广东省广州实验中学高三数学上学期第二次段考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a=x|x22x30，b=y|1y4，则ab=（）a0，2b（1，3）c1，3）d（1，4）2设z=1i（i是虚数单位），则=（）a22ib2+2ic3id3+i3在下列条件中，可判断平面与平行的是（）a、都垂直于平面rb内存在不共线的三点到的距离相等cl，m是内两条直线，且l，mdl，m是两条异面直线，且l，m，l，m4将直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x4y=0相切，则实数的值为（）a3或7b2或8c0或10d1或115某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）a2bcd36如图所示为函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象，其中a，b两点之间的距离为5，那么f（1）=（）a2bcd27已知z=x+y其中实数x、y满足，若z的最小值为3，则z的最大值是（）a6b7c8d98已知实数20、m2、52构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）abc或d或79函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）等于（）a2或0b2或2c0d2或010已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=（）a16（14n）b16（12n）c（14n）d（12n）11函数f（x）在定义域r内可导，若f（x）=f（1x），且当时，有，设，则（）aabcbcabccbadbca12已知函数f（x）=exmx+1的图象是曲线c，若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）a（，）b，+）c（，）d（，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13在abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的三边长，若，则角b的大小为14在oab中，已知p为线段ab上的一点，若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60，则=15已知三棱锥sabc，满足sasb，sbsc，scsa，且sa=sb=sc，若该三棱锥外接球的半径为，q是外接球上一动点，则点q到平面abc的距离的最大值为16定义域为r的偶函数f（x）满足对xr，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x0，1时，f（x）=2x2+4x2，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为sn（）求an及sn（）令bn=（nn*），若数列bn的前n项和为tn，证明：18在abc中，内角a、b、c对边长分别是a，b，c，已知c=2，c=（）若abc的面积等于；（）若sinc+sin（ba）=2sin2a，求abc的面积19如图，三棱柱abca1b1c1的侧面aa1b1b为正方形，侧面bb1c1c为菱形，cbb1=60，abb1c（i）求证：平面aa1b1b平面bb1c1c；（ii）若ab=2，求三棱柱abca1b1c1体积20如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段of1，of2的中点分别为b1，b2，且ab1b2是面积为4的直角三角形（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过b1作直线交椭圆于p，q两点，使pb2qb2，求pb2q的面积21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）m0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）x2xa在区间0，3上恰有两个不同的零点，求a范围【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）22已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（ar）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围五、解答题（共1小题，满分0分）23（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线c1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=2sin（）把c1的参数方程化为极坐标方程；（）求c1与c2交点的极坐标（0，02）【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分0分）24选做题：几何证明选讲如图，abcd是边长为a的正方形，以d为圆心，da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆o交于点f，延长cf交ab于e（1）求证：e是ab的中点；（2）求线段bf的长2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a=x|x22x30，b=y|1y4，则ab=（）a0，2b（1，3）c1，3）d（1，4）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出a中不等式的解集，确定出a，求出a与b的交集即可【解答】解：集合a=x|x22x30=（1，3），b=y|1y4=1，4，则ab=1，3），故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设z=1i（i是虚数单位），则=（）a22ib2+2ic3id3+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】将分子与分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化再与进行运算即可【解答】解：z=1i，+=+=+（1+i）=（1+i）+（1+i）=2（1+i）故选b【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，着重考查复数的混合运算，属于基础题3在下列条件中，可判断平面与平行的是（）a、都垂直于平面rb内存在不共线的三点到的距离相等cl，m是内两条直线，且l，mdl，m是两条异面直线，且l，m，l，m【考点】平面与平面平行的判定【专题】综合题【分析】通过举反例推断a、b、c是错误的，即可得到结果【解答】解：a中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误b中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到的距离相等，这两个平面相交，b错误c中：如果这两条直线平行，那么平面与可能相交，所以c错误故选d【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题4将直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x4y=0相切，则实数的值为（）a3或7b2或8c0或10d1或11【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】根据直线平移的规律，由直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y2）2=5，圆心坐标为（1，2），半径为，直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）y+=0，因为该直线与圆相切，则圆心（1，2）到直线的距离d=r=，化简得|2|=5，即2=5或2=5，解得=3或7故选a【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）a2bcd3【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：v=3x=3故选d【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6如图所示为函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象，其中a，b两点之间的距离为5，那么f（1）=（）a2bcd2【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】由图象可得a=2，2sin=1，再由0，结合图象可得 的值再由a，b两点之间的距离为5，可得25=16+，可得的值，从而求得函数f（x）的解析式，f（1）的值可求【解答】解：由图象可得a=2，2sin=1，即 