高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程课件 苏教版选修11.ppt

2 4 1抛物线的标准方程 第2章 2 4抛物线 1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3 明确抛物线标准方程中p的几何意义 能解决简单的求抛物线标准方程的问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点抛物线的标准方程 思考1在抛物线方程中p有何意义 抛物线的开口方向由什么决定 答案 p是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线方程中一次项决定开口方向 思考2已知抛物线的标准方程 怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向 答案 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 若系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 梳理抛物线的标准方程有四种类型 题型探究 例1分别根据下列条件求抛物线的标准方程 1 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 类型一求抛物线的标准方程 解答 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 所以 所求抛物线的标准方程为x2 8y 因为抛物线的准线平行于x轴 且在x轴上面 解答 由焦点到准线的距离为5知 p 5 又焦点在x轴负半轴上 所以 所求抛物线的标准方程为y2 10 x 3 焦点在x轴负半轴上 焦点到准线的距离是5 解答 由题意知 抛物线方程可设为y2 mx m 0 或x2 ny n 0 将点a 2 3 的坐标代入 得32 m 2或22 n 3 4 过点a 2 3 解答 求抛物线方程 通常用待定系数法 若能确定抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2 ay a 0 反思与感悟 跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解答 方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 分别代入y2 2px和x2 2p1y 得 4 2 2p 3 32 2p1 4 方法二 点 3 4 在第四象限 设抛物线的方程为y2 ax a 0 或x2 by b 0 2 焦点在直线x 3y 15 0上 且焦点在坐标轴上 解答 令x 0 得y 5 令y 0 得x 15 抛物线的焦点坐标为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 解答 例2已知抛物线的方程如下 求其焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程 由方程y2 6x知 抛物线开口向左 解答 解答 2 3x2 5y 0 3 y 4x2 解答 4 y2 a2x a 0 解答 由方程y2 a2x a 0 知 抛物线开口向右 引申探究若将本例 4 中条件改为y ax2 a 0 结果又如何 解答 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程 求它的焦点坐标 准线方程时 首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 一次项的变量若为x 或y 则x轴 或y轴 是抛物线的对称轴 一次项系数的符号决定开口方向 跟踪训练2若抛物线y2 2px的焦点坐标为 1 0 则p 准线方程为 答案 解析 2 x 1 类型三抛物线定义的应用 解答 命题角度1与抛物线有关的轨迹方程 由抛物线的定义知 动点m的轨迹是以f为焦点 l为准线的抛物线 其方程应为y2 2px p 0 的形式 故点m的轨迹方程为y2 2x x 0 反思与感悟 满足抛物线的定义 可直接利用定义写出轨迹方程 避免了繁琐的化简 跟踪训练3平面上动点p到定点f 1 0 的距离比点p到y轴的距离大1 求动点p的轨迹方程 解答 由题意知 动点p到定点f 1 0 的距离比到y轴的距离大1 由于点f 1 0 到y轴的距离为1 故当x 0时 直线y 0上的点适合条件 当x 0时 原命题等价于点p到点f 1 0 与到直线x 1的距离相等 故点p的轨迹是以f为焦点 x 1为准线的抛物线 方程为y2 4x 解答 命题角度2利用抛物线定义求最值 例4设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线的焦点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 如图 易知抛物线的焦点坐标为f 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到焦点f的距离 于是问题转化为在曲线上求一点p 使点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和最小 显然 连结af af与抛物线的交点即为点p 即点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值为 2 若点b的坐标为 3 2 求pb pf的最小值 解答 如图 把点b的横坐标代入y2 4x中 得y 2 因为2 2 所以点b在抛物线内部 过点b作bq垂直于准线 垂足为点q 交抛物线于点p1 连结p1f 此时 由抛物线定义知 p1q p1f 所以pb pf p1b p1q bq 3 1 4 即pb pf的最小值为4 反思与感悟 解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时 往往用抛物线的定义进行转化 即化折线为直线来解决最值问题 跟踪训练4已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 由题意知 直线l2 x 1为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 点p到l2的距离等于点p到抛物线的焦点f 1 0 的距离 故所求最值可转化为在抛物线y2 4x上找一个点p 使得点p到点f 1 0 和到直线l1的距离之和最小 最小值为f 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0的距离 即d 2 答案 解析 2 当堂训练 1 2 3 4 5 1 抛物线y x2的准线方程是 答案 解析 y 1 则抛物线的焦点在y轴正半轴上 且2p 4 即p 2 1 2 3 4 5 抛物线y2 8x的准线方程为x 2 则点p到准线的距离是6 由抛物线的定义可知 点p到抛物线焦点的距离是6 2 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 答案 解析 6 1 2 3 4 5 3 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 准线方程为x 1 答案 解析 y2 4x p 2 又焦点在x轴上 则抛物线的标准方程为y2 4x 1 2 3 4 5 2 焦点在x轴的负半轴上 焦点到准线的距离是2 答案 解析 y2 4x 焦点到准线的距离为p 2 且焦点在x轴的负半轴上 抛物线的标准方程为y2 4x 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 5 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求抛物线方程和m点的坐标 由题意设点m到准