一阶微分方程的解的存在定理.doc

第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理， 3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。教学要求熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，教学重点Picard存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一 存在唯一性定理1 定理1，考虑初值问题 （3.1）其中f(x,y)在矩形区域 R： （3.2）上连续，并且对y满足Lipsthits条件：即存在常数L0，使对所有常存成立，则初值问题（cauchy问题）（3.1）在区间上解存在唯一，这里 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程（3.5）的连续解。2.构造（3.5）所得解函数序列任取一连续函数，代入（3.5）左端的y，得3.函数序列在上一致收敛到。这里为3 =即则需由则需由于从而在上的一收敛性等价于函数项级数 在一收敛性。4为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间是讨论，在上类似。命题3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程 （3，5）Proof:若为（3.1）的解，则： 对第一式从到x取定积分可得即反之，若为（3.5）的连续解。，则有由于对f(x,y)在R上连续，从而连续故对上两式两边求导得且即为（3.1）的连续解。下面取，构造picard逐步逼近函数如下： （3.7）命题2，对于所有；连续且满足 Proof(用数学归纳法证明) N=1时，虽然在上连续且设命题2为时成立即在上连续，且当时由在R上连续可知，在上连续从而在上连续且而命题2，在时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n成立命题3。函数序列在上一致收敛Proof:考虑函数级数： （3.9）它前几项和为 于是一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9）的通项进行诂计其中第二个方程不等式是由Lipsthits条件得到的，高对正整数n有不等式则当时，由Lipsthits条件有于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n有 （3.11）从而当时由于正级数收敛，由weierstrass判别法知，级数（3.9）在一致收敛，因而在上一致收敛。现设，则由连续性和一致收敛性得在上连续且命题4.是积分方程(3.5)的定义于上的连续解.Proof:由Lipschits条件 以及在上的一致收敛,解出函数列,在上的一致收敛于函数.因而对(3.7)两边取极限.得到 即这表明.是积分方程(3.5)在的连续解.命题目四得证.命题5. 设, 是积分方程(3.5)的定义于上的一个连续解.则,Prof: 令则是定义在的的非负连续函数.由和所满足的积分方程式和的Lipschits条件得 令则是定义在上的连续中微函且于是对最后一个不等式从 到x积分得 故,即综合命题1-5得到存在任一性定理的证明,2存在任一性定理的证明(1) 定理中的Lipschits条件比较困难,我们经常用R上连续偏导数这一较但容易验证的条件来代替,如果在R上连续,则在R上有界,令|在R上成立,则由微分中值定理可以得出 但反过来,满足Lipschits条件的函数f（x,y）不一定有偏导数存在,例如函数在任何区域满足Lipschits条件,但它在y=0处偏导数不存在.(2) 定理中的几何意义，在矩形R中有故初值问题（3.1）的解曲线的斜率定于-M与M之间，过点分别作斜率为M到M的直线，当时如图（a）所示，解在中有定义，而当时劝图（b）所示。不能保证解在中有定义。它有可能在区间内跑到矩形R外去，使得无定义，只有时才能保证解在R内，故需求解在存在范围为图（a） 图（b）则当上连续时，定理1的条件才能满足且任一初值所确定的解在存在定义，连续定理2 考虑一阶微分方程 （3.5）如果在点的某一个域中满足1对所以变化（）连续。且存在连续偏导数2）=03则方程（3.5） 存在唯一解满足条件分析：由1，2，3及验证函数存在定理，=0能确定一阶函数且在内连续。且满足因从而连续，解唯一。二定似计算和误差估计存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性，并且给出了求方程近似解的一种方法Picrcl逐步逼近法，对方程的第n次近似解它和正真解内的误差估计为 （3.19）上式可用数学归纳法证明这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数。例1 讨论初值问题解存在唯一区间。并求在此区间上与真正解的误工费差不超过0.05的近似解的表达式，其中R：解：这里 在R上,由于由(3.19) =0.05因而可取 n=3,因此我们可以作出如下的近似表达式就是所求的近似解,在区间上与真正解的误差不超过0.05.例2 讨论初值问题解存在且唯一区间.解: 对任意给定的正数a,b,函数均在矩形区域R=内连续