高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件 新人教B版选修21.ppt

第二章2 4抛物线 2 4 2抛物线的几何性质 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一抛物线的范围 观察下列图形 思考以下问题 1 观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形 分析其几何图形存在哪些区别 答案 抛物线与另两种曲线相比较 有明显的不同 椭圆是封闭曲线 有四个顶点 有两个焦点 有中心 双曲线虽然不是封闭曲线 但是有两支 有两个顶点 两个焦点 有中心 抛物线只有一条曲线 一个顶点 一个焦点 无中心 思考 2 根据图形及抛物线方程y2 2px p 0 如何确定横坐标x的范围 所以抛物线x的范围为x 0 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 答案 梳理 抛物线y2 2px p 0 中 x y 抛物线y2 2px p 0 中 x y 抛物线x2 2py p 0 中 x y 抛物线x2 2py p 0 中 x y 0 0 0 0 知识点二四种形式的抛物线的几何性质 知识点三直线与抛物线的位置关系 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程组解的个数 即二次方程k2x2 2 kb p x b2 0解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有两个不同的公共点 若 0时 直线与抛物线有个公共点 若 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的轴 此时直线与抛物线有个公共点 一 没有 平行或重合 一 题型探究 例1抛物线的顶点在原点 对称轴重合于椭圆9x2 4y2 36短轴所在的直线 抛物线焦点到顶点的距离为3 求抛物线的方程及抛物线的准线方程 类型一依据抛物线的几何性质求标准方程 解答 抛物线的对称轴为x轴 设抛物线的方程为y2 2px或y2 2px p 0 p 6 抛物线的标准方程为y2 12x或y2 12x 其准线方程分别为x 3或x 3 引申探究将本例改为 若抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解答 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 ab 2 m 因为 oab的面积为4 用待定系数法求抛物线方程的步骤 反思与感悟 解答 跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 且与圆x2 y2 4相交于a b两点 ab 2 求抛物线方程 由已知 抛物线的焦点可能在x轴正半轴上 也可能在负半轴上 故可设抛物线方程为y2 ax a 0 设抛物线与圆x2 y2 4的交点a x1 y1 b x2 y2 抛物线y2 ax a 0 与圆x2 y2 4都关于x轴对称 点a与b关于x轴对称 得x2 3 4 x 1 所求抛物线方程是y2 3x或y2 3x 类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题 例2 1 过抛物线y2 8x的焦点 倾斜角为45 的直线被抛物线截得的弦长为 由抛物线y2 8x的焦点为 2 0 得直线的方程为y x 2 代入y2 8x得 x 2 2 8x 即x2 12x 4 0 所以x1 x2 12 弦长为x1 x2 p 12 4 16 答案 解析 16 2 直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于a b两点 若 ab 8 则直线l的方程为 答案 解析 x y 1 0或x y 1 0 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 ab 4 不符合题意 可设所求直线l的方程为y k x 1 得k2x2 2k2 4 x k2 0 所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于点a x1 y1 b x2 y2 若 ab 7 则ab的中点m到抛物线准线的距离为 抛物线的焦点为f 1 0 准线方程为x 1 由抛物线定义知 ab af bf x1 x2 p 即x1 x2 2 7 得x1 x2 5 于是弦ab的中点m的横坐标为 又准线方程为x 1 因此点m到抛物线准线的距离为 答案 解析 反思与感悟 1 抛物线上任一点p x0 y0 与焦点f的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径 对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为 2 已知ab是过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦 f为抛物线的焦点 a x1 y1 b x2 y2 则 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 3 当直线经过抛物线的焦点 且与抛物线的对称轴垂直时 直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径 显然通径长等于2p 跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解答 若设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 所以 ab 5 3 8 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解答 设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线定义知 ab af bf x1 x2 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是线段ab的中点m的横坐标是3 又准线方程是x 所以m到准线的距离等于3 类型三抛物线综合问题 命题角度1与抛物线有关的最值问题例3抛物线y2 4x的焦点为f 点p x y 为该抛物线上的动点 若点a 1 0 求的最小值 解答 抛物线y2 4x的准线方程为x 1 如图 过点p作pn垂直x 1于点n 由抛物线的定义可知 pf pn 即 pan最小 即 paf最大 此时 pa为抛物线的切线 设pa的方程为y k x 1 得k2x2 2k2 4 x k2 0 所以 2k2 4 2 4k4 0 解得k 1 所以 paf npa 45 反思与感悟 1 若曲线和直线相离 在曲线上求一点到直线的距离最小问题 可找到与已知直线平行的直线 使其与曲线相切 则切点为所要求的点 2 以上问题一般转化为 两点之间线段最短 或 点到直线的垂线段最短 来解决 跟踪训练3已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 答案 解析 由题意知 直线l2 x 1为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 点p到直线l2的距离等于点p到抛物线的焦点f 1 0 的距离 故所求最值可转化为在抛物线y2 4x上找一个点p 使得点p到点f 1 0 和到直线l1的距离之和最小 最小值为f 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0的距离 即d 2 命题角度2定值或定点问题例4抛物线y2 2px p 0 上有两动点a b及一个定点m f为抛物线的焦点 若 af mf bf 成等差数列 1 求证 线段ab的垂直平分线过定点q 证明 设点a x1 y1 b x2 y2 m x0 y0 线段ab的中点坐标可设为 x0 t 即t x x0 p yp 0 可知线段ab的垂直平分线过定点q x0 p 0 2 若 mf 4 oq 6 o为坐标原点 求抛物线的方程 解答 由 mf 4 oq 6 得x0 4 x0 p 6 联立解得p 4 x0 2 抛物线方程为y2 8x 反思与感悟 在抛物线的综合性问题中 存在着许多定值问题 我们不需要记忆关于这些定值的结论 但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法 如设直线的点斜式方程 根与系数关系的利用 焦半径的转化等 跟踪训练4在平面直角坐标系xoy中 直线l与抛物线y2 4x相交于不同的a b两点 4 求证 直线l必过一定点 证明 设l x ty b 代入抛物线y2 4x 消去x得y2 4ty 4b 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b 又 x1x2 y1y2 ty1 b ty2 b y1y2 t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 又 4 b2 4b 4 解得b 2 故直线过定点 2 0 当堂训练 1 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 记c的焦点为f 则直线af的斜率为 答案 解析 所以y2 8x 所以焦点f的坐标为 2 0 1 2 3 4 5 2 已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 答案 解析 抛物线y2 2x的焦点为f 0 准线是l 由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线l的距离 因此要求点p到点 0 2 的距离与点p到抛物线准线的距离之和的最小值 可以转化为求点p到点 0 2 的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值 结合图形 图略 不难得出相应的最小值等于焦点f到点 0 2 的距离 因此所求距离之和的最小值为 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线l交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的横坐标为3 则 ab 答案 解析 8 易知抛物线的准线方程为x 1 则线段ab的中点到准线的距离为3 1 4 由抛物线的定义易得 ab 8 1 2 3 4 5 4 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为45 的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的长为8 则p 答案 解析 2 设点a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 易知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f 得y2 2py p2 0 y1 y2 2p y1y2 p2 即 2p 2 4 p2 32 又p 0 p 2 1 2 3 4 5 5 已知抛物线c y2 8x的焦点为f 准线与x轴的交点为k 点a在抛物线c上 且 ak af 则 afk的面积为 1 2 3 4 5