巧用旋转变换探究三条线段的数量关系.doc

巧用旋转变换探究三条线段的数量关系江苏省如皋市实验初中 冯娟初中数学中的全等的几何变换有平移、对称（翻折）和旋转.其中旋转变换具有这样的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。据此，解题时可充分利用旋转变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形信息的目的，使较复杂的问题得到创造性解决。例题1（2012东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G 是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积F图4解法：（1）略（2）如图（4）由题可知CB=CD，BCD=B=D=90,将BCE绕点C逆时针旋转90如图4所示，则点G、D、F在一条直线上，CE=CF，BCE=DCF，四边形ABCD是正方形，BCD=90即BCE+ECG+GCD=90.ECG=45BCE+GCD=45.BCE=DCF，DCF+GCD=45即FCG=45.ECG=FCG。又CE=CF，CG=CG，ECGFCG。GE=GF.又GF=DF+GD=BE+GD，GE=BE+GD(3)略说明：利用旋转将线段的位置进行改变，使两条线段连成一条新的线段，进而将本题转化为证明两条线段相等的问题。将本题的条件正方形进行改变，则有如下例题：例题2（2012黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若MBN=45，易证MN=AM+CN（1）如图2，在梯形ABCD中，BCAD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若MBN=ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若MBN=ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明FE图4图5解法：（1）过程同例1的第（2）题.（2）猜想：MN=AM+CN.证明：如图4，由题可知CB=CD，A+BCD=180,将ABM绕点B顺时针旋转180如图所示，则点F、C、N在一条直线上，BM=BC，ABM=CBF，ABC=120即ABM+MBN+FBC=120.MBN=60ABM+CBF=60.ABM=CBF，NBC+CBF=60即NBF=60.MBN=FBN。又MB=FB，BN=BN，MBNFBN。MN=FN.又FN=FC+CN=AM+CN，MN=AM+CN（3）猜想：MN=CN-AM，如图5，由题可知AB=CB，ABC+ADC=180,BAD+BCD=180BAM=BCE.可通过证BENBMN进而证得.说明：例2中的三个问题都是紧扣线段相等进行旋转，而题目中的正方形、梯形、ABC+ADC=180等条件使得旋转后的线段与要加减的线段在同一直线上，进而利用全等得出三条线段的和差关系。若旋转后的线段与另两条线段不在同一条直线上，则有如下例题：例3（2012宿迁）（1）如图1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC（0CBEABC）以点B为旋转中心，将BEC按逆时针旋转ABC，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处）连接DE，求证：DE=DE（2）如图2，在ABC中，BA=BC，ABC=90，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC（0CBE45）求证：F图3解答：（1）略（2）如图3，将CBE绕点B逆时针旋转90得到ABF，AF=CE，FAB=C，BA=BC,ABC=90BAC=C=45.FAD=FAB+BAC=C+BAC=90.DBE=45ABD+CBE=45.ABF=CBE，ABF+ABD=45即DBF=45.DBF=DBE。又BF=BE，BD=BD，DBFDBE。DF=DE.又，说明：由结论的形式立即联想到以DE、AD、EC为边构造成的三角形如果是直角三角形，那么问题就能根据勾股定理得解。但图中DE、AD、EC的位置分散，所以想到作适当变换使之构成直角三角形。这里紧扣AB=BC，ABC=90将图形进行90的旋转，巧妙构造出直角三角形，把分散的条件集中起来，使问题得解。例4（2012镇江）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x若BM= ，求x的值；求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）当x为何值时，BAD=15？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由F图3解法：(1)(2)略如图3，通过分析可知AD=AE，DAE=120，四边形ADPC是菱形，将AHE绕点A逆时针旋转120得到AED，连接FG，可证FAG=HAG，证得FAGHAG。FG=HG. AFG=AHG=75，AFD=AHE=105，DFG=30.FDA=AEH=ADE=30，FDG=60DGF=90 ，.即以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形.说明：本题中通过分析可知AD=AE，DAE=120，可将图形旋转120使三条线段构成直角三角形。本题中给出的是BAD=15的特殊情况，此时这三条线段刚好围成一个直角三角形。当BAD角度一般化时，这时围成的就不一定是直角三角形，如下题：例5（2010 台州）如图1，RtABCRtEDF，ACB=F=90，A=E=30EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K （1）观察： 如图2、图3，当CDF=0 或60时，AM+CK_MK(填“”，“”或“”)（2）猜想：如图1，当0CDF60时，AM+CK_MK，证明你所得到的结论（3）如果，请直接写出CDF的度数和的值图1图2图3图4G图5解法：(1)略(2)通过分析可知AD=CD，ADC=120，DAC=ACD=30,，将DKC绕点D逆时针旋转120得到DGA，连接MG，得AG=CK，GD=KD，GDM=KDM=60，证得GDMKDM。GM=KM. AM+CK=AM+AGMG即AM+CKMK(3)用同样的方法旋转后使得三条线段在一个三角形中，问题便迎刃而解。以上呈现的一些例题都是紧扣题目中的线段相等构造旋转辅助线，进而解决问题的。这些例题除了可以利用旋转解题，有的也可以利用轴对称变换解题，如例