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二项式定理 习题精选一、与通项有关的一些问题 例1在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数， 3）求常数项 解:展开式的通项为展开式中的第r+1项. 1），二项式系数为； 2）由1）知项的系数为； 3）令6-3r=0, r=2, 常数项为. 例2若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为, 前三项的系数为，且成等差， 即 解得:n=8. 从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 例31）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 解:1） 通项， 令6-2r=0, r=3, 常数项为. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240. 例4(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为. 小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决. 例5(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的展开式中x3的系数为_. 分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式: 原式=, 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为. 二、有关二项式系数的问题. 例6(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=_. 分析:二项式系数最大的为第5项， 解得:x=1或. 例7的展开式中系数最大的项为第_项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大， 则 解得:， r=7，且此时上式两个等号都不能取得， 因而第8项系数最大. 三、赋值法: 例8已知 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解. 从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(*)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结:求展开式的系数和只需令x=1可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例9已知, 其中b0+b1+b2+bn=62, 则n=_. 分析:令x=1，则, 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5. 例10求的展开式中有理项系数的和. 分析:研究其通项. 显然当r=2k(kZ)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn , 令t=1，即3n=a0+a1+a2+an 令t=-1，即1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和. 四、逆用公式 例11求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例12求值: 分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 原式= 五、应用问题 例13求证:32n+2-8n-9能被64整除. 证明: 能被64整除. 例149192除以100的余数为_. 分析:9192=(90+1)92 被9192100除的余数为81. 小结:若将9192整理成(100-9)92 随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大. 例15求0.9983的近似值（精确到0.001) 解: 典型例题例1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ， 依题意得 注意到这里 ，故得n=8 设第r+1项为有理项，则有x的幂指数 为整数， r=0，4，8， 这里T1，T5，T9为有理项，又由通项公式得： ， ， 所求二项展开式中的有理项分别为 ， ， 点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若 （为相对常数，x为变量），则当g(n,r)为自然数时 为整式项；当g(n,r)为整数时 为有理项。例2、 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项；（3）系数最大的项。解：由题意得 n=10二项展开式的通项公式为 （1）n=10，二项展开式共11项二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又 所求二项式系数最大的项为 （2）设第r+1项系数的绝对值 最大，则有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4项系数的绝对值最大 所求系数绝对值最大的项为 （3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r取偶数的各项内又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为 ， ， ， ， 即分别为1， ， ， ， 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即 点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。例3、 已知a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展开式中系数最大的项是常数项，求 的取值范围。解：设二项展开式中 为常数项， 依题意令 则将已知式 代入得 注意到这里 ，由得r=4 展开式中系数最大的项是 于是有 因此可知，所求 的取值范围为 例4、 求证：（1） 能被 整除 ；（2） 证明：（1）为利用二项式定理，对 中的底数n变形为两数之和（或差）。 ，且 ， 于是有 （）注意到 ，且 ，故 ，因此由（）式知 能被 整除；（2）证法一（倒序相加法）：设 注意到二项式系数的性质： 将式右边各项倒序排列： +得 = 即 证法二（分项求和法）：注意到左边各项的相同结构，且各项的通项： 据此变形左边各项得右边 = = = = 右边 原等式成立点评：证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特别是证法二）是基本证明方法。例5、设 ，求展开式中各二项式系数的和；展开式中各项系数的和； 的值 的值 的值解：令 注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 展开式中各项系数的和 注意到 仿得 又 解法一（直面原式）： 又 再由二项式的展开式知， 点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。例6、 化简下列各式（1） ；（2） 分析：注意到二项展开式中各项的特征： ，其中b的方幂与组合数上标相同。为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。解：（1）令x= ，则 ，即 故得 （2）令x= ，则 由 得 故得 即 点评：对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在适当作以凑因子或凑项的构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。例7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：（1） 的展开式中 项的系数；（2） 的展开式中 项的系数；（3） 的展开式中 项的系数；（4） 的展开式中x项的系数；（5） 的展开式中 项的系数；解：（1）借助“配方转化”：原式 原展开式中 项的系数，即 展开式中 项的系数又 展开式的通项公式为 令 得r=3 展开式中 所求原展开式中 项的系数为-960；（2）注意到 的幂指数3较小，借助“局部展开”：原式 展开式中 的系数为 =-590（3）解法一（求和转化）：原式 所求原展开式中 项的系数即为 展开式中 项的系数， 所求展开式中 项的系数为 解法二（集零为整）：考察左式各部，展开式中 项的系数为 （4）解法一（两次利用二项式定理）： 设展开式中第r+1项为含有x的项，又 要使x的幂指数为1，必须且只需r=1即 而 展开式中的常数项为 ，故得原展开式中x的系数为 解法二（利用求解组合应用题的思路）：注意到 欲求 展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。 原展开式中x的一次项为 所求原展开式中x的系数为240；（5）解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：注意到 其展开式的通项 又 的展开式的通项 依题意 ， 由此解得 ， ， 由、得所求展开式中 项的系数为 解法二（利用因式分解转化）： 所求即为 展开式中 的系数，于是利用“局部展开”可得其展开式中 的系数为 =-168小结：多项展开式中某一项系数的主要求法（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。（2）局部展开；（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式； （4）借助求解组合应用题的思想例8、 已知数列 的通项 是二项式 与 的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和，求数列 的通项公式及前n项和公式。解：将 与 的展开式按升幂形式写出 由可知，只有 的展开式中出现 的偶数次幂时，才能与 的展开式中x的次数相同。 由、得 所求数列 的通项公式为 ；其前n项和公式为 五、高考真题（一）选择题1.（2005全国卷 III ）在 的展开式中 的系数是（ ）A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一， ，又 的展开式中 的系数为 ， 的系数为 原展开式中 的系数为 ，应选B。2.（2005江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（ ）A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式： 当k=1时，r=4， 的系数为 ；当k=2时，r=3， 的系数为 ；当k=3时，r=2， 的系数为 ；当k=4时，r=1， 的系数为 。 综上可知应选C。点评：关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式。3.（2005浙江卷）在 的展开式中， 的项的系数为（ ）A. 74 B. 121 C. 74 D. 121 分析：考虑求和转化，原式 又 的展开式中 系数为 的展开式中 系数为 原展开式中 项的系数为 ，应选D。4.（2005重庆）若 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为-5，则n等于（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：设第r+1项是含 的项，又 这一项的系数为 ，且 再设第s+1项是含 的项，则 这一项的系数为 ，且 由、得 ，故 又由、得 化简得 于是由、解得 n=6，r=4，故选B。5.（2005山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：设 ，则 由已知得 ，解得n=7 令 得r=6. ，故所求系数为 ，应选C。6.（2004福建卷）若 的展开式的第3项为288，则 的值是（ ）A. 2 B. 1 C. D. 分析：由题设 ，应选A。（二）填空题1.（2005福建卷） 展开式中的常数项是 （用数字作答）分析： 当 得 r=2. ，即所求常数项为240。2.（2004重庆卷）若在 展开