 口4 3 244 当且仅当器2 乏即口一等6 时等号成立 本题难度不大 但在思考过程中涉及多次联 想 首先由结论联想到余弦定理 其次由条件联想 到正弦定理 再次是从 三变量 联想到了 减元思 想 由此可见 数学解题实际是一个不断联想 多 次转化的过程 教师务必在平时的教学过程中注 重学生联想能力的培养 4 结语 直觉和联想是解题必不可少的两个基本能 力 而严密是一种素养 是一个数学家必须具备的 基本品质 我们要用数学家的眼光看数学 更需要 用数学家对科学的严谨态度学习数学 可以说 直 觉 严谨和联想 是学习数学的三大法宝 在处理 数学问题时我们要学会从不同角度思考问题 由 未知思已知 由不熟悉思熟悉 逐步找到解题突破 口 实现问题的彻底解决 当然 直观地感知到的 结论未必一定正确 因此 当感知到某一结论时我 们还应该作必要的可行性分析 如果明显地感到 所得到的结论是不正确的 那么就需要调整分析 思路 重新审题直至得到可能正确的结论 例5 设平面向量口 6 满足J 口一3 6 l 2 则 口 6 的最小值为 这是一个有一定难度的向量问题 题目的目 标指向是求最小值 所给条件是向量不等式 这种 形式的题目并不多见 但是我们可以发现这是一 个在某一限定条件下的最值问题 这使我们联想 到比较熟悉的代数中的条件最值问题 这类问题 的一般解法是化多元为一元或利用均值不等式 但题中条件l 口一3 6 I 2 是一个关于向量模的不 等关系 要想将它化为用一个向量表示另一个向 量的表达式相当困难 唯一的办法是从 模 下手 另一方面 我们观察条件与目标 发现条件并不关 于两个变量口 6 对称 而我们比较熟悉的是条件 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期数学通报 4 5 和目标都是对称形式的问题 于是我们再次联想 能否转化形式化归为条件和目标都是关于某两个 变量的对称式呢 如果可以 通常情况下所求最 值是在两个变量相等时取得 于是我们可凭直觉 得到结论 事实上 我们只要将结论转化为n b 1 一妻口 3 6 这样条件和结论都关于口和3 6 对称 o 凭经验应在口一3 6 时取得最小值 但另一种直觉 紧紧地萦绕在心头 当4 与3 6 的夹角大于直角 1 事实上这是可能的 时 口 6 一 n 3 6 9 0 时取得 由l 口一m l 瓶知 矿一2 口 m m 2 2 于是2 口 m 口2 m 2 2 2 l 口lI m I 一2 所以口 m 川m 卜1 2 意一1 即口 m 塑 1 因为口 9 0 所以 兰塑 o C O S 口 于是n m 者兰 将r 号蠹看作是定点A 1 o 与动点P c 鲫 一c o s a 连线的斜率 其中口 9 0 1 8 0 利用数 形结合法可求得芒黑的最小值为 丢 于是 l C O 船Z 口 m 的最小值为一号 所以口 西 口 m 一丢 当且仅当I 口l I3 6 譬 且口与6 反向时 等号成立 参考文献 1 莫里斯 克莱因 古今数学思想 第二册 M 石生明 万伟 勋 孙树本等译 上海 上海科学技术出版社 2 0 1 3 2 周明儒 从欧拉的数学直觉谈起 纪念伟大的数学家欧拉诞 辰3 0 0 周年 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 9 3 G 波利亚 怎样解题 数学思维的新方法 M 涂泓 冯承天 译 上海 上海科技教育出版社 2 0 0 7 4G 波利亚 数学与猜想 M 李心灿 王日爽 李志尧译 北 京 科学出版料 2 0 0 上接第1 0 页 伴交流想法 是否有解决问题的自信心等 二是学 生在实验中表现出来的操作水平 数学化思考水 平 包括能否主动运用数学知识 方法描述具体问 题 能否通过独立思考获得解决问题的思路 并在 与同伴交流中获益 是否能提出具有一定价值的问 题 是否有独特的解决问题的策略等 三是学生在 数学实验过程中获得的体验 在体验和内化的基础 上逐步形成的自觉指导创新行为的意识和能力 愿 手册 能成为学生学习数学的 伙伴 变 听 数学为 做 数学 变 被动接受 为 主动探 究 通过 做 数学实验体验发现的乐趣