2015数学基础教程线代部分答案及详解.pdf

1 2015 年考研数学基础教程线性代数答案2015 年考研数学基础教程线性代数答案 第一章第一章 行列式行列式 例例 1 计算下列行列式的值 2 1 11 xx xx 解解 23 2 1 1 1 1 11 xx xxxxxx xx 例例 2 计算下列行列式的值 1 3406 78010 59013 11 12014 2 4567 0123 0028 0005 3 710820930670 111222333888 710820930670 1234 解 1 因第三列元素全为 0 故 3406 78010 0 59013 11 12014 2 上三角行列式 故 4567 0123 40 0028 0005 3 因第 1 行与第 3 行的对应元素相同 故 710820930670 111222333888 0 710820930670 1234 例例 3 计算下列行列式的值 2141 3121 1232 5062 解解 2141 3121 0 1232 5062 2 例例 4 计算下列行列式的值 22011 32928 1955 解解 分析发现 第二列元素均为三位数 但均接近于百位整数 所以利用性质 5 计算比较 方便 220112200 1122001211 3292833008833008388 195511005511005155 2200121122121 11 330083881003383888 110051551151555 22121 11201 1003383888100 0308000 1151555105 例例 5 n阶行列式 000 000 0000 000 000 ab ba a ba ba 解解 此n阶行列式第一列的n个元素中只有两个非零元素 所以将所给行列式按第一列 展开 得 ba ba ba b b a ba ba ba aD n 000 000 000 0000 1 0000 000 000 000 1 nnnnnn babbaa 1111 1 1 例例 6 计算四阶行列式 1111 2314 49116 827164 D 解解 由范德蒙行列式 3 2222 3333 1111 2314 42 1 2 32 43 1 3 4 1 231 4 231 4 420 D 例例 7 计算四阶行列式 3333 1234 2222 11223344 2222 1 1223 344 3333 1234 aaaa a ba ba ba b D aba ba ba b bbbb 其中 4321 aaaa均不为 0 解解 由范德蒙行列式 3 4 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 2 4 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 3 4 3 3 3 2 3 1 1111 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b aaaaD 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 2 23 4 3 3 3 2 3 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b aaaa 例例 8 五阶行列式 5 43000 14300 01430 00143 00014 D 的值为 解 543 43003000 14301430 443 01430143 00140014 DDD 于是 235 54433221 3 3 3 3DDDDDDDD 则 545345345 5432 33333313333364DDDD 例例 9 计算n阶行列式 4 n Dn 0001 000 00301 00021 1110 解 10001 000 00101 00011 1 3 1 2 1 0 432 n nDn 10000 000 00100 00010 1 3 1 2 11 3 1 2 1 nn n 1 3 1 2 1 n n 例例 10 四阶行列式 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于 A 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b B 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b C 43432121 bbaabbaa D 41413232 bbaabbaa 解解 应选 D 解法一 原式 1 32324141 33 224141 44 11 bbaabbaa ab