高二数学异面直线及其夹角.ppt

异面直线及其夹角 天马行空官方博客 空间中是否存在不可能共面的两条直线 天马行空官方博客 天马行空官方博客 1 异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 注 概念应理解为 经过这两条直线无法作出一个平面 或 不可能找到一个平面同时经过这两条直线 不能理解为 分别在两个平面内的两直线为异面直线 演示 空间的两条直线有三种位置关系 相交 平行 异面 记为 a b A 记为 a b 画异面直线时 常以辅助平面作衬托 以加强直观性 例1 如果相异点A B和相异点C D分别在异面直线a b上 那么正确的结论是 A 直线AC与BD可能相交B 直线AD和BC可能相交C AC与BD AD与BC都是异面直线D AC与BD AD与BC不一定都是异面直线 同类题 直线c d与异面直线a b都相交 则直线c d的位置关系为 C 相交或异面 O P Q N M a b c 证明 反证法 所以直线MN与PQ异面 异面直线的判定定理 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 例3 如图的正方体中 1 判定直线A1B与AC的位置关系 并加以证明 答 直线A1B与AC为异面直线 证明 直线AC与A1B为异面直线 如何来刻划两条异面直线的相对位置 夹角 距离 如何度量其大小呢 方案2 方案1 O 异面直线所成角的定义 a b是两条异面直线 过空间任一点O作a a b b 则a b 所成的锐角 或直角 就是异面直线a b所成的角 或夹角 解释 1 体现了空间角向平面角的转化 等角定理 是保证 2 点O常取在两条异面直线中的一条上 5 已知直线a b c 若a b 则a c夹角与b c夹角相等 对吗 逆命题 若a c夹角与b c夹角相等 则a b 3 连结A1C1 则A1C1 AC 则 C1A1B 或其补角 即为异面直线A1B与AC的所成的角 连结BC1 在 A1BC1中 有A1B BC1 C1A1 故 C1A1B 60 即异面直线A1B与AC所成的角为60 例3 如图的正方体中 2 哪些棱所在直线与直线AA1垂直 3 求直线A1B与AC所成角的度数 解 2 有AB BC CD DA A1B1 B1C1 C1D1 D1A1 例4 如图 a b为异面直线 直线a上的线段AB 6cm 直线b上的线段CD 10cm E F分别为AD BC的中点 且EF 7cm 求异面直线a与b所成的角的度数 P 解 连结AC 并取AC中点P 连结EP FP E为AD中点 EP DC F为AD中点 FP AB EPF 或其补角 为异面直线a与b所成的角 ABC中 EF 7cm EP 5cm FP 3cm 由余弦定理EF2 EP2 FP2 2EP FPcos EPF 解得cos EPF 0 5 EPF 120 故其补角60 为异面直线a与b所成的角 取中点 a b 小结 求异面直线所成角的度数的步骤 根据异面直线所成角的定义 采用平移法作出这两条异面直线所成的角 使 角成为某几何图形 一般是三角形 内角 利用几何图形性质 一般是解三角形 求出 的值 空间问题 平面问题 课外作业 书P15 习题9 2 NO 5 7 课外思考题 已知异面直线a b所成角为60 P为空间一点 作过点P且与a b所成的角均为60 的直线有且仅有几条 感谢指导 O 返回 返回 Z 例5 A为正三角形BCD所在平面外一点 且AB AC AD BC a E F分别是棱AD BC的中点 连结AF CE 如图所示 求异面直线AF CE所成角的余弦值 G 解 连结DF 取DF的中点G 连结EG CG 又E是AD的中点 故EG AF 所以 GEC 或其补角 是异面直线AF CE所成的角 Z 例5 A为正三角形BCD所在平面外一点 且AB AC AD BC a E F分别是棱AD BC的中点 连结AF CE 如图所示 求异面直线AF CE所成角的余弦值 P 另解 延长DC至P 使DC CP E为AD中点 AP EC 故 PAF 或其补角 为异面直线AF CE所成的角 课堂练习 如图 P