广东省广州市华南师大附中高考数学“临门一脚”试卷 理（含解析）.doc

广东省广州市华南师大附中2015届 高考数学“临门一脚”试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1（3分）定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和 如：1=+，1=+，1=+，依此类推可得：1=+，其中mn，m，nn*设1xm，1yn，则的最小值为（）abcd2（3分）定义区间（a，b），a，b），（a，b，a，b的长度均为d=ba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）3，5）的长度d=（21）+（53）=3用x表示不超过x的最大整数，记x=xx，其中xr设f（x）=xx，g（x）=x1，当0xk时，不等式f（x）g（x）解集区间的长度为5，则k的值为（）a6b7c8d93（3分）设a是整数集的一个非空子集，对于ka，如果k1a且k+1a，那么称k是a的一个“孤立元”，给定s=1，2，3，4，5，6，7，8，则s的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（）a6b15c20d254（3分）在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）a和b和c和d和5（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）a152b126c90d54二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6（3分）在平面直角坐标系xoy中，过点p（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为m（x1，y1），n（x2，y2），且+=0，则实数a的值为7（3分）设（x1）4（x+2）8=a0x12+a1x11+anx+a12，则a2+a4+a12=8（3分）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题（共15小题，满分122分）9已知在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，b（bc）=（ac）（a+c），且b为钝角（）求角a的大小，并求出角c的范围；（）若a=，求bc的取值范围10（12分）已知函数（xr）的图象经过点（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，求cos（）的值11（12分）为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练，现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（1）现要从中选派一人参见奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；（2）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值e（）12如图，直二面角dabe中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb=，f为ce上的点，且bfce，g为ac中点（）求证：ac平面bgf；（）求二面角bace的平面角正弦的大小；（）求点d到平面ace的距离13已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）若e是侧棱pa上的动点问：不论点e在pa的任何位置上，是否都有bdce？请证明你的结论？（3）求二面角dpab的余弦值14（14分）等边三角形abc的边长为3，点d、e分别是边ab、ac上的点，且满足（如图1）将ade沿de折起到a1de的位置，使二面角a1deb成直二面角，连结a1b、a1c （如图2）（1）求证：a1d丄平面bced；（2）在线段bc上是否存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60？若存在，求出pb的长；若不存在，请说明理由15（14分）已知数列an是公比为的等比数列，数列bn满足a1=b1=1，且an+12=，bn+1=1+，nn+，若cn=；（1）求证：数列cn是等差数列，并求出cn的通项公式；（2）记数列cn的前n项和为sn，若对于nn+，不等式aik恒成立，求实数k的取值范围16（14分）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表记表中第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1=a1=1sn为数列bn的前n项和，且满足2bn=bnsnsn2（n2，nn*）（1）证明数列是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数当a81=时，求上表中第k（k3）行所有数的和17已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且4sn=an2+2an（nn*）（1）求a1的值及数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为tn，求证：tn（nn*）18已知圆c：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：+=1（ab0）的右焦点f和上顶点b（）求椭圆的方程；（）过原点o的射线l与椭圆在第一象限的交点为q，与圆c的交点为p，m为op的中点，求的最大值19（14分）如图，已知点s（2，0）和圆o：x2+y2=4，st是圆o的直径，从左到右m、o和n依次是st的四等分点，p（异于s，t）是圆o上的动点，pdst，交st于d，=，直线ps与te交于c，|cm|+|cn|为定值（1）求点c的轨迹曲线的方程及的值；（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于q点，l与轨迹相交于a，b两点，且|=