ba ab ba 解法二 特殊值法 令 0 3232411 bbaaaaDb 原式可得经比较 选项 A B 和 C 全错误 只有 D 正确 解法三 也可以将行列式按第一行展开 但此法计算量略大些 请读者自己完成 例例 11 设多项式 11121314 21222324 31323334 41424344 axaxaxax axaxaxax p x axaxaxax axaxaxax 则 xp的次数至多是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 解解 应选取 A 将第 1 行的 1 倍加到第 2 3 4 行上去 得 1443134312421141 1434133312321131 1424132312221121 14131211 aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa xaxaxaxa xp 再按第 1 行展开便知 xp至多是一次多项式 故选 A 例例 12 计算行列式 123 005 014 中第一行各元素的余子式 111213 MMM 和代数余子式 111213 AAA 解解 在行列式 123 005 014 中 第一行的元素分别为 111213 1 2 3aaa 由余子式的定义 可知 元素 11 1a 的余子式 11 05 0 45 15 14 M 元素 11 1a 的代数余子式 1 1 111111 05 1 0 45 15 14 AMM 元素 12 2a 的余子式 12 05 0 45 00 04 M 元素 12 2a 的代数余子式 1 2 121212 05 1 0 45 0 0 04 AMM 元素 13 3a 的余子式 13 00 0 01 M 元素 13 3a 的代数余子式 例例 13 设 4 阶行列式 1234 2341 3412 2222 求 11121314 AAAA 解解 因 为 在 11121314 AAAA 中 行 列 式 第 一 行 元 素1 2 3 4的 代 数 余 子 式 11121314 AAAA前面的系数全为1 所以使用替换法计算 11121314 AAAA 即去掉 代数余子式 11121314 AAAA所在的第1行的所有元素1 2 3 4 换成代数余子式 6 11121314 AAAA前面的系数1 1 1 1 其余元素不变 按其原来的位置关系组装成一个 新的4阶行列式 即 11121314 1111 2341 0 3412 2222 AAAA 由于第一行和第四行 对应元素成比例 例例 14 已知 5 阶行列式 27 22111 11222 5554535251 3534333231 1514131211 5 aaaaa aaaaa aaaaa D 求 4544434241 AAAAA 解 将 5 D按第 4 行展开 得 27 2 45444342415 AAAAAD 1 又将 5 D的第 2 行元素乘相应的第 4 行元素的代数余子式 得 0 222 5544434241 AAAAA 2 联立 1 2 得 2 1 2 有 18 3 54 4544 AA 2 2 1 有 9 3 27 434241 AAA 4544434241 AAAAA 9918 例例 15 设 A 为 3 3 矩阵 2 A 把 A 按列分块为 321 AAA 其中 3 2 1 jAj是 A 的第j列 则 1213 3 2AAAA 解 由行列式的性质知 1211231223 3 2 3 3 2AAAAAAAAAA 6 2 3 0 3 321 AAA 例例 16 设n阶矩阵 21n A 13221 n B 其中 12 n 为n维列向量 已知行列式 0 aaA 求行列式B的值 解 根据行列式的性质 得 13221 n B 13221321 nn 132321 nn 7 13221 nn 1 123 1 n A AA n1 1 为偶数若当 为奇数若当 nO na a n 2 1 1 1 例例 17 若 A 是n阶方阵 且EAAT 1 A 证明0 EA 解 EAEA T 又EAAT 1 A TTTT EAAEAAAAAEA EAA EA 0 EA 第二章第二章 矩阵矩阵 例例 2 1 已知 3 2 1 3 1 2 1 1 设 T A 则 n A 解 3 1 2 1 1 3 2 1 T A AlA nn1 其中3 3 1 3 2 1 211 l 于是 1 2 3 3 3 2 12 3 1 2 1 1 3 3 1 2 1 1 3 2 1 33 111nnnn AA 例例 2 2 设 A 为n阶非零矩阵 证明当 T AA 时 A 可逆 解 由于 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa AAA AAA AAA A 21 