《数学分析(3)》知识点整理.pdf

数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 1 数学分析 3 复习资料 数学分析 3 复习资料 第十三章 函数列与函数项级数 5 第十三章 函数列与函数项级数 5 1 1 函数列收敛域为 1 2 n n fxxn 1 1 极限函数为 0 1 1 1 x f x x 2 函数列 sin 1 2 n nx fxn n 收敛域为 极限函数为 0f x 2 1 函数列在 0 2 1 2 nx n fxnxen 上不不 一致收敛 2 函数列 2 2 1 1 2 n fxxn n 在 1 1 上一致收敛 3 函数列 22 1 2 1 n x fxn n x 在 上一致收敛 4 函数列 1 2 n x fxn n 在 0上不不 一致收敛 5 函数列 sin 1 2 n x fxn n 在上不不 一致收敛 3 1 函数项级数 0 n n x 在 1上不不 一致收敛 1 2 函数项级数 2 sinnx n 2 cosnx n 在上一致收敛 3 函数项级数 1 n x n 在上一致收敛 r r 4 函数项级数 12 2 1 1 n n x x 在 上一致收敛 5 函数项级数 n n x 在 1 1 r xr r 上一致收敛 上 不 一致收敛 6 函数项级数 2 n x n 在上一致收敛 0 1 7 函数项级数 1 2 1 n xn 在上一致收敛 8 函数项级数 2 21 1 n x x 在 上不不 一致收敛 第十四章 幂级数 10 第十四章 幂级数 10 1 对于幂级数 若 0 n n n a x lim n n n a 1 lim n n n a a 则 i 当0 时 收敛半径R 收敛域为 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 2 ii 当 时 收敛半径 仅在0R 0 x 处收敛 iii 当0 时 收敛半径 1 R 收敛域为 R R 还要进一步讨论区间端点xR 处的敛散性 2 幂级数展开式 1 2 0 0 0 0 1 2 n n fff f xfxxx n 2 0 1 1 n n x x 0 1 1 1 nn n x x 1x 3 2 1 1 1 1 2 mn m mm mm n xmxxx n 11 x 1 1 1 11 101 01 m m m 时 收敛域为 时 收敛域为 时 收敛域为 1 4 1 1 10 1 1 ln 1 11 1 nnn n nn x xxx nn 1 ln 1 n n x x n 11 x 5 21 0 1 sin 21 n n n xx n 2 0 1 cos sin 2 n n n xxx n x 6 1 0 1 arctan 11 21 n n n xxx n 7 0 n x n x n ex 3 幂级数的和函数 1 1 0 1 2 k 1 k n n k x xx x 2 1 1 1 k nn n k x xx x 0 1 2 k 3 1 ln 1 n n x x n 11 x 4 1 2 111 1 1 1 nnn nnn x nxxx xx 1x 5 2 23 211 11 1 1 1 1 nnn nnn x n nxxx xxx 1x 第十五章 傅里叶级数 10 第十五章 傅里叶级数 10 f x是以2 为周期且在 上可积的函数 1 0 1 cossin 2 nn n a f xanxbnx 0 1 af x dx 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 3 1 cos n af xnx dx 1 sin n bf xnx dx1 2 n 2 0 1 cossin 2 nn n an xn x f xab ll 0 1 l l af x l dx 1 cos l n l n x af xdx ll 1 sin l n l n x bf xdx ll 1 2 n 3 1 偶函数的傅里叶级数 0 1 cos 2 n n an x f xa l 0 12 cos cos ll n l n xn x af xdxf xdx llll 1 2 n 0 1 cos 2 n n a f xanx 0 12 cos cos n af xnxdxf xnxd x 1 2 n 2 奇函数的傅里叶级数 1 sin n n n x f xb l 0 12 sin sin ll n l n xn x f xdxf xdx llll b 1 2 n 1 sin n n f xb nx 0 12 sin sin n b f xnxdxf xnxdx 1 2 n 第十六章 多元函数的极限与连续 5 第十六章 多元函数的极限与连续 5 1 若累次极限 00 lim lim xxyy f x y 00 lim lim yy xx f x y 和重极限 00 lim x yxy f x y 都存在 则三者相等 2 若累次极限 00 lim lim xxyy f x y 与 00 lim lim yy xx f x y 存在但不相等 则重极限 00 lim x yxy f x y 必不存在 3 22 22 0 0 lim0 x y x y xy 22 22 0 0 1 lim x y xy xy 22 22 0 0 lim2 11 x y xy xy 22 0 0 1 lim sin0 x y xy xy 22 22 0 0 sin lim1 x y xy xy 第十七章 多元函数微分学 20 第十七章 多元函数微分学 20 1 全微分 zz dzdxdy xy 2 z zz xy xy xxyy t t sts sts zzxzy s y t sx sy zzxz txty 3 若函数f在点可微 则 0 Pf在点沿任一方向的方向导数都存在 且 0 P 000 l xyz 0000 cos cos cos lxyz f PfPfPfP 其中cos cos cos 为方向l x的方向余弦 000 yz 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 4 即 0 22 000 cos x 2 xyz 0 22 000 cos y 2 xyz 0 22 000 cos z 2 xyz 4 若 f x y z在点存在对所有自变量的偏导数 则称向量 0000 P xyz 000 xyz fPfPfP为函数f在点的 梯度 记作 0 P 000 ad z xy grfPf PfPf 向量gradf的长度 或模 为 22 2 000 gra d xy fPfffPP z 5 设 zf xy xy f有二阶连续偏导数 则有 121 1 z 2 12 z fyfzx x yyy 2 ffyfyf x 1112221222111222 1 1 ffxfy