1是否存在直线l，使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由20（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知a，b，c是椭圆+=1（ab0）上不同的三点，a（3，），b（3，3），c在第三象限，线段bc的中点在直线oa上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点c的坐标；（3）设动点p在椭圆上（异于点a，b，c）且直线pb，pc分别交直线oa于m，n两点，证明为定值并求出该定值21设函数f（x）=（1ax）ln（x+1）bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值；（2）当0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（）10000.4e（）1000.522（14分）已知函数f（x）=2（a1）ln（x1）+x（4a2）lnx，其中实数a为常数（）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；（）设函数y=f（ex）有极大值点和极小值点分别为x1、x2，且x2x1ln2，求a的取值范围23（14分）已知函数f（x）=xxlnx，g（x）=f（x）xf（a），其中f（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1x2，证明：（x2x1）f（x2）f（x2）f（x1）（x2x1）f（x1）；（3）对任意的nn*，且n2，证明：广东省广州市华南师大附中2015届高考数学“临门一脚”试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1（3分）定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和 如：1=+，1=+，1=+，依此类推可得：1=+，其中mn，m，nn*设1xm，1yn，则的最小值为（）abcd考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：由题意，m=13，n=45=20，则=1+，可得y=1，x=13时，取得最小值解答：解：由题意，m=13，n=45=20，则=1+，1xm，1yn，y=1，x=13时，的最小值为，故选：c点评：本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，取得m，n的值是关键2（3分）定义区间（a，b），a，b），（a，b，a，b的长度均为d=ba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）3，5）的长度d=（21）+（53）=3用x表示不超过x的最大整数，记x=xx，其中xr设f（x）=xx，g（x）=x1，当0xk时，不等式f（x）g（x）解集区间的长度为5，则k的值为（）a6b7c8d9考点：函数单调性的性质；函数的值域 专题：计算题；新定义分析：先化简f（x）=xx=x（xx）=xxx2，再化简f（x）g（x），再分类讨论：当x0，1）时，当x1，2）时当x2，3）时，从而得出f（x）g（x）在0xk时的解集的长度，依题意即可求得k的值解答：解：f（x）=xx=x（xx）=xxx2，g（x）=x1，f（x）g（x）xxx2x1即（x1）xx21，当x0，1）时，x=0，上式可化为x1，x；当x1，2）时，x=1，上式可化为00，x；当x2，3）时，x=2，x10，上式可化为xx+1=3，当x0，3）时，不等式f（x）g（x）解集区间的长度为d=32=1；同理可得，当x3，4）时，不等式f（x）g（x）解集区间的长度为d=42=2；不等式f（x）g（x）解集区间的长度为5，k2=5，k=7故选b点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题3（3分）设a是整数集的一个非空子集，对于ka，如果k1a且k+1a，那么称k是a的一个“孤立元”，给定s=1，2，3，4，5，6，7，8，则s的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（）a6b15c20d25考点：分类加法计数原理；元素与集合关系的判断；排列、组合的实际应用 专题：集合；排列组合分析：若集合s的子集的3个元素都是“孤立元”，则三元素两两不相邻，可采用间接法，即先不考虑相邻与否，算出s的所有三元素子集的个数，再从中去掉只有两个元素相邻和三个元素都相邻的三元素子集个数解答：解：s的所有三元素子集共有个，三元素中只有两个相邻的有两类：一是若1、2，或7、8相邻，则只需再从与之不相邻的5个元素中任取一个，共有2=10个；二是若2、3或3、4或4、5或5、6或6、7相邻，则需从与之不相邻的四个元素中再任取一个，共5=20个；三元素都相邻的共有6个（即：123，234，345，456，567，678）；所以符合题意三元素子集共10206=20个故选c点评：这个题以集合知识为载体，重点考查利用组合知识解决问题的能力4（3分）在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）a和b和c和d和考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：d点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题5（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）a152b126c90d54考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案解答：解：根据题意，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：c31a33=18种；甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有a32c32a22=3232=36种；2甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：a32c31c21a22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选b点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6（3分）在平面直角坐标系xoy中，过点p（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为m（x1，y1），n（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或2考点：圆的切线方程 