22212 12111 21 22212 12111 T A ijij Aa 已知 A 是n阶非零矩阵 不妨设0 11 a 则 nnA aAaAaA 1112121111 0 2 1 2 12 2 11 n aaa A 可逆 8 例例 2 3 设n阶可逆矩阵 A 中每行元素之和均为常数a 证明 1 常数0 a 2 1 A的每行元素之和均为 1 a 解 设 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 aaaa inii 21 a a a aaa aaa aaa A nnnn n n 21 22221 11211 1 1 1 1 反证之 假设0 a 则 0 0 0 1 1 1 A 由已知 A 可逆 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 A 矛盾 0 a 2 又 1 1 1 1 1 1 a a a a A 1 1 1 1 1 1 1 aA即 1 1 1 1 1 1 1 1 a A 1 A的每行元素之和均为 1 a 例例 2 4 设 A B 均为n阶方阵 且BAAB 证明 1 BEEA 1 2 BAAB 解 1 BEABABEEA BEBAA E 由定义 BEEA 1 2 由 1 知 1 EAEAE EABE BBAEA EBABA EBAAB 于是 两边消去 E 得 AB BA 例例 2 5 设 A 是n阶方阵 且0 3 A 则 A A 不可逆 且EA 不可逆 B A 可逆 但 E A 不可逆 9 C EAA 2 及EAA 2 均可逆 D A 不可逆 且必有 2 0A 解 应选 C 0 3 A 0 3 A 0 A A 不可逆 又 23333 EAAAEAAEEE AE 与EAA 2 均可逆 同理 2333 EAAAEAEEE E A 与EAA 2 均可逆 因此 选 C 同时 D 不成立 例如 令 000 100 010 A 则有0 000 000 100 2 A 但0 3 A 例例 2 6 设矩阵 A B 满足EBABAA82 其中 100 020 001 A E 为单位矩阵 A为A 的伴随矩阵 则 B 解 EBABAA82 右乘 1 A 1 82 ABBA 左乘A 得 1 82 AAABBAA EAAA EABBA82 而2 A 即EABB822 EBAB822 EBEA8 22 EBEA4 1 4 EAB 2 1 1 2 1 4 2 1 2 4 1 2 4 2 例 2 7 10 解 解 例例 2 8 设 A B 为n阶矩阵 BA 分别为A B对应的伴随矩阵 分块矩阵 BO OA C 11 则 C 的伴随矩阵 C A BBO OAA B AAO OBB C ABO OBA D BAO OAB 解 E BO OA ECCC 可由上式逐一检验 符合者即为正确答案 现检查 D BAO OAB BO OA CC EO OE BA EBAO OAAB EBA 选 D 但这种方法太烦琐 因此作为选择题 可以采取下列简便方法 即加强条件 令 A B 均为可逆矩阵 则 1 AAA 1 BBB 1 1 1 BO OA BACCC 1 1 BBAO OAAB BAO OAB 例例 2 9 设 A 是n阶可逆矩阵 将 A 的第i行与第j行对调后得到的矩阵记为 B 证明 B 可逆 并求 1 AB 解 A 可逆 0 A 0 AB B 可逆 若用 ij E表示将单位矩阵 E 的第i行与j行对调后得到的初等矩阵 则有AEB ij 而 ijij EE 1 1111 ijij EAAAEAAB ijij EE 1 例例 2 10 设 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 414243 31323334 21222324 11121314 4aaaa aaaa aaaa aaaa B 0001 0100 0010 1000 1 P 1000 0010 0100 0001 2 P 其中 A 可逆 则 1 B等于 A 21 1 PPA B 2 1 1 PAP C 1 21 APP D 1 1 2 PAP 解 应选 C 将 A B 两矩阵进行对比 12 矩阵B是由A交换第2 3列 且交换第1 4列而得到的 即 21P APB 或 21P APB 而 1 P 2 P均为初等矩阵 且 2 1 21 1 1 PPPP 1 21 11 2 1 1 1 12 1 APPAPPPAPB 选 C 又 21P APB 1 12 11 1 1 2 1 21 1 APPAPPPAPB 1221 PPPP 1 12 APPB 选 C 也正确 例例 2 11 设 A 是 4 3 矩阵 且 A 的秩 102 2 020 2 103 r ABr AB 而则 例例 2 12 设 