广东省广州市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

广东省广州市2015届 高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x03（5分）命题“若x0，则x20”的否命题是（）a若x0，则x20b若x20，则x0c若x0，则x20d若x20，则x04（5分）设向量=（x，1），=（4，x），=1，则实数x的值是（）a2b1cd5（5分）函数的最小正周期为（）a2bcd6（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d57（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，ac，则bc；若a，b，则ab； 若a，b，则ab其中真命题的序号是（）abcd8（5分）已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（）ablog2（ab）0cd2ab19（5分）已知曲线c：y2=1的左右焦点分别为f1f2，过点f2的直线与双曲线c的右支相交于p，q两点，且点p的横坐标为2，则pf1q的周长为（）ab5cd410（5分）已知函数f（x）=x+sinx3，则的值为（）a4029b4029c8058d8058二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）不等式x22x30的解集是12（5分）在平面直角坐标系xoy中，设不等式组，所表示的平面区域是w，从区域w中随机取点m（x，y），则|om|2的概率是13（5分）已知实数x，y满足x2+y2xy=1，则x+y的最大值为二.选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=（坐标系与参数方程选讲选做题）15（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin与c2：=2cos的交点分别为a、b，则线段ab的垂直平分线的极坐标方程为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（xr），是函数f（x）的一个零点（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，且，求sin（+）的值17（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（c）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日 期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（c）91012118销量y（杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程cq=2q1（参考公式：）18（14分）在如图所示的多面体abcdef中，de平面abcd，adbc，平面bcef平面adef=ef，bad=60，ab=2，de=ef=1（）求证：bcef；（）求三棱锥bdef的体积19（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列an的前n项和为sn，且2s2，s3，4s4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=n|an|，数列bn的前n项和为tn，求证：tn+bn620（14分）已知椭圆c：的离心率为，且经过点（0，1）圆c1：x2+y2=a2+b2（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆c有且只有一个公共点m，且l与圆c1相交于a，b两点，问=0是否成立？请说明理由21（14分）已知函数f（x）=ax2blnx在点（1，f（1）处的切线为y=1（）求实数a，b的值；（）是否存在实数m，当x（0，1时，函数g（x）=f（x）x2+m（x1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（）若0x1x2，求证：2x2广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案解答：解：z=（1+2i）i=2i2+i=2+i，复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（2，1），位于第二象限故选：b点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x0考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出n中x的范围确定出n，找出m与n的交集即可解答：解：由n中y=，得到x0，即n=x|x0，m=x|1x1，mn=x|0x1故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）命题“若x0，则x20”的否命题是（）a若x0，则x20b若x20，则x0c若x0，则x20d若x20，则x0考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案解答：解：命题“若x0，则x20”的否命题是：若x0，则x20，故选：c点评：本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题4（5分）设向量=（x，1），=（4，x），=1，则实数x的值是（）a2b1cd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由已知利用向量的数量积坐标表示得到关于x 的方程解之解答：解：由已知=（x，1），=（4，x），=1，得到4x+x=1，解得x=；故选d点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算，关键是熟练数量积的公式5（5分）函数的最小正周期为（）a2bcd考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用 分析：先将函数化简为y=asin（x+）的形式即可得到答案解答：解：由可得最小正周期为t=2，故选a点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法属基础题6（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d5考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；算法和程序框图分析：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解解答：解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，y=，sin（）=2k，kz，即可解得x=12k+1，kz当k=0时，有x=1故选：c点评：本题主要考查了程序框图和算法，正弦函数的图象和性质，属于基础题7（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，ac，则bc；若a，b，则ab； 若a，b，则ab其中真命题的序号是（）abcd考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析解答：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是ac，所以错误；若ab，bc，则ac，满足平行线公理，所以正确；平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断正确；故选：d点评：本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理8（5分）已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（）ablog2（ab）0cd2ab1考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出解答：解：log2alog2b，ab0，故选：c点评：本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，属于基础题9（5分）已知曲线c：y2=1的左右焦点分别为f1f2，过点f2的直线与双曲线c的右支相交于p，q两点，且点p的横坐标为2，则pf1q的周长为（）ab5cd4考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形pf1q为等腰三角形，pqx轴，令x=2，求得|pq|，再由勾股定理，求得|pf1|，即可求得周长解答：解：双曲线c：y2=1的a=，b=1，c=2，则f1（2，0），f2（2，0），由于点p的横坐标为2，则pqx轴，令x=2则有y2=1=，即y=即|pf2|=，|pf1|=则三角形pf1q的周长为|pf1|+|qf1|+|pq|=+=故选：a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=x+sinx3，则的值为（）a4029b4029c8058d8058考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=4，即可得到结论解答：解：若x1+x2=2时，即x2=2x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinx13+2x1+sin（2x1）3=26=4，即恒有f（x1）+f（x2）=4，且f（1）=2，则=2014f（）+f（）=2014（4）2=8058，故选：d点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）不等式x22x30的解集是（1，3）考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集解答：解：不等式x22x30，因式分解得：（x3）（x+1）0，可得：或，解得：1x3，则原不等式的解集为（1，3）故答案为：（1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型12（5分）在平面直角坐标系xoy中，设不等式组，所表示的平面区域是w，从区域w中随机取点m（x，y），则|om|2的概率是考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：若x，yr，则区域w的面积是22=4满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，求出面积，即可求出概率解答：解：这是一个几何概率模型若x，yr，则区域w的面积是22=4满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，面积为2（）=，故|om|2的概率为故答案为：点评：本题考查几何概率问题，确定满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，求出面积是关键13（5分）已知实数x，y满足x2+y2xy=1，则x+y的最大值为2考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式的性质即可得出解答：解：x2+y2xy=1，（x+y）2=1+3xy，化为（x+y）24，x+y2，x+y的最大值为2故答案为：2点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题二.