ffxffxy fxyf 6 设 令 00 0 xy fPfP 0 xx fPA 0 xy fPB 0 yy fPC 则 i 当 时 2 0ACB 0A f在点取得极小值 0 P ii 当 2 0ACB 0A 时 f在点取得极大值 0 P iii 当时 2 0ACB f在点不能取得极值 0 P iv 当时 不能肯定 2 0ACB f在点是否取得极值 0 P 第十八章 隐函数定理及其应用 10 第十八章 隐函数定理及其应用 10 1 隐函数 则有 0F x y x y Fdy dxF 2 隐函数 则有 0F x y z x z Fz xF y z F z yF 0 0 F x y u v G x y u v 3 隐函数方程组 有 xyuv xyuv FFFF FFFFxyuv GGGGGGGG xyuv 则 uv uv uv FF J GG xv xv xv FF J GG ux ux ux FF J GG yv yv yv FF J GG uy uy uy FF J GG xv uv Ju xJ ux uv Jv xJ yv uv J u yJ uy uv J v yJ 4 平面曲线平面曲线在点的切线切线 方程为 0F x y 000 P xy 000000 0 xy F xyxxF xyyy 法线法线 方程为 000000 0 yx F xyxxF xyyy 5 空间曲线 空间曲线 在点处的 L 0 0 F x y z G x y z 0000 P xyz 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 5 切线切线 方程为 00 zxyzxy zxyzxy 0 xxyyzz FFFFFF GGGGGG 0 0 000 0 xyz F xxFyyF zz 法线法线 方程为 00 yzxyzx yzxyzx FFFFFF xxyyzz GGGGGG 6 曲面曲面在点处的切平面切平面 方程为 0F x y z 0000 P xyz 法线法线 方程为 00 xy 0 z xxyyzz FFF 7 条件极值条件极值例题 求函数在约束条件 22 uxyz 222 zxy 与4xyz 下的最大值和最小值 解 令 22222 4 L x y zxyzzxyxyz 则由 得稳定点 22 220 22 2 0 40 x y z Lxx Lyy Lz Lzxy Lxyz 0 0 1 1 2 x y z 及 2 2 8 x y z 故当1xy 时函数在约束条件下取得最小值 2z 22 uxyz 2 8z 2 6 当 时函数在约束条件下取得最大值 2xy 22 uxyz 72 第十九章 含参量积分 5 第十九章 含参量积分 5 1 1 0 sx sxe dx0s 1 ss s 1 2 1 21 22n n n 1 1 2 2 21 nn n n 2 1 11 0 1 pq p qxx dx 0 0pq p qq p 1 1 1 q p qp q pq 0 1pq 1 1 1 p p qpq pq 1 0pq 1 1 1 1 1 2 pq p qpq pqpq 1 1pq 3 pq p q pq 0 0pq 第二十章 曲线积分 5 第二十章 曲线积分 5 1 设有光滑曲线 L xt yt t 函数 f x y为定义在L上的连续函数 则 22 L f x y dsftttt dt 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 6 当曲线由方程L yx xa b 表示时 2 1 b La f x y dsf xxx dx 2 设平面曲线 L xt yt t 其中 t 在 上具有一阶连续导函数 且 A B 又设与为上的连续函数 则沿L从A到 P x y Q x yLB的第二型曲线积分 L P x y dxQ x y dyPtttQttt dt 第二十一章 重积分 20 第二十一章 重积分 20 1 若 f x y在平面点集 12 Dx y y xyyx axb x型区域 上连续 其中 1 y x 2 yx在 上 连续 则 a b 2 1 byx ayx D f x y ddxf x y dy 即二重积分可化为先对y 后对x的累次积分 若 12 Dx y x yxxy cyd 其中 1 x y 2 xy在 上连续 则二重积分可化为先对 c dx 后 对y的累次积分 2 1 dxy cxy D f x y ddyf x y d x 在二重积分中 每次积分的上 下限一定要遵循 上限大 下限小 的原则 且一般来说 第一次 先 积分的上 下限一般为第二次 后 积分的积分变量的函数或常数 而第二次 后 积分的上 下限均为常数 2 格林公式 若函数 在闭区域上连续 且有一阶偏导数 则有 P x y Q x yD L D QP dPdxQdy xy 或 L D xy dPdxQ dy PQ D 这里为区域的边界曲线 并取正方向 L 3 设是单连通闭区域 若函数 在内连续 且具有一阶连续偏导数 则以下四个条件等价 D P x y Q x yD i 沿内任一按段光滑封闭曲线 有DL0 L PdxQdy ii 对中任一按段光滑曲线 曲线积分与路线无关 只与的起点及终点有关 DL L PdxQdy L iii 是内某一函数的全微分 即在内有PdxQdy D u x yDduPdxQdy iv 在内处处成立D PQ yx 4 设f x y在极坐标变换 cos sin xr T yr 0r 02 下 xy平面上有界闭区域与Dr 平面上区域 对应 则成立 D cos sin f x y dxdyf rrrdrd 通常积分区域为圆形 扇形 环形或为其一部分 或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单 且被积函数为 22 f xy y f x x f y f xy 等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析 3 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 7 直角坐标系方程直角坐标系方程 圆心圆心 半径半径 极坐标方程极坐标方程 222 xya 0 0 a ra 22 xya x 2 0 a 2a cosra 22 xya x 2 0a 2a cosra 22 xyb y 0 2 b 2b sinrb 22 xyb sinrb y 0 2 b 2b 22 xyaxby c 2 2 ab 22 44cab 22 44rcab 5 三重积分换元法 1 柱面坐标变换 cos 0 sin 02 xrr Tyr zzz V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz cos sin V f rrz rdrd dz