122 43 3 3 311 AtBABOt 为 阶非零矩阵 且则 解 B 是非零矩阵 秩 1 3 BABOAB 由知 秩秩因此 秩 A 3 秩 B 3 1 2 由此得知 0 A 13 122700 0432437 3 3 311311 trrttt 故 第三章第三章 向量向量 例例 3 1 设 123 3 2 5 其中 1 2 5 1 3 2 10 1 5 10 3 4 1 1 1 求向量 解 由已知 123 3 2 5 所以 123 11 325 3 2 5 1 3 2 10 1 5 10 5 4 1 1 1 66 1 2 3 4 例例 3 2 设 1 1 1 0v 2 0 1 1v 3 3 4 0v 求它们的线性组合 13 123 32vvv 解 123 320 1 2vvv 例例 3 3 已 知 1 2 T t 不 能 由 1 2 1 1 T 2 1 2 7 T 3 1 1 4 T 线性表示 求t的值 解 5t 例例 3 4 设向量组 4321 线性无关 则在下列向量组中 线性无关的向量组是 A 21 32 43 14 B 21 32 13 C 21 32 43 14 D 21 32 13 解 由观察法可知 对于 A 0 14433221 线性相关 对于 C 0 14433221 线性相关 对于 D 0 133221 线性相关 由排除法可知应选 B 例例 3 5 已知向量组 1 1 0 5 2 T 2 2 1 2 1 T 3 1 1 2 T a 4 2 1 4 1 T 线性相关 则 a 解 2 5 例例 3 6 已知向量组 1 1 3 6 2 T 2 3 2 3 4 T 3 1 1 3 T t 线性无关 则必有 A 2t B 1t C 2t D t为任何实数 解 选项 D正确 例例 3 7 已知向量组 1 1 0 2 3 T 2 1 1 3 T a 3 1 1 1 1 T 4 1 2 6 7 T 问a为何值时 向量组 1234 线性相 关 并求它的一个最大线性无关组 解 当5a 时 向量组 1234 线性相关 它的一个最大线性无关组是 124 例例 3 8 设向量组 I r 21 可由向量组 s 21 线性表示 则 A 当sr 时 向量组 必线性相关 C 当sr 时 向量组 I 必线性相关 解 本题是一道将已知定理 性质改造成的选择题 由上述关系 2 知 直接选 D 如果 定理记不清楚 也可以通过构造适当的反例用排除法找到正确选项 例如 令 1 0 0 1 0 0 211 则 211 00 但 21 线性无关 排 除 A 再令 0 1 0 1 0 0 111 则 21 可由 1 线性表示 但 1 线性无 关 排除 B 再令 1 0 0 1 0 1 211 1 可由 21 线性表示 但 1 线性无关 排除 C 故正确选项为 D 例例 3 9 证明 当 123 线性相关 且 1 与 2 的分量不成比例时 向量 3 可以由 12 线性表示 解 因 1 与 2 的分量不成比例 故 1 与 2 线性无关 而 123 线性相关 故向量 3 可以由 12 线性表示且表示法唯一 例例 3 10 向量 s 21 2 s 线性相关的充分必要条件是 A s 21 中至少有一个是零向量 B s 21 中至少有两个向量成比例 C s 21 中至少有一个向量可由其余1s 个向量线性表示 D s 21 中任一部分组线性相关 解 选项 C 正确 例例 3 11 已知n维向量组 12 m 2 m 线性无关 则 A 对任意一组数 12 m k kk 都有 1122 0 mm kkk B mn C 12 m 中少于m个向量构成的向量组均线性相关 D 12 m 中任意两个向量均线性无关 解 选项 D 正确 例例 3 12 设向量组 1111213 Taaa 2212223 Taaa 3313233 Taaa 向量组 111121314 Taaaa 221222324 Taaaa 331323334 Taaaa 则必有 A 组 相关 组 相关 B 组 相关 组 无关 15 C 组 相关 组 无关 D 组 无关 组 无关 解 选项 D 正确 例例 3 13 设 A 是n阶矩阵 321 是n维列向量 且0 1 32321211 AAA 证明 321 线性无关 解 11 A 0 11 A 0 1 EA 1 又 122212 AA 12 EA 2 又 233323 AA 23 EA 3 令0 332211 kkk 用矩阵 A E 乘上式两边得 0 332211 EAkEAkEAk 则由 1 2 3 得 00 23121 kkk 即0 2312 kk 再用 A E 左乘上式 得 0 2312 EAkEAk 又由 1 2 得 00 132 kk 即0 13 k 由已知0 1 0 3 k 0 2211 kk 两端同乘以 A E 得 0 2211 EAkEAk 