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厄密特多项式 常微分方程 （x） （1）叫作厄密特方程 是厄密特方程的常点，在的邻域上的级数解是 （2） ， + （3）级数的收敛半径为无限大如为4的倍数，则退化为次多项式如为偶数但不是的倍数，则退化为次多项式用适当的常数乘这些多项式使最高幂项成为就叫厄密恃多项式，记为于 =0， 有 =2， =4 =6 =8 =10 =12 在的邻域上是解析的，可在的邻域上展为泰勒级数 （4）现在来证明（4）式里的正是厄密特多项式.事实上，容易验证（t，x）满足，以展开式（4）代入，即成为比较两边的同幂项，得 （5） （6）把（6）式里的n全换成n1，得利用（5）把上式改写为再利用（5）进一步改写，这正是厄密特方程（1）厄密特方程的多项式解只能是厄密特多项式，最多相差某个常数因子经具体验算，得知并不差常数因子，（4）里的的确是厄密特多项式.函数因而叫作厄密特多项式的母函数（5）和（6）两式称为厄密特多项式的递推公式既然是（t，x）的泰勒展开的系数，那就有 （7）上式利用了2.4习题1.这就是厄密特多项式的微分表示.厄密特方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型方程 （x） （8）作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系（课本9.4.12）的特例，厄密特多项式在区间（x）上带权重正交， （mn） （9）厄密特多项式的模可借助微分表示（7）并累次分部积分而算得， （10）根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质（完全性），
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