广东省惠州市高三数学上学期第二次调研试卷 理（含解析）.doc

广东省惠州市2015届高三上学期第 二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）设集合a=x|x+2=0，集合b=x|x24=0，则ab=（）a2b2c2，2d2（5分）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（5分）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）a2bc4d4（5分）设向量，则下列结论中正确的是（）abc与垂直d5（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）ame=m0=bme=m0cmem0dm0me6（5分）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件7（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d28（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）ay=by=cy=dy=二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）已知f（x）=，则不等式f（x）x的解集为10（5分）求在点（1，0）处的切线方程11（5分）（x2）5展开式中的常数项为12（5分）锐角abc中，角a，b所对的边长分别为a，b，若2asinb=b，则角a等于13（5分）在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为三、解答题（共2小题，满分5分）14（5分）已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为c，点p的极坐标为（4，），则|cp|=15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=（用角度表示）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值17（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率18（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60，ab=2ad=2，pd底面abcd（1）证明：pabd；（2）若pd=ad，求二面角apbc的余弦值19（14分）设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，nn*（） 求数列an的通项公式；（） 证明：对一切正整数n，有20（14分）如图，已知椭圆c：，其左右焦点为f1（1，0）及f2（1，0），过点f1的直线交椭圆c于a，b两点，线段ab的中点为g，ab的中垂线与x轴和y轴分别交于d，e两点，且|af1|、|f1f2|、|af2|构成等差数列（1）求椭圆c的方程；（2）记gf1d的面积为s1，oed（o为原点）的面积为s2试问：是否存在直线ab，使得s1=s2？说明理由21（14分）已知a0，函数f（x）=lnxax2，x0（f（x）的图象连续不断）（）求f（x）的单调区间；（）当时，证明：存在x0（2，+），使；（）若存在均属于区间的，且1，使f（）=f（），证明广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）设集合a=x|x+2=0，集合b=x|x24=0，则ab=（）a2b2c2，2d考点：交集及其运算 专题：计算题分析：分别求出两集合中方程的解，确定出a与b，找出a与b的公共元素即可求出交集解答：解：由a中的方程x+2=0，解得x=2，即a=2；由b中的方程x24=0，解得x=2或2，即b=2，2，则ab=2故选a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案解答：解：z=i（1+i）=1+i，故复数z对应的点为（1，1），在复平面的第二象限，故选b点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题3（5分）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）a2bc4d考点：双曲线的标准方程 专题：计算题分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长解答：解：2x2y2=8即为a2=4a=2故实轴长为4故选c点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值4（5分）设向量，则下列结论中正确的是（）abc与垂直d考点：向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案解答：解：，=1，=，故不正确，即a错误=，故b错误；=（，），（）=0，与垂直，故c正确；，易得不成立，故d错误故选c点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”5（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）ame=m0=bme=m0cmem0dm0me考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图的知识，结合中位数、众数和平均数的概念，求出结果即可解答：解：由频率分布直方图知，30名学生的得分情况依次为：2个人得（3分），3个人得（4分），10个人得（5分），6个人得（6分），3个人得（7分），2个人得（8分），2个人得（9分），2个人得（10分）；中位数为第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即me=5.5；5出现的次数最多，故众数为m0=5；平均数为5.97；m0me故选：d点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、众数以及平均数的计算问题，是基础题6（5分）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质 专题：简易逻辑；立体几何分析：通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可解答：解：由题意可知，bmab，另一方面，如果am，ab，如图，显然平面与平面不垂直所以设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的充分不必要条件故选a点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力7（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点b时，从而得到a值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点b时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：b点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定8（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）ay=by=cy=dy=考点：函数解析式的求解及常用方法 专题：压轴题分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3进而得到解析式代入特殊值56、57验证即可得到答案解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除c、d，若x=57，y=6，排除a；故选：b点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案对于选择题要会选择最恰当的方法二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）已知f（x）=，则不等式f（x）x的解集为（5，0）（5，+）考点：分段函数的应用 专题：不等式的解法及应用分析：利用分段函数，通过x与0的大小，转化为不等式组，求解即可解答：解：由f（x）x，可得或，解得x5或5x0，所以原不等式的解集为（5，0）（5，+）故答案为：（5，0）（5，+）点评：本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力10（5分）求在点（1，0）处的切线方程y=x1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：运用求导公式计算x=1时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程解答：解：， y（1）=1 