即00 122 kk 0 12 k 而0 1 0 2 k 000 3211 k 而0 1 0 2 k 即证0 321 kkk 321 线性无关 例例 3 14 设向量 可由向量组 r 21 线性表示 但不能由 121 r 线性表示 证明 1 r 不能由 121 r 线性表示 2 r 能由 121 r 线性表示 解 1 反 证 之 假 设 r 可 由 121 r 线 性 表 示 设 112211 rrr kkk 又由已知 可由 r 21 线性表示 令 rr lll 2221 代入得 112221 rr lll 112221 rr kkk 222111 rr lkllkl 111 rrrr lkl 即得 可由 121 r 线性表示 这与已知 不能由 121 r 线性表示矛盾 所作假设是错误的 r 不能由 121 r 线性表示 2 可由 r 21 线性表示 令 rrrr llll 112221 又 不 能 由 121 r 线 性 表 示 0 r l 因 为 若0 r l 则 112221 rr lll 矛盾 既然0 r l 则 1 112221 rr r r lll l r 可由 121 r 线性表示 例例 3 15 设向量 可由向量组 m 21 线性表示 但不能由向量组 I 121 m 线性表示 记向量组 121 m 则 A m 不能由 I 线性表示 也不能由 线性表示 B m 不能由 I 线性表示 但可由 线性表示 C m 可由 I 线性表示 也可由 线性表示 D m 可由 I 线性表示 但不可由 线性表示 解 应选 B 本题就是要判定向量 m 能否由向量组 I 向量组 线性表示 下面先判定 m 能 否由向量组 线性表示 因为 可由向量组 m 21 线性表示 则有 16 mmmm kkkk 112211 1 又 由 于 不 能 由 121 m 线 性 表 示 故 有0 m k 从 而 有 1 112211 mm m m kkk k 即 m 可由 线性表示 因此 选项 A D 应该排除 再判别 m 能否由向量组 I 线性表示 若 m 能由向量组 I 线 性表示 则有 112211 mmm lll 2 将 2 式代入 1 式有 111222111 mmmmmm lkklkklkk 这表示 可由向量组 I 线性表示 与已知条件 不能由 I 线性表示 矛盾 所以 m 不能由向量组 I 线性表示 应该排除 C 因此 本题应该选 B 第四章第四章 线性方程组线性方程组 例 4 1 已知线性方程组 0 0 0 3 2 2 2 1 2 321 321 xcxbxa cxbxax xxx 1 cba 满足何种关系时 方程组仅有零解 2 cba 满足何种关系时 方程组有无穷多组解 并用基础解系表示全部解 解 首先计算系数矩阵及其行列式 222 111 cba cbaA 222 111 cba cbaA 这个行列式恰好为范德蒙行列式 所以 bcacabA 1 当 0 accbbaA时 即accbba 时 0 A 由克莱姆法则知方 程组仅有零解 2 当 0 accbbaA时 方程组有无穷多组解 为求出基础解系需按照a与 b b与c c与a之间相等或不相等的关系进行讨论 共有四种情况 原方程组都有无穷 多解 i 当cba 时 原方程组化为 0 0 0 3 2 2 2 1 2 321 321 xcxaxa cxaxax xxx 化为 0 0 3 2 321 xacc xxx 当0 c时 即 0 0 3 321 x xxx 17 当0 c时 化为 0 0 0 21 2 21 321 xxa xxa xxx 此时0 a 原方程组也化为 0 0 3 321 x xxx 其基础解 系为 T0 1 1 通解为 Tk0 1 1 1 类似地 ii 当bca 时 原方程组化为 0 0 2 321 x xxx 其通解为 Tk1 0 1 2 iii 当acb 时 同解方程组为 0 0 1 321 x xxx 其通解为 Tk1 1 0 3 iv 当cba 时 同解方程组为 0 321 xxx 其基础解系为 T1 0 1 T0 1 1 通解为 T T kk0 1 11 0 1 54 例例 4 2 123 设011 且 2 则0的Ar AA x abc 通解是 11112 12 12312 0 1 1 01 注 为任意常数 A kB kC kD kk abcab kk 解解 选项 D正确 例例 4 3 已知齐次线性方程组 i 0 0532 032 321 321 321 axxx xxx xxx 和 ii 0 1 2 0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解 求 a b c 的值 解解 方程组 ii 的未知量个数大于方程个数 故方程组方程组 ii 有无穷多解 18 因为方程组 i 与 ii 同解 所