专题：计算题；直线与圆分析：两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为1，可得p，q，r，t共线，即可求出实数a的值解答：解：设mn中点为q（x0，y0），t（1，0），圆心r（a，1），根据对称性，mnpr，=，kmn=，+=0kmnktq=1，mntq，p，q，r，t共线，kpt=krt，即，a2a6=0，a=3或2故答案为：3或2点评：本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7（3分）设（x1）4（x+2）8=a0x12+a1x11+anx+a12，则a2+a4+a12=7考点：二项式系数的性质；二项式定理的应用 专题：计算题分析：分别令x=1与x=1即可求得a0+a2+a4+a12的值，而a0=1，从而可得答案解答：解：（x1）4（x+2）8=a0x12+a1x11+a11x+a12，当x=1时，a0+a1+a2+a12=0，当x=1时，a0a1+a2a11+a12=16，+得：2（a0+a2+a4+a12）=16，a0+a2+a4+a12=8；又含x12项的系数为1，即a0=1，a2+a4+a12=7故答案为：7点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出赋值法的应用，属于中档题8（3分）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有43种，（结果用数值表示）考点：归纳推理；计数原理的应用 专题：计算题；压轴题分析：根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当n取不同值时的结果数；利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案，得到结果解答：解：由题意知当n=1时，有2种，当n=2时，有3种，当n=3时，有2+3=5种，当n=4时，有3+5=8种，当n=5时，有5+8=13种，当n=6时，有8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有6421=43种结果，故答案为：21；43点评：本题考查简单的排列组合及简单应用，考查观察规律，找出结果的过程，是一个比较麻烦的题目，当作为2015届高考题目比前几年的排列组合问题不难三、解答题（共15小题，满分122分）9已知在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，b（bc）=（ac）（a+c），且b为钝角（）求角a的大小，并求出角c的范围；（）若a=，求bc的取值范围考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）把已知的等式变形，然后利用余弦定理求得cosa，再结合角a的范围求a，再由b为钝角可得c的范围；（）利用正弦定理得到b=sinb，c=sinc，代入bc后利用辅助角公式化积，再由c的范围得答案解答：解：（）由b（bc）=（ac）（a+c），得，得，于是又a（0，），a=b为钝角，于是a+c，又a=，；（）由正弦定理可知，b=sinb，c=sinc=，又0，点评：本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，训练了两角和与差的余弦公式，是中低档题10（12分）已知函数（xr）的图象经过点（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，求cos（）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由函数f（x）的解析式，代入点的坐标，解得a的值，从而可求函数f（x）的解析式（2）由f（x）=可由解得sin的值，利用三角函数恒等变换化简可得sin的值，结合范围，利用同角三角函数关系式可求cos，cos的值，由两角和与差的余弦函数公式即可得解解答：（本小题满分12分）解：（1）由函数f（x）的图象经过点，则解得a=1，因此（2）=，又，点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于中档题11（12分）为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练，现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（1）现要从中选派一人参见奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；（2）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值e（）考点：离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题；概率与统计分析：（1）求平均数=8.5，=8.5；再求标准差s甲0.52，s乙0.64；从而确定；（2）对于乙射击选手，每次射击不低于8.5分的概率为，从而求分布列及数学期望解答：解：（1）=8.5，=8.5；s甲=0.52，s乙0.64；甲射击选手更稳定一些，故派甲选手参加合理（2）对于乙射击选手，每次射击不低于8.5分的概率为，故分布列为 01 2 3 