又当x=1时y=0切线方程为y=x1 故答案为：y=x1点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，正确把握导数的求法，是解题的关键属于基础题11（5分）（x2）5展开式中的常数项为40考点：二项式定理 专题：计算题分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项解答：解：（x2）5展开式中的通项公式为 tr+1=x102r（2）rx3r=（2）rx105r，令105r=0，r=2，故展开式的常数项为 4=40，故答案为 40点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（5分）锐角abc中，角a，b所对的边长分别为a，b，若2asinb=b，则角a等于考点：正弦定理的应用 专题：解三角形分析：根据正弦定理，把2asinb=b化为2sinasinb=sinb，求出sina，即得a的值解答：解：在abc中，由正弦定理，2asinb=b，2sinasinb=sinb；又sinb0，sina=；又abc为锐角三角形，a=故答案为：点评：本题考查了锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程的问题，意在考查学生的转化能力与三角变换能力，是基础题13（5分）在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为12考点：等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设正项等比数列an首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+an及a1a2an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案解答：解：设正项等比数列an首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an=2n6记tn=a1+a2+an=，sn=a1a2an=25242n6=254+n6=由题意可得tnsn，即，化简得：2n1，即2n1，因此只须n，即n213n+100解得 n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题三、解答题（共2小题，满分5分）14（5分）已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为c，点p的极坐标为（4，），则|cp|=2考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出点p的直角坐标，可得|cp|的值解答：解：由=4cos可得圆的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，故圆心c（2，0），点p的直角坐标为（2，2），所以|cp|=2，故答案为：2点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=55（用角度表示）考点：弦切角 专题：选作题；立体几何分析：先求出aob=110，再利用acb=aob，即可得出结论解答：解：如图所示，连接oa，ob，则oapa，obpb故aob=110，acb=aob=55故答案为：55点评：本题考查弦切角，考查圆心角与圆周角的关系，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：平面向量及应用分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x）+结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值解答：解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x，sinx=，即x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x，2x，当2x=，sin（2x）+取得最大值为1+=点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率考点：频率分布直方图；组合及组合数公式 专题：概率与统计分析：（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；（2）y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可解答：解：（1）重量超过505克的产品数量是40（0.055+0.015）=12件；（2）y的所有可能取值为0，1，2；，y的分布列为 y012p（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，属于基础题18（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60，ab=2ad=2，pd底面abcd（1）证明：pabd；（2）若pd=ad，求二面角apbc的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题分析：（1）证明pabd，只需证明bd平面pad，即需证明bdad，bdpd；（2）建立空间直角坐标系，表示出点与向量，求出设平面pab的法向量=，平面pbc的法向量=（0，1，），利用向量的夹角公式，即可求得二面角apbc的余弦值解答：（1）证明：因为dab=60，ab=2ad=2，由余弦定理得=从而bd2+ad2=ab2，故bdad 又pd底面abcd，bd底面abcd，bdpdadpd=dbd平面padpa平面padpabd （6分）（2）解：如图，以d为坐标原点，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，则a（1，0，0），p（0，0，1），设平面pab的法向量为=（x，y，z），则，即 因此可取=设平面pbc的法向量为=（x，y，z），则 ，即可取=（0，1，），故二面角apbc的余弦值为 （12分）点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，正确运用向量求面面角19（14分）设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，nn*（） 求数列an的通项公式；（） 证明：对一切正整数n，有考点：数列与不等式的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（） 利用条件变形，再写一式，两式相减，即可求数列an的通项公式；（）分类，放缩，再裂项求和，即可证明结论解答：（）解：，nn*当n2时，由，得 2sn2sn1=nan+1（n1）ann（n+1），2an=2sn2sn1，2an=nan+1（n1）ann（n+1），数列是以首项为，公差为1的等差数列，当n=1时，上式显然成立；（）证明：由（）知，当n=1时，原不等式成立当n=2时，原不等式亦成立当n3时，n2（n1）（n+1），=，当n3时，原不等式亦成立综上，对一切正整数n，有点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，有难度20（14分）如图，已知椭圆c：，其左右焦点为f1（1，0）及f2（1，0），过点f1的直线交椭圆c于a，b两点，线段ab的中点为g，ab的中垂线与x轴和y轴分别交于d，e两点，且|af1|、|f1f2|、|af2|构成等差数列（1）求椭圆c的方程；（2）记gf1d的面积为s1，oed（o为原点）的面积为s2试问：是否存在直线ab，使得s1=s2？说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，|af1|、|f1f2|、|af2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆c的方程；（2）假设存在直线ab，使得 s1=s2，确定g，d的坐标，利用gfdoed，即可得到结论解答：解：（1）因为|af1|、|f1f2|、|af2|构成等差数列，所以2a=|af1|+|af2|=2|f1f2|=4，所以a=2（2分）又因为c=1，所以b2=3，（3分）所以椭圆c的方程为 （4分）（2）假设存在直线ab，使得 s1=s2，显然直线ab不能与x，y轴垂直设ab方程为y=k（x+1）（5分）将其