§3 OK多元函数的连续性.doc

3 多元函数的连续性3.1 二元函数的连续（条件连续）概念1 连续的定义 定义3.1 设函数在区域有定义，且。若，即，有则称函数在连续。例3. 1 证明函数在原点连续。证明 。即在连续。定义3.2 设函数在区域的任意点都连续，则称函数在区域上连续，或者称是D上的连续函数。 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去。若是二元函数，并用坐标表示，即，那么二元函数在点，即（用方形邻域） 有 。例3. 2 设，证明函数在点沿方向连续。 证 因为 ，所以函数在点沿方向连续。例3. 3 设。证明函数在点沿任何方向都连续，但并不连续。证 请看图像，尽管沿任何直线趋于原点时都趋于零，所以函数在点沿任何方向都连续。但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当沿抛物线 时，的值趋于而不趋于零，所以极限不存在。f(x)=0f(x)=1f(x)=1当然函数在点不连续。 函数的增量：全增量、偏增量。用增量定义连续性。定义3.3(全增量) 设 ，则称为函数在点的全增量。如果在全增量中取，则称相应的函数增量为偏增量。记作；。定义3.4(用增量定义连续性) 设函数为定义在点集上的二元函数，当 时，都有，则称在点连续。2 连续和偏连续 定义3.5(偏连续) 设函数为定义在点集上的二元函数，当 时，都有 ，则称在点关于偏连续。 同理可定义在点关于偏连续。 连续与偏连续的关系连续则对任意变元偏连续，反之不然。比如函数 在原点处显然不连续，但。因此在原点处对分别都偏连续。3 连续函数的性质 定理3.1(运算性质) 若函数 与 在点都连续，则称函数 在点都连续。 定理3.2(局部有界性) 若函数在点连续，则， 有 。 证明 已知函数在点连续，我们取， 有 ，则有 。定理3.3(局部保号性) 若函数在点连续，且，则， 有 。 证明 已知函数在点连续，即 ， 有 ，即 。 定理3.4(复合函数连续性) 若函数在点连续，函数 在点连续，则复合函数在点连续。证明 已知函数在点连续，即：与，有。又已知函数与在点连续，即对上述的。：与，同时有与 。于是， ：与，有。即复合函数在点连续。3.2 二元初等函数及其连续性 与一元初等函数类似，二元初等函数是指可用一个式子所表示的二元函数， 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的。 例如，sin(x+y)，都是多元初等函数。 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 由二元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则。例3. 4 求。 解 函数是初等函数，它的定义域为D=(x，y)：x0，y0。P0(1，0)为D的内点，故存在P0的某一邻域U(P0)D，而任何邻域都是区域，所以U(P0)是f(x，y)的一个定义区域，因此。 一般地，求时，如果是初等函数，且P0是的定义域的内点，则在点P0处连续，于是。 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的。 定义3.6 设函数的定义域为D，P0是D的聚点. 如果函数在点P0不连续，则称P0为函数的间断点。 例如， 函数其定义域，O是D的聚点。当 时的极限不存在，所以点O是该函数的一个间断点。 又如，函数，其定义域为D=|x2+y21，圆周C=|x2+y2=1上的点都是D的聚点，而在C上没有定义，当然在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点。 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点。如函数，间断点为：。3.3 有界闭区域上连续函数的性质1 有界性定理 3.5(有界性) 若函数在有界闭区域连续，则函数在有界，即 有 。证明 用反证法：假设在有界闭区域无界，即 ，按此方法得到点到时，据致密性定理：点列为有界点列，则存在收敛子列，由于是有界闭区域，则，由(则所以 。 (3.1) 另一方面，由于在点连续， 则得 。这与(3.1)相矛盾。于是 在有界。2 最值性 定理3.6(最值性) 若函数在有界闭区域连续，则函数在取到最小值与最大值，即 。证明 只给出取到最大值的证明。根据定理5，函数在有界，设，只要证明，使。用反证法： 假设，有。显然，函数在连续，且。于是，函数 在连续。根据定理3.5，即不是数集的上确界，矛盾。于是，必存在，使。3 介值性与零点定理定理3.7(介值性) 若函数在有界闭区域连续，且与分别是函数在的最小值与最大值，与之间的任意数（有 。 证明 根据定理3.6，闭区域存在两点与，使 与 。若，则(或)，即(或)。定理成立。若， 分以下三种情况： Case(1) 如果与都是的内点。由区域的定义，与可用属于区域的一条折线连接起来。设折线的参数方程是且，。根据定理3.3，函数在闭区间连续，且。根据一元函数的介值定理知，至少存在一个，使。令，则，有。 Case(2) 如果与有一个是有界闭区域的界点。设是的界点，且。由连续函数保号性（定理3.4），则存在的内点，使。于是，与都是的内点，由Case(1)，有。 Case(3) 如果与都是有界闭区域的界点。同样可用Case(2)的证法证明。 定理3.8(零点存在定理) 设函数在有界闭区域连续，和是内任意两点，如果，则在内任何一条连结的折线上，至少存在一点，使。4 一致连续性 定义3.7 设在区域有定义。若有。则称函数在一致连续。定理3.8(一致连续性) 若函数在有界闭区域连续，则函数在一致连续。 证明 ，已知在点连续，即，有。 与，分别有 与 。 (3.2)。邻域集合覆盖有界闭区域。根据Heine-Borel有限覆盖定理，存在有限个邻域也覆盖。令。下面证明，这个就满足一致连续的要求。有三角不等式，有。 。习题8.31. 讨论下列函数的连续性 (