p故e（）=+2+3=点评：本题考查了离散型随机变量的期望及分布列的求法，计算量比较大，属于中档题12如图，直二面角dabe中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb=，f为ce上的点，且bfce，g为ac中点（）求证：ac平面bgf；（）求二面角bace的平面角正弦的大小；（）求点d到平面ace的距离考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明cb平面abe然后证明bfacbgac利用直线与平面垂直的判定定理证明ac平面bgf（2）连结bd交ac于g，连结fg，说明bgf是二面角bace的平面角，通过求解直角bfg，得到二面角bace的平面角正弦值（3）过点e作eoab交ab于点o，oe=1利用vdace=veacd，求解点d到平面ace的距离解答：（1）证明：二面角dabe为直二面角，且cbab，cb平面abecbae又ae=eb=，ab=2ebaeae平面bcebfae又bfcebf平面acebfac又bgacac平面bgf； （4分）（2）解：连结bd交ac于g，连结fg，正方形abcd边长为2，bgac，bg=bf平面ace，由三垂线定理的逆定理得fgac，bgf是二面角bace的平面角（6分）由（1）ae平面bce，又ae=eb，在等腰直角三角形aeb中，be=又直角bce中，bf=，直角bfg中，sinbgf=二面角bace的平面角正弦值为：；（10分）（3）解：过点e作eoab交ab于点o，oe=1二面角dabe为直二面角，eo平面abcd设d到平面ace的距离为h，vdace=veacd，=sacdeo（12分）ae平面bce，aeech=点d到平面ace的距离为（14分）点评：本题考查二面角的平面角的求法，找出二面角的平面角是求解角的关键，同时考查点、线、面之间距离，考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力13已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）若e是侧棱pa上的动点问：不论点e在pa的任何位置上，是否都有bdce？请证明你的结论？（3）求二面角dpab的余弦值考点：由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 专题：计算题；转化思想分析：（1）根据三视图的数据，结合三视图的特征直接求四棱锥pabcd的体积；（2）若e是侧棱pa上的动点不论点e在pa的任何位置上，都有bdce，说明bd平面pac，都有ce平面pac，即可（3）在平面dap过点d作dfpa于f，连接bf说明dfb为二面角dapb的平面角，在dfb中，求二面角dpab的余弦值解答：解：（1）由三视图可知，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pc底面abcd，且pc=2s正方形abcdpc=（4分）（2）不论点e在何位置，都有bdae（5分）证明：连接ac，abcd是正方形，bdacpc底面abcd，且bd平面abcd，bdpc（6分）又acpc=c，bd平面pac（7分）不论点e在何位置，都有ce平面pac不论点e在何位置，都有bdce（9分）（3）在平面dap过点d作dfpa于f，连接bf，ad=ab=1，rtadprtabppad=pab，又af=af，ab=ad从而adfabf，bfapdfb为二面角dapb的平面角（12分）在rtacp中，故在rtadp中，又，在dfb中，由余弦定理得：所以二面角dpab的余弦值为（14分）点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键，同时注意：空间想象能力，逻辑思维能力的培养14（14分）等边三角形abc的边长为3，点d、e分别是边ab、ac上的点，且满足（如图1）将ade沿de折起到a1de的位置，使二面角a1deb成直二面角，连结a1b、a1c （如图2）（1）求证：a1d丄平面bced；（2）在线段bc上是否存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60？若存在，求出pb的长；若不存在，请说明理由考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：计算题；空间角；空间向量及应用分析：（1）等边abc中，根据得到ad=1且ae=2，由余弦定理算出de=，从而得到ad2+de2=ae2，所以adde结合题意得平面a1de平面bcde，利用面面垂直的性质定理，可证出a1d丄平面bced；（2）作phbd于点h，连接a1h、a1p，由a1d丄平面bced得a1d丄ph，所以ph平面a1bd，可得pa1h是直线pa1与平面a1bd所成的角，即pa1h=60设pb=x（0x3），分别在rtba1h、rtpa1h和rtda1h中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在bc上存在点p且当pb=时，直线pa1与平面a1bd所成的角为60解答：解：（1）正abc的边长为3，且=ad=1，ae=2，ade中，dae=60，由余弦定理，得de=ad2+de2=4=ae2，adde折叠后，仍有a1dde二面角a1deb成直二面角，平面a1de平面bcde又平面a1de平面bcde=de，a1d平面a1de，a1ddea1d丄平面bced；（2）假设在线段bc上存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60如图，作phbd于点h，连接a1h、a1p由（1）得a1d丄平面bced，而ph平面bced所以a1d丄pha1d、bd是平面a1bd内的相交直线，ph平面a1bd由此可得pa1h是直线pa1与平面a1bd所成的角，即pa1h=60设pb=x（0x3），则bh=pbcos60=，ph=pbsin60=x在rtpa1h中，pa1h=60，所以a1h=，在rtda1h中，a1d=1，dh=2x由a1d2+dh2=a1h2，得12+（2x）2=（x）2解之得x=，满足0x3符合题意所以在线段bc上存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60，此时pb=点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题15（14分）已知数列an是公比为的等比数列，数列bn满足a1=b1=1，且an+12=，bn+1=1+，nn+，若cn=；（1）求证：数列cn是等差数列，并求出cn的通项公式；（2）记数列cn的前n项和为sn，若对于nn+，不等式aik恒成立，求实数k的取值范围考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）把bn+1=1+右边通分后两边平方，与an+12=两边作积即可证得数列cn是等差数列，由等差数列的通项公式求其通项公式；（2）求出数列cn的前n项和为sn，代入ai整理，利用错位相减法求其和，由不等式aik分离k后求得函数的最大值得答案解答：（1）证明：递推关系可变形为：，（nn*），两式相乘得：（nn*），即cn+1=cn+1（nn*），又，数列cn是首项为，公差为1的等差数列，故cn的通项公式：；（2）解：由（1）知道，ai=记 