sin=再由0，结合图象可得=再由a，b两点之间的距离为5，可得25=16+，可得=故函数f（x）=2sin（x+），故f（1）=2sin=2，故选a【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题7已知z=x+y其中实数x、y满足，若z的最小值为3，则z的最大值是（）a6b7c8d9【考点】简单线性规划【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（m，m），联立，解得b（2m，m），由z=x+y，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过b（2m，m）时，直线在y轴上的截距最小为m=3，则m=3当直线y=x+z过a（m，m）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2m=6故选：a【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8已知实数20、m2、52构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）abc或d或7【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由20、m2、52构成一个等差数列，得到m的值利用圆锥曲线是椭圆；圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率【解答】解：20、m2、52构成一个等差数列，m=6当m=6时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是e=；当m=6时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是e=故选：c【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用9函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）等于（）a2或0b2或2c0d2或0【考点】余弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，从而求得f（）的值【解答】解：由函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=2，故选：b【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题10已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=（）a16（14n）b16（12n）c（14n）d（12n）【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为进而根据等比数列求和公式可得出答案【解答】解：由，解得数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：c【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息11函数f（x）在定义域r内可导，若f（x）=f（1x），且当时，有，设，则（）aabcbcabccbadbca【考点】导数的运算；函数的单调性及单调区间；不等关系与不等式【专题】函数的性质及应用【分析】根据条件得到函数的单调性，然后将自变量化到同一个单调区间上，从而可判定a，b，c的大小【解答】解：，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0f（x）在（，）上单调递增，在（，+）上单调递减=f（）=f（1+），=f（），=f（4），1+4f（）f（1+）f（4），即cab故选b【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，同时考查了运算求解的能力，属于基础题12已知函数f（x）=exmx+1的图象是曲线c，若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）a（，）b，+）c（，）d（，【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线，则关于s的方程esm=无实数解，由指数函数的值域，即可得到m的范围【解答】解：函数f（x）=exmx+1的导数为f（x）=exm，设切点为（s，t），即有切线的斜率为esm，若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线，则关于s的方程esm=无实数解，由于es0，即有m0，解得m故选：d【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，运用指数函数的值域是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13在abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的三边长，若，则角b的大小为或【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由余弦定理可得a2+c2b2=2accosb，代入已知关系式，可得sinb=，从而可得答案【解答】解：在abc中，a2+c2b2=2accosb，（a2+c2b2）tanb=2accosbtanb=2acsinb，（a2+c2b2）tanb=ac，2acsinb=ac，sinb=又0b，b=或故答案为：或【点评】本题考查余弦定理，考查三角函数间的关系及三角函数的求值，求得sinb=是关键，属于基础题14在oab中，已知p为线段ab上的一点，若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60，则=9【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】用和当基底，表示和，再利用两个向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算可得结果【解答】解：由=3可得=3（），即有=，=，=（）=（232+2）=（22342+224）=9故答案为：9【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，数量积的性质，考查运算能力，属于中档题15已知三棱锥sabc，满足sasb，sbsc，scsa，且sa=sb=sc，若该三棱锥外接球的半径为，q是外接球上一动点，则点q到平面abc的距离的最大值为【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以sa，sb，sc为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面abc的距离，即可求出点q到平面abc的距离的最大值【解答】解：三棱锥sabc中，sasb，sbsc，scsa，且sa=sb=sc，三棱锥的外接球即为以sa，sb，sc为长宽高的正方体的外接球，该三棱锥外接球的半径为，正方体的体对角线长为2，球心到平面abc的距离为=点q到平面abc的距离的最大值为+=故答案为：【点评】本题考查点q到平面abc的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面abc的距离是关键16定义域为r的偶函数f（x）满足对xr，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x0，1时，f（x）=2x2+4x2，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）【考点】函数的零点【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】根据定义域为r的偶函数f（x）满足对xr，有f（x+2）=f（x）f（1），可以令x=1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x0，1时，f（x）=2x2+4x2，画出图形，根据函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）f（1），且f（x）是定义域为r的偶函数令x=1 所以 f（1+2）=f（1）f（1），f（1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=2x2+4x2=2（x1）2，图象为开口向下，顶点为（1，0）的抛物线函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，f（x）0，令g（x）=loga（|x|+1），g（x）0，可得a1，要使函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，如图要求g（2）f（2），可得就必须有 