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文档简介

y x o x x y y o y x 用定义来判断函数的单调性有比较法 比值法 但繁 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性 4 3函数的单调性 一 函数的单调性判别法则 1 o x x o y y 反之 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢 从上图可看出 当曲线为上升 或下降 时 其上各点切线与x轴正向夹角为锐角 或钝角 则其切线斜率tan 是非负 或非正 的 根据导数的几何意义知函数 x 单调增加 或减少 时 总有 可见函数的单调性与导数的符号有关 2 定理7 函数单调性的判定方法 设y x 在区间 a b 上连续 在区间 a b 内可导 有 即函数导数在区间保号 则此函数在该区间内一定单调 则函数在单调增加 则函数在单调减少 证 根据拉格朗日中值定理 有 单调增加 同理可证 2 成立 3 例15 1 定理7的结论对无穷区间也成立 二 说明 2 此定理可完善为充要条件 即若 x 在 a b 内可导且单调增加 或减少 则 x 在 a b 内必有 4 o x y 3 如果函数的导数仅在个别点处为0 而在其余的点处均满足定理7 则定理7仍成立 如 4 有些函数在它的定义区间上不是单调的 如 但它在部分区间上单调 那么怎么来求它的单调区间呢 o x y 5 o x y y x 的点 单调区间分界点 来划分函数的定义区间 就能保证函数在各个部分区间内保持固定符号 从而可得单调区间及函数的单调性 5 函数y x x 0为其连续不可导点 但它在部分区间上单调 那么又怎么来求它的单调区间呢 结论 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数都存在且连续 那么只要用方程 6 1 确定函数定义域 2 求出的点 以这些点为分界点划分定义域为多个子区间 3 确定在各子区间内的符号 从而定出 x 在各子区间的单调性 三 一般步骤 7 例16讨论函数的单调性 解定义域为 故在内 x 是递增的 在内递减 列表讨论如下 的不可导点 将定义域分成三个子区间 8 例17证明不等式 下面利用函数的单调性 来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数 1 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 并讨论它在指定区间内的单调性 四 函数单调性的应用 证明 9 10 例19设 x 在内连续 a a时 有 其中k为常数 求证 在内 方程 x 0有且仅有一个实根 o x y y x a 证 在上应用拉格朗日中值定理 得 由介值定理知 x 0在 内至少有一个实根 故结论得证 2 讨论方程根的问题 若y x 单调且变号 则方程 x 0一定有根 而函数曲线与x轴的交点 确就是方
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