高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和（二）课件 新人教A版必修5.ppt

第二章数列 2 5等比数列的前n项和 二 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 应用方程的思想解决与等比数列前n项和有关的问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一等比数列前n项和的变式 答案 na1 答案 aqn a 思考在数列 an 中 an 1 can c为非零常数 且前n项和sn 3n 1 k 则实数k等于 答案 答案 等比 q 思考在等比数列 an 中 若a1 a2 20 a3 a4 40 则s6等于 a 140b 120c 210d 520 返回 解析答案 解析s2 20 s4 s2 40 s6 s4 80 s6 s4 80 s2 40 80 140 a 题型探究重点突破 题型一等比数列前n项和的性质例1 1 等比数列 an 中 s2 7 s6 91 则s4 解析答案 解析 数列 an 是等比数列 s2 s4 s2 s6 s4也是等比数列 即7 s4 7 91 s4也是等比数列 s4 7 2 7 91 s4 解得s4 28或s4 21 又 s4 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a1q2 a2q2 a1 a2 1 q2 s2 1 q2 0 s4 28 28 2 等比数列 an 共有2n项 其和为 240 且 a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 80 则公比q 解析答案 反思与感悟 2 解决有关等比数列前n项和的问题时 若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质 常常可以避繁就简 不仅可以减少解题步骤 而且可以使运算简便 同时还可以避免对公比q的讨论 解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件 并结合题设条件寻找使用性质的切入点 方可使 英雄 有用武之地 反思与感悟 解析答案 即1 q3 3 所以q3 2 2 一个项数为偶数的等比数列 各项之和为偶数项之和的4倍 前3项之积为64 求通项公式 解析答案 解设数列 an 的首项为a1 公比为q 全部奇数项 偶数项之和分别记为s奇 s偶 由题意知s奇 s偶 4s偶 即s奇 3s偶 题型二等比数列前n项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑 采用分期付款方式 并在一年内将款全部付清 商场提出的付款方式为 购买2个月后第1次付款 再过2个月后第2次付款 购买12个月后第6次付款 每次付款金额相同 约定月利率为0 8 每月利息按复利计算 求小华每期付款金额是多少 解析答案 反思与感悟 解方法一设小华每期付款x元 第k个月末付款后的欠款本利为ak元 则 a2 5000 1 0 008 2 x 5000 1 0082 x a4 a2 1 0 008 2 x 5000 1 0084 1 0082x x a12 5000 1 00812 1 00810 1 0088 1 0082 1 x 0 解析答案 反思与感悟 故小华每期付款金额约为880 8元 方法二设小华每期付款x元 到第k个月时已付款及利息为ak元 则 a2 x a4 a2 1 0 008 2 x x 1 1 0082 a6 a4 1 0 008 2 x x 1 1 0082 1 0084 a12 x 1 1 0082 1 0084 1 0086 1 0088 1 00810 年底付清欠款 a12 5000 1 00812 即5000 1 00812 x 1 1 0082 1 0084 1 00810 故小华每期付款金额约为880 8元 反思与感悟 分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题 此类题目的特点是 每期付款数相同 且每期间距相同 解决这类问题有两种处理方法 如本题中方法一是按欠款数计算 由最后欠款为0列出方程求解 而方法二是按付款数计算 由最后付清全部欠款列方程求解 反思与感悟 解析答案 返回 解析答案 题型三新情境问题例3定义 若数列 an 满足an 1 an 则称数列 an 为 平方数列 已知数列 an 中 a1 2 点 an an 1 在函数f x 2x2 2x的图象上 其中n为正整数 1 证明 数列 2an 1 是 平方数列 且数列 lg 2an 1 为等比数列 解析答案 2 数列 2an 1 是 平方数列 lg 2an 1 1 lg 2an 1 2 2lg 2an 1 且lg 2a1 1 lg5 0 lg 2an 1 是首项为lg5 公比为2的等比数列 2 设 1 中 平方数列 的前n项之积为tn 则tn 2a1 1 2a2 1 2an 1 求数列 an 的通项及tn关于n的表达式 解析答案 解 lg 2a1 1 lg5 lg 2an 1 2n 1lg5 lgtn lg 2a1 1 lg 2a2 1 lg 2an 1 2n 1 lg5 tn 1 3 对于 2 中的tn 记bn logtn 求数列 bn 的前n项和sn 并求使sn 4024的n的最小值 解析答案 2an 1 反思与感悟 解析答案 2an 1 n的最小值为2013 反思与感悟 数列创新题的特点及解题关键特点 叙述复杂 关系条件较多 难度较大 解题关键 读清条件要求 理清关系 逐个分析 反思与感悟 跟踪训练3记u 1 2 100 对数列 an n n 和u的子集t 若t 定义st 0 若t t1 t2 tk 定义st at1 at2 atk 例如 t 1 3 66 时 st a1 a3 a66 现设 an n n 是公比为3的等比数列 且当t 2 4 时 st 30 1 求数列 an 的通项公式 解析答案 2 对任意正整数k 1 k 100 若t 1 2 k 求证 st ak 1 解析答案 3 设c u d u sc sd 求证 sc sc d 2sd 证明设a c c d b d c d 则a b sc sa sc d sd sb sc d sc sc d 2sd sa 2sb sc sc d 2sd等价于sa 2sb 由条件sc sd可得sa sb 若b 则sb 0 所以sa 2sb成立 解析答案 若b 由sa sb可知a 设a中的最大元素为i b中的最大元素为m 若m i 1 则由 2 得sa si 1 am sb 矛盾 又 a b i m i m 1 sb a1 a2 am 1 3 32 3m 1 即sa 2sb成立 综上所述 sa 2sb 故sc sc d 2sd成立 返回 当堂检测 1 2 3 4 1 等比数列 an 中 a1a2a3 1 a4 4 则a2 a4 a6 a2n等于 解析答案 1 2 3 4 a2 1 又 a4 4 数列a2 a4 a6 a2n是首项为1 公比为4的等比数列 答案b 2 某住宅小区计划植树不少于100棵 若第一天植2棵 以后每天植树的棵数是前一天的2倍 则需要的最少天数n n n 等于 a 3b 4c 5d 6 解析设每天植树棵数为 an 则 an 是等比数列 an 2n n n n为天数 由题意得2 22 23 2n 100 2n 1 50 2n 51 n 6 需要的最少天数n 6 1 2 3 4 d 解析答案 1 2 3 4 3 等比数列 an 的前m项和为4 前2m项和为12 则它的前3m项和是 a 28b 48c 36d 52 a 解析易知sm 4 s2m sm 8 s3m s2m 16 s3m 12 16 28 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4 已知数列 an 是等比数列 sn是其前n项的和 a1 a7 a4成等差数列 求证 2s3 s6 s12 s6成等比数列 证明设等比数列 an 的公比为q 由题意得2a7 a1 a4 即2a1 q6 a1 a1 q3 2q6 q3 1 0 令q3 t 则2t2 t 1 0 当q3 1时 2s3 6a1 s6 6a1 s12 s6 6a1 解析答案 1 2 3 4 2s3 s6 s12 s6成等比数列 解析答案 1 2 3 4 2s3 s6 s12 s6成等比数