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上机实习二例1已知 方程组的准确解为x* = 1，1，1T，试用迭代法产生向量序列逐步逼近准确解。解：（1）雅可比（Jacobi）迭代A=9 -1 -1;-1 10 -1;-1 -1 15;b=7;8;13;x=0;0;0;y=x;for k=1:4 for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=t; y(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end er=norm(x-y,1);x=yend（2）塞德尔（Seidel）迭代A=9 -1 -1;-1 10 -1;-1 -1 15;b=7;8;13;x=0;0;0;er=1;k=0;while er0.01 er=0;k=k+1; for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-s)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-t),er); end xend例2 平面温度场的计算问题。设有一矩形均匀薄板，它的两面是绝热的，如果四条边界线上温度为已知，它们分别为 10、15、20、18（左、上、右、下）.经过一段时间后，板内的各点温度达到平衡状态而不再变化，求板内平衡温度的分布。 解 设矩形域上温度函数为 .记矩形域为G = ( x ，y ) | 0 x 3，0 x 2 y 2 O 3 x首先，取 h = 0.5，令 x0 = 0，y0 = 0 .用两簇互相垂直的直线，令xi = x0 + i h，i = 0，1，6yj = y0 + j h，j = 0，1，4两组相互垂直的直线将矩形区域剖分成正方形网格。直线簇的交点（xi，yj）称为网格点或结点。在右图中，边界上的 20 个网格点(边界结点)上的温度值是已知的.而域内的 15 个网格点(内部结点)上的温度值未知.记 uij = u(xi，yj) ( i = 0，1，6 ；j = 0，1，4) 得如下 15 个等式 ( i = 1，5 ；j = 1，3) 这实际上是关于函数u(x，y)在内部结点处的15个函数值的线性方程组，而边界条件为u0，j = 10 (j = 1，2，3)；u6，j = 20 ( j = 1，2，3)；ui，0 = 18 ( i = 1，2，3，4，5)；ui，4 = 15 ( i = 1，2，3，4，5)用赛德尔迭代法求解这一问题。程序如下u(1,1:5)=10*ones(1,5);u(7,1:5)=20*ones(1,5);u(2:6,1)=18*ones(5,1);u(2:6,5)=15*ones(5,1);u(7,5)=20;k=0;er=1; u(2:6,2:4)=zero(5,3)while er0.001 er=0;k=k+1; for i=2:6 for j=2:4 s=0.25*(u(i-1,j)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i,j+1); er=max(er,abs(s-u(i,j); u(i,j)=s; end endendkupcolor(u)得各结点处的温度值如下： 10.0000 18.0000 18.0000 18.0000 18.0000 18.0000 20.0000 10.0000 14.2957 16.0601 16.9493 17.6130 18.4572 20.0000 10.0000 13.1227 14.9956 16.1243 17.0454 18.2159 20.0000 10.0000 13.1996 14.6756 15.5071 16.2284 17.3611 20.0000 10.0000 15.0000 15.0000 15.0000 15.0000 15.0000 20.0000上机实习题一、数值试验1 分析用迭代法求解方程组的收敛性，并求出使 | x(k + 1) x(k) |1 0.0001 的近似解及相应的迭代次数。考虑用（1） 雅可比迭代法；（2）赛德尔迭代法；（3）超松驰迭代法（w 取1.2，1.3，1.9，0.9）。(1): A=4 -1 0 -1 0 0；-1 4 -1 0 -1 0；0 -1 4 -1 0 -1；-1 0 -1 4 -1 0；0 -1 0 -1 4 -1；0 0 -1 0 -1 4;b=0；5；0；6；-2；6;x=0;0;0；0；0；0;y=x;er=1;k=0;while er0.0001er=0; k=k+1; for i=1:6 s=0; for j=1:6 s=s+A(i,j)*x(j); end y(i)=(b(i)-s+A(i,i)*x(i)/A(i,i); end er=max(abs(x(i)-t),er);k=kx=yend(2) A=4 -1 0 -1 0 0；-1 4 -1 0 -1 0；0 -1 4 -1 0 -1；-1 0 -1 4 -1 0；0 -1 0 -1 4 -1；0 0 -1 0 -1 4;b=0；5；0；6；-2；6; x=0;0;0；0；0；0;y=x;er=1;k=0;while er0.0001 er=0;k=k+1; for i=1:6 s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:6 s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-s+A(i,i)*x(i)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-t),er); endk xend(3) A=4 -1 0 -1 0 0；-1 4 -1 0 -1 0；0 -1 4 -1 0 -1；-1 0 -1 4 -1 0；0 -1 0 -1 4 -1；0 0 -1 0 -1 4;b=0；5；0；6；-2；6; x=0;0;0；0；0；0;y=x;er=1;k=0;w=1.2;1.3;1.9;0.9for u=1:4while er0.0001 er=0;k=k+1; for i=1:6 s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:6 s=s+A(i,j)*x(j); end y(i)=(b(i)-s+A(i,i)*x(i)/A(i,i); x(i)=(1-w(u)*x(i)+w(u)*y(i) er=max(abs(x(i)-t),er); end wk xendend2平面温度场计算问题中网格步长与迭代次数关系统计。设矩形域为G = ( x ，y ) | 0 x 3，0 x 2取内部结点处温度场初值为0，取迭代计算精度为eps=0.001，取 h = 0.5，h=0.25，h=0.2，h=0.1，分别做迭代计算。记录达到精度所需的迭代次数m，分析网格步长h与迭代次数之间的关系。 c=3/h+1;d=2/h+1;u(1,1:d)=10*ones(1,d);u(c,1:d)=20*ones(1,d);u(2:(c-1),1)=18*ones(c-2,1);u(2:(c-1),5)=15*ones(c-2,1);u(c,d)=20; m=0;er=1; while er0.001 er=0;m=m+1; for i=2:(c-1) for j=2:(d-1) s=0.25*(u(i-1,j)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i,j+1); er=max(er,abs(s-u(i,j); u(i,j)=s; end endendmupcolor(u)3. 对给定的矩阵A，计算A的SOR方法的迭代矩阵及其谱半径，并针对不同的松驰因子计算对应的迭代矩阵谱半径。绘出函数()曲线A=1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1;w=0.5;0.7;0.9;1.1;1.3;1.5;1.7a=A;D=diag(a);U=-triu(a,1);L=-triu(a,-1);for i=1:7Lw=(D-w(i)*L)(1-w(i)*D+w(i)*U)d=eig(Lw);p(i)=max(d(1);d(2);d(3)endplot(w(i),p(i);x(k+1)=Lwx(k)+w(