loga（2+1）f（2）=2，可得loga32，3，解得a又a0，0a，故答案为：【点评】此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为sn（）求an及sn（）令bn=（nn*），若数列bn的前n项和为tn，证明：【考点】数列的求和【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）设等差数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求；（）求得bn=（），再由数列的求和方法：裂项相消求和，可得tn，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1=3，d=2，则an=3+2（n1）=2n+1； sn=3n+n（n1）2=n2+2n； （）证明：由（）知an=2n+1，则bn=（），则前n项和为tn=（1+）=（1），【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式的证明，注意运用数列的单调性和不等式的性质，属于中档题18在abc中，内角a、b、c对边长分别是a，b，c，已知c=2，c=（）若abc的面积等于；（）若sinc+sin（ba）=2sin2a，求abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】综合题；分类讨论【分析】（i）由c的度数求出sinc和cosc的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosc的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinc的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；（ii）由三角形的内角和定理得到c=（a+b），进而利用诱导公式得到sinc=sin（a+b），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosa为0，得到a和b的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b的值；若cosa不为0，等式两边除以cosa，得到sinb=2sina，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b的值得到ab的值，再由sinc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc的面积【解答】解：（i）c=2，c=60，由余弦定理c2=a2+b22abcosc得：a2+b2ab=4，根据三角形的面积s=，可得ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（ii）由题意sin（b+a）+sin（ba）=4sinacosa，即sinbcosa=2sinacosa，；当cosa0时，得sinb=2sina，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得a=所以abc的面积s=【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，其中正弦定理及余弦定理很好的解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19如图，三棱柱abca1b1c1的侧面aa1b1b为正方形，侧面bb1c1c为菱形，cbb1=60，abb1c（i）求证：平面aa1b1b平面bb1c1c；（ii）若ab=2，求三棱柱abca1b1c1体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（i）证ab垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直面面垂直；（ii）先求得三棱锥b1abc的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解【解答】解：（）证明：由侧面aa1b1b为正方形，知abbb1又abb1c，bb1b1c=b1，ab平面bb1c1c，又ab平面aa1b1b，平面aa1b1bbb1c1c（）由题意，cb=cb1，设o是bb1的中点，连接co，则cobb1由（）知，co平面ab1b1a，且co=bc=ab=连接ab1，则=co=ab2co=，v三棱柱=2【点评】本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积20如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段of1，of2的中点分别为b1，b2，且ab1b2是面积为4的直角三角形（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过b1作直线交椭圆于p，q两点，使pb2qb2，求pb2q的面积【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【专题】综合题；压轴题【分析】（）设椭圆的方程为，f2（c，0），利用ab1b2是的直角三角形，|ab1|=ab2|，可得b1ab2为直角，从而，利用c2=a2b2，可求，又s=|b1b2|oa|=4，故可求椭圆标准方程；（）由（）知b1（2，0），b2（2，0），由题意，直线pq的倾斜角不为0，故可设直线pq的方程为x=my2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y24my160，利用韦达定理及pb2qb2，利用可求m的值，进而可求pb2q的面积【解答】解：（）设椭圆的方程为，f2（c，0）ab1b2是的直角三角形，|ab1|=ab2|，b1ab2为直角，从而|oa|=|ob2|，即c2=a2b2，a2=5b2，c2=4b2，在ab1b2中，oab1b2，s=|b1b2|oa|=s=4，b2=4，a2=5b2=20椭圆标准方程为；（）由（）知b1（2，0），b2（2，0），由题意，直线pq的倾斜角不为0，故可设直线pq的方程为x=my2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y24my16=0设p（x1，y1），q（x2，y2），=pb2qb2，m=2当m=2时，可化为9y28y160，|y1y2|=pb2q的面积s=|b1b2|y1y2|=4=【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）m0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）x2xa在区间0，3上恰有两个不同的零点，求a范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】（1）存在x0，使mf（x0）min，故，由此导出f（x0）min=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值（2）由g（x）=f（x）x2xa在区间0，3上恰有两个不同的零点，知x+12ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+12ln（1+x），=，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围【解答】解：（1）存在x0，使mf（x0）min，f（x）=（1+x）22ln（1+x），=，x1令f（x）0，得x0，令f（x）0，得x0，y=f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，f（x0）min=f（0）=1，m1，实数m的最小值是1（2）g（x）=f（x）x2xa在区间0，3上恰有两个不同的零点，g（x）=x+1a2ln（1+x）在区间0，3上恰有两个不同的零点，x+12ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+12ln（1+x），=，由h（x）0，得x1，由h（x）0，得x1，y=f（x）在0，1上单调递减，在1，3上单调递增，h（0）=12ln1=1，h（1）=22ln2，h（3）=42ln4，22ln2a1【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）22已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（ar）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【专题】计算题；压轴题【分析】（1）不等式转化为|x2|+|a10，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x2|+|x+3|m恒成立，利用不等式的性质求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围【解答】解：（）不等式f（x）+a10即为|x2|+a10，当a=1时，解集为x2，即（，2）（2，+）；当a1时，解集为全体实数r；当a1时，解集为（，a+1）（3a，+）（）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x2|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立