由得：=，即对于任意的正整数n，不等式恒成立，k，当n=1时，k的范围是）点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，属中高档题16（14分）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表记表中第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1=a1=1sn为数列bn的前n项和，且满足2bn=bnsnsn2（n2，nn*）（1）证明数列是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数当a81=时，求上表中第k（k3）行所有数的和考点：数列的求和；等差关系的确定 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由n2时，2bn=bnsnsn2，得2（snsn1）=（snsn1）sn=snsn1，两边同除以snsn1整理后得，由此可知数列是等差数列，从而可求得sn，根据sn与bn的关系可求得bn；（2）设上表中从第三行起，每行中的数构成的等比数列的公比都为q，且q0易判断a81所在的行和列，借助bn可求得公比q，再根据等比数列的求和公式可求得结果；解答：解：（1）由已知，当n2时，2bn=bnsnsn2，又sn=b1+b2+b3+bn，2（snsn1）=（snsn1）sn=snsn1，又s1=b1=a1=1数列是首项为1，公差为的等差数列 ，则当n2时，bn=snsn1=，；（2）设上表中从第三行起，每行中的数构成的等比数列的公比都为q，且q01+2+12=78，表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第3列，又，q=2 记表中第k（k3）行所有数的和为sn，则=点评：本题考查等差关系的确定、等比数列的通项公式及数列的求和，属中档题，考查学生分析问题解决问题的能力17已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且4sn=an2+2an（nn*）（1）求a1的值及数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为tn，求证：tn（nn*）考点：数列的求和；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）通过4sn=an2+2an，令n=1可得首项，当n2时，利用4an=an2+2an（an12+2an1）可得公差，进而可得结论；（）通过令n=1可得t1满足结论，当n2时，利用放缩法可得，并项相加即得解答：（1）解：当n=1时，4a1=4s1=+2a1，解得a1=2或a1=0（舍去）；当n2时，4sn=an2+2an，4sn1=an12+2an1，相减得4an=an2+2an（an12+2an1），即an2an12=2（an+an1），又an0，an+an10，则anan1=2，数列an是首项为2，公差为2的等差数列，an=2n；（）证明：当n=1时，t1=；当n2时，=+=，tn+=+（）+=+=；综上，对任意nn*，均有tn成立点评：本题考查求数列的通项、判断数列和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题18已知圆c：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：+=1（ab0）的右焦点f和上顶点b（）求椭圆的方程；（）过原点o的射线l与椭圆在第一象限的交点为q，与圆c的交点为p，m为op的中点，求的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）在圆（x1）2+（y1）2=2中，令y=0，得f（2，0），令x=0，得b（0，2），由此能求出椭圆方程（）设点q（x0，y0），x00，y00，则=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值解答：解：（）在圆c：（x1）2+（y1）2=2中，令y=0，得f（2，0），即c=2，令x=0，得b（0，2），即b=2，a2=b2+c2=8，椭圆的方程为：（）设点q（x0，y0），x00，y00，则=（1，1）（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令0，得16b212（12b28）0，解得2又点q（x0，y0）在第一象限，当时，取最大值2点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想19（14分）如图，已知点s（2，0）和圆o：x2+y2=4，st是圆o的直径，从左到右m、o和n依次是st的四等分点，p（异于s，t）是圆o上的动点，pdst，交st于d，=，直线ps与te交于c，|cm|+|cn|为定值（1）求点c的轨迹曲线的方程及的值；（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于q点，l与轨迹相交于a，b两点，且|=1是否存在直线l，使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出点的坐标，得，根据|cm|+|cn|为定值，建立