毕业设计论文：对称性在积分计算中的应用.doc

长春工业大学硕士学位论文 长春师范学院本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 对称性在积分计算中的应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 副教授 年 月iii长春师范学院本科毕业论文（设计）长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名： 日期：2011年 5 月 日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名： 日期： 年 月 日20长春师范学院本科毕业论文（设计）目 录承诺保证书 i1 对称性在定积分中的应用11.1 对称性在定积分应用中的重要结论 11.2 对称性在定积分中的应用举例 32 对称性在重积分中的应用52.1 对称性在重积分应用中的重要结论 52.2 对称性在重积分中的应用举 83 对称性在线积分中的应用 103.1 对称性在线积分应用中的重要结论103.2 对称性在线积分中的应用举例124 对称性在面积分中的应用 134.1 对称性在面积分应用中的重要结论134.2 对称性在面积分中的应用举例145 利用对称性构造积分 165.1 对称性在积分应用中的其他重要结论165.2 利用对称性构造积分的应用举例16参考文献19英文摘要20对称性在积分计算中的应用张畅 摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性 对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性.特别地,对于一元函数(其中为关于原点对称的数集,即当时,有),当时,称为奇函数;当时,称为偶函数.将上述定义进行推广:对于二元函数,(其中为关于原点对称的数集,即当时，有)，当时，称为奇函数;当时，称为偶函数.奇偶函数的对称性(即本文所应用的)是对称性中的特例.它在积分的计算中很常见.如果能利用对称性就可以化简很多复杂的积分计算问题，有些题甚至可以直接得出结果.因此掌握用对称性计算积分的方法是大有益处的.本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分及线积分计算中的应用.（以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满足通常条件）1 对称性在定积分中的应用1.1对称性在定积分应用中的重要结论 在定积分的计算中经常用到如下的对称性定理： 引理 设函数在上连续，则有 （1） 证 令，有 （2）令，则 （3）将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成,则 特别地，令，就得公式 由函数奇偶性的定义及上式，易得定理1 设函数在连续，那么1)若是偶函数，则2)若是奇函数，则我们也可以把定理1推广到更一般的情况.定理2 设函数连续， 1)若的图形关于直线对称，即，则对一切,有2)若的图形关于点对称，即，则对一切，有证 1)由（1）式及已知条件，有2)由（1）式及已知条件，有此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助.1.2 对称性在定积分中的应用举例 例1 求 解 虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分和,前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间上求解. 这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的. 例2 设为任意不超过三次的多项式，证明在区间上的平均值. 证 （i）先证时的特殊情况，取，在上的平均值为 而 所以 (ii)再考察在任意区间上的平均值设，这时，于是 例3 求解 因为及都关于对称，且关于点中心对称.所以关于点中心对称，又区间关于对称，故定理2有于是 利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.2 对称性在重积分中的应用2.1 对称性在重积分应用中的重要结论定理3 (1)若为关于的偶函数，即对（是关于轴对称的区域）,有，则其中 (2) 若为关于的奇函数，即对（是关于原点对称的区域）有则证 记则 (4) 令 ，则可得其中 ，由式得则由式得此时易得定理3的结论.由定理3易知：若为区域上的连续函数，且区域关于轴对称，为关于的奇函数或偶函数有类似的结论.推论 设为区域上的连续函数，且区域关于轴和轴均对称.若为关于及的偶函数，即对有，则其中 若为关于及的奇函数，即对有或，则定理4 设为区域上的连续函数，且区域关于原点对称.(1) 若对，有，则其中 . 若对，有，则定理5 设为区域上的连续函数，且区域关于直线对称.