选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出解答：解：直线ce与圆o相切于点c，acd=abcab是o的直径，acb=90，adc=acb=90acdabc，ac2=abad=91=9，解得ac=3故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键（坐标系与参数方程选讲选做题）15（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin与c2：=2cos的交点分别为a、b，则线段ab的垂直平分线的极坐标方程为sin+cos=1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：由=2sin得2=2sin，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线c1的直角坐标方程，同理求得曲线c2的直角坐标方程；线段ab的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段ab的垂直平分线方程，最后再化成极坐标方程即可解答：解：由=2sin得，2=2sin，即曲线c1的直角坐标方程为x2+y22y=0，由=2cos得曲线c2的直角坐标方程为x2+y22x=0线段ab的垂直平分线经过两圆的圆心圆x2+y22x=0可化为：（x1）2+y2=1，圆x2+y22y=0可化为：x2+（y1）2=1两圆的圆心分别为（1，0），（0，1）线段ab的垂直平分线方程为x+y=1，极坐标方程为sin+cos=1故答案为：sin+cos=1点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查两圆公共弦的垂直平分线的方程，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（xr），是函数f（x）的一个零点（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，且，求sin（+）的值考点：函数零点的判定定理；两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由是函数f（x）的一个零点知；从而求a的值并求函数的单调区间；（2）由得；由得；从而根据角的范围求角的三角函数值，再由恒等变换求解解答：解：（1）是函数f（x）的一个零点，a=1；f（x）=sinxcosx=由，kz，得，kz，函数f（x）的单调递增区间是（kz）（2），sin（+）=sincos+cossin=点评：本题考查了三角函数的化简与变换，属于基础题17（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（c）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日 期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（c）91012118销量y（杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程cq=2q1（参考公式：）考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：（1）用列举法求出“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”的基本事件数以及从这5个数据中任取2个数组成的基本事件数，求出概率；（2）根据表中数据，计算平均数与线性相关系数，得出y关于x的线性回归方程解答：解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件a，（1分）所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种； （3分）事件a包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种； （5分）事件a的概率是； （6分）（2）根据表中数据，得；，； （8分）；，（10分）y关于x的线性回归方程是 （12分）点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题目18（14分）在如图所示的多面体abcdef中，de平面abcd，adbc，平面bcef平面adef=ef，bad=60，ab=2，de=ef=1（）求证：bcef；（）求三棱锥bdef的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（）由adbc，得bc平面adef，由此能证明bcef（）在平面abcd内作bhad于点h，由已知得debh，bh平面adef，由此能求出三棱锥bdef的体积解答：解：（）因为adbc，ad平面adef，bc平面adef，所以bc平面adef，3分又bc平面bcef，平面bcef平面adef=ef，所以bcef6分（）在平面abcd内作bhad于点h，因为de平面abcd，bh平面abcd，所以debh，又ad、de平面adef，adde=d，所以bh平面adef，所以bh是三棱锥bdef的高10分在直角三角形abh中，bad=60，ab=2，所以，因为de平面abcd，ad平面abcd，所以dead，又由（）知，bcef，且adbc，所以adef，所以deef，所以三棱锥bdef的体积：13分点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列an的前n项和为sn，且2s2，s3，4s4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=n|an|，数列bn的前n项和为tn，求证：tn+bn6考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由2s2，s3，4s4成等差数列得到2s3=2s2+4s4，转化为a3，a4的关系即可求得公比，则等比数列的通项公式可求或是把2s3=2s2+4s4代入等比数列的前n项和公式求公比，然后由等比数列的通项公式得答案；（2）把数列an的通项公式代入bn=n|an|，化简后由错位相减法求得数列bn的前n项和为tn，即可证得tn+bn6解答：（1）解：由题意得2s3=2s2+4s4，即（s4s2）+（s4s3）=0，即（a4+a3）+a4=0公比则另解：由题意得2s3=2s2+4s4，q1，化简得2q2q1=0，解得，；（2）证明：，得，=，点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题20（14分）已知椭圆c：的离心率为，且经过点（0，1）圆c1：x2+y2=a2+b2（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆c有且只有一个公共点m，且l与圆c1相交于a，b两点，问=0是否成立？请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆经过的点求出b，利用离心率求解a，然后求解椭圆c的方程（2）解法1：求出圆c1的圆心为原点o，利用直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可解法2：求出圆c1的圆心，联立直线l与椭圆c的方程组成方程组，有且只有一组解，求出m，设a（x1，y1），b（x2，y2），线段ab的中点为n（xn，yn），通过若xn=xm，推出矛盾，得到结论解答：（本小题满分14分）（1）解：椭圆过点（0，1），b2=1（1分），（2分）a2=4 （3分）椭圆c的方程为（ 4分）（2）解法1：由（1）知，圆c1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点o（5分）直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，方程组（*） 有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0（6分）从而=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，化简得m2=1+4k2（7分），（9分）点m的坐标为（10分）由于k0，结合式知m0，komk=（11分）om与ab不垂直（12分）点m不是线段ab的中点（13分）=0不成立（14分）解法2：由（1）知，圆c1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点o（5分）直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，方程组（*） 有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0 （6分）从而=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，化简得m2=1+4k2（7分），（8分）由于k0，结合式知m0，设a（x1，y1），b（x2，y2），线段ab的中点为n（xn，yn），由消去y，得（1+k2）x2+2kmx+m25=0（9分）（10分）若xn=xm，得，化简得3=0，矛盾（11分）点n与点m不重合（1