条件关系即可求的值及点c的轨迹曲线e的方程；（2）分类讨论，根据=1，|=1，进行转化，将y=kx+m代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论解答：解：（1）由题意，t（2，0），m（1，0），n（1，0），设p（x0，y0），c（x，y），则e（x0，），直线ps与te交于c，故x2，且，相乘得，又点p是圆o上的动点，故，（4分）要使|cm|+|cn|为定值，则4=1，解得=此时（x2）即=时，点c的轨迹曲线e的方程为（x2）（2）设a，b两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使=1成立的直线l存在，（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于q点且|=1得=1，即m2=k2+1=1，|=1=（+）（+）=0即x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m212）=0由求根公式可得x1+x2=，x1x2= 0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，将，代入上式并化简得 （1+k2）（4m212）8k2m2+m2（3+4k2）=0将m2=1+k2代入并化简得5（k2+1）=0，矛盾，即此时直线l不存在；（）当l垂直于x轴时，满足|=1的直线l的方程为x=1或x=1，当x=1时，a，b，q的坐标分别为（1，），（1，），（1，0），=（0，），=（0，），=1当x=1时，同理可得1，矛盾，即此时直线l也不存在综上可知，使=1成立的直线l不存在点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知a，b，c是椭圆+=1（ab0）上不同的三点，a（3，），b（3，3），c在第三象限，线段bc的中点在直线oa上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点c的坐标；（3）设动点p在椭圆上（异于点a，b，c）且直线pb，pc分别交直线oa于m，n两点，证明为定值并求出该定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）将a，b坐标代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；（2）设点c（m，n）（m0，n0），则bc中点为（，），求得直线oa的方程，利用点c在椭圆上，即可求点c的坐标；（3）求出m，n的纵坐标，利用点c在椭圆上，结合向量的数量积公式，即可求得结论解答：（1）解：由已知，得，解得 （2分）椭圆的标准方程为 （3分）（2）解：设点c（m，n）（m0，n0），则bc中点为（，）由已知，求得直线oa的方程为x2y=0，从而m=2n3又点c在椭圆上，m2+2n2=27由，解得n=3（舍），n=1，从而m=5 （5分）点c的坐标为（5，1） （6分）（3）证明：设p（x0，y0），m（2y1，y1），n（2y2，y2）p，b，m三点共线，整理，得y1=（8分）p，c，n三点共线，整理，得（10分）点c在椭圆上，=27从而y1y2=3= （14分）=5y1y2= （15分）为定值，定值为 （16分）点评：本题考查椭圆的方程，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21设函数f（x）=（1ax）ln（x+1）bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值；（2）当0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（）10000.4e（）1000.5考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）对f（x）求导，根据条件知f（0）=0，即可求常数b的值；（2）f（x）=aln（1+x）+1，f（x）=，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（3）对要证明的不等式等价变形如下：（）10000.4e（）1000.5所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式e恒成立解答：（1）解：对f（x）求导得：f（x）=aln（1+x）+b，根据条件知f（0）=0，所以1b=0，所以b=1（3分）（2）解：由（1）得f（x）=（1ax）ln（x+1）x，0x1f（x）=aln（1+x）+1f（x）=当a时，由于0x1，有f（x）0，于是f（x）在0.1上单调递增，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0.1上单调递增，即f（x）f（0）而且仅有f（0）=0；当a0时，由于0x1，有f（x）0，于是f（x）在0.1上单调递减，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0.1上单调递减，即f（x）f（0）而且仅有f（0）=0；当a0时，令，当0xm时，f（x）0，于是f（x）在0，m上单调递减，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0，m上单调递减，即f（x）f（0）而且仅有f（0）=0综上可知，所求实数a的取值范围是（，（8分）（3）证明：对要证明的不等式等价变形如下：（）10000.4e（）1000.5所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式e恒成立并且继续作如下等价变形对于（p）相当于（2）中a=（，0），情形，有f（x）在0，上单调递减，即f（x）f（0）而且仅有f（0）=0取x=，当n2时，（p）成立；当n=1时，（p）成立从而对于任意正整数n都有（p）成立对于（q）相当于（2）中a=情形，对于任意x0，1，恒有f（x）f（0）而且仅有f（0）=0取x=，得：对于任意正整数n都有（q）成立因此对于任意正整数n，不等式e恒成立这样依据不等式e，再令n=10000利用左边，令n=1000利用右边，即可得