高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（一）课件 新人教A版必修5.ppt

第一章 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 2余弦定理 一 1 掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法 2 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一余弦定理及其证明 平方 和 平方 a2 c2 2accosb 1 余弦定理的表示及其推论 答案 积的两 a2 b2 2abcosc b2 c2 2bccosa 答案 答案 c 2 c c b a 2 c2 a2 b2 2abcosc b a a2 2a b b2 a2 2abcosc b2 2 利用坐标法证明如图 建立平面直角坐标系 则a b c 写出三点的坐标 答案 a bc a2 b2 c2 2bccosa 0 0 ccosa csina b 0 思考1在 abc中 若a2 b2 bc c2 则a 解析答案 答案 思考2勾股定理和余弦定理的联系与区别 答案二者都反映了三角形三边之间的平方关系 其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系 勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系 是余弦定理的特例 知识点二用余弦定理解三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类问题 1 已知两边及其夹角解三角形 2 已知三边解三角形 思考已知三角形的两边及一边的对角解三角形 有几种方法 答案 返回 答案不妨设已知a b a 方法二由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得边c 而后由余弦或正弦定理求得b c 题型探究重点突破 题型一已知两边及其夹角解三角形 解析答案 反思与感悟 解由余弦定理知c2 a2 b2 2abcosc 反思与感悟 b a b a a 30 b 180 a c 135 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 1 先利用余弦定理求出第三边 其余角的求解有两种思路 一是利用余弦定理的推论求出其余角 二是利用正弦定理 已知两边和一边的对角 求解 2 用正弦定理求解时 需对角的取值根据 大边对大角 进行取舍 而用余弦定理就不存在这些问题 因为在 0 上 余弦值对应的角是唯一的 故用余弦定理求解较好 反思与感悟 解析答案 d 题型二已知三边 或三边的关系 解三角形 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 已知三边 或三边的关系 解三角形的方法 1 利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值 值为正 角为锐角 值为0 角为直角 值为负 角为钝角 2 方法一 两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值 确定两个角 并确定第三个角 方法二 由余弦定理的推论求一个内角的余弦值 确定角的大小 由正弦定理求第二个角的正弦值 结合 大边对大角 大角对大边 法则确定角的大小 最后由三角形内角和为180 确定第三个角的大小 3 若已知三角形三边的比例关系 常根据比例的性质引入k 从而转化为已知三边求解 反思与感悟 解析答案 下同例题解法 题型三已知两边及其中一边的对角解三角形 解析答案 反思与感悟 解方法一在 abc中 根据余弦定理可得 方法二在 abc中 由正弦定理得 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 因为b a 所以b a 又b 0 180 所以b 30 所以c 180 a b 105 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边 注意边的取舍 再利用正弦定理求其他的两个角 也可以由正弦定理求出第二个角 注意角的取舍 再利用三角形内角和定理求出第三个角 最后利用正弦定理求出第三边 反思与感悟 解析答案 返回 解方法一由余弦定理b2 a2 c2 2accosb得 解析答案 又 a 0 180 a 90 c 60 方法二由bcsin30 知本题有两解 c 60 或120 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 解析由余弦定理及其推论知只有a正确 a 1 2 3 4 5 解析答案 d 1 2 3 4 5 解析答案 a 1 2 3 4 5 解析答案 4 在 abc中 若a2 b2 c2 ab 则角c的大小为 1 2 3 4 5 解析答案 课堂小结 1 余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广 勾股定理可以看作是余弦定理的特例 1 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方 那么第三边所对的角是锐角 2 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方 那么第三边所对的角是钝角 3 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么第三边所对的角是直角 返回 2 利用余弦定理可以解