若对，有，则其中 .若对，有，则以下通过几个例题来说明利用上述定理可大大简化重积分的计算.2.2 对称性在重积分中的应用举例 例5 计算二重积分，其中是由，所围成的区域. 解 积分区域关于轴对称（见图1），且为关于的奇函数，故xx11-1o图1y 例6 设是平面上由，为所围成的三角形区域（如图2），是在第一象限的部分，则等于.xyabco1-11图2 解 作辅助线ob,如图2所示，因为 而区域boc关于轴对称，且为关于的奇函数，所以又而区域aob关于轴对称，为关于的奇函数，故，为关于的偶函数，故. 通过做辅助线构造出积分的对称区域,而后解题,这种方法对于给出函数图像求解积分的问题很有用处.3 对称性在曲线积分中的应用3.1 对称性在曲线积分应用中的重要结论 定理6 设为定义在光滑曲线上的函数，且关于原点对称，若，则若，则（或）其中和是关于原点对称的两部分.证 由于关于原点对称，所以设 ，则，于是 所以，当时，有当时，有定理7 设在光滑或分段的平面曲线上可积，关于直线对称，若为关于直线对称的奇函数，则有若为关于直线对称的偶函数，则有其中为在直线一侧的部分.定理8 设光滑或分段的空间曲线关于坐标平面对称,为曲线上的连续函数，若为关于相应坐标平面的奇函数，则若为关于相应坐标平面的偶函数，则其中为在坐标平面一侧的部分.3.2 对称性在曲线积分中的应用举例例7 设为椭圆，其周长记为，计算解 因为关于轴对称，故所以，把椭圆方程代入被积函数.例8 计算，其中曲线为，取逆时针方向.22-2-2xoy图3解 因为，其中第一个积分，曲线关于轴对称，且走向相反，被积函数是的偶函数，第二个积分，曲线关于轴对称，且走向相反，被积函数是的偶函数.所以有：. 如图所示,通过观察可以发现函数图像的对称区域,于是对积分进行分段计算.4 对称性在曲面积分中的应用4.1 对称性在曲面积分中应用的重要结论定理9 设分片光滑的曲面关于面对称，则证 设，为关于面对称的曲面，：，、在平面上的投影为，是上的单值函数，所以则 若是的奇函数，即,有 2)若是的偶函数，即,有 定理10 设分片光滑的闭曲面关于面对称，取外侧，则 证 设，：取前侧，取后侧,、在平面上的投影是，则 则若是的奇函数，即,有若是的偶函数，即有以上结论对，同样成立，将外侧改为内侧依然成立.4.2 对称性在曲面积分中的应用举例例9 计算，为锥面被曲面所截下的部分（如图4）. 解 如图4，曲面关于面对称，而被积函数中与都是的奇函数，根据定理9知：又，所以原式 xyoz图4例10 计算，其中为上半球面.解 由于关于坐标面和均对称，而和分别关于变量和是奇函数，所以又在坐标面上的投影为且所以原式. 分析例题找出对称关系,观察后得出部分积分为0，这样,不仅简化了计算而且节省了时间. 例11 计算积分，其中的外侧. 解 因为关于面对称，关于面对称，所以 原式 .利用积分区域对称的特点,大大简化了计算.5 利用对称性构造积分5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 定理11 设在区间上可积，则有将上述定理进一步推广可得：定理12 若存在，则有5.2 利用对称性构造积分的应用举例例12 计算. 解 由于是以为对称轴的奇对称函数且点-5，-1关于点-3的对称，作变换，把积分变成对称区间上的奇、偶函数的积分.即作变换把对称平移到点，故令，则 .例13 计算. 解 令有 即 所以 . 此题按步骤计算会非常麻烦，但利用对称性把原积分重新构造后，计算由繁变简.由此可见，上述关于积分(定积分、重积分、线积分、面积分)对称性的定理对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多的干扰，所以在解题中注意积分区域是否具有某种对称性是简化题目的关键.如果对称性不明显的，有时也可以通过一定的方法，根据问题的特点构造对称性，则可减少一些繁琐的计算，提高解题效率，往往能收到事半功倍的效果.参考文献：1 华东师范大学.数学分析m.北京:高等教育出版社,2001.2 同济大学数学教研室.高等数学m.北京: 高等教育出版社,2002.3 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法m.北京: 高等教育出版社,1993.4 徐小湛.对称性在积分计算中的应用j.高等数学研究,2001，(1):25-28.5 周海清.对称性在曲面积分中的应用j.青海大学学报,2002,20(6):55-57.6 孙军安,郑德印.对称性在定积分中的应用j.南都学坛,1994,14(3):98-99.7 张晓华,曹玉升.对称性在第一型曲线积分中的应用j.商丘职业技术学院学报,2009,8(5):10-12.the application of symmetry in the integral calculationzhang chang abstract: this paper summarizes the symmetry in the integral calculation of some imp