广东省惠州市高三数学上学期第一次调研试卷 理（含解析）.doc

广东省惠州市2015届高三上学期 第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）复数z=的虚部是（）abicdi2（5分）已知集合a=y|y=|x|1，xr，b=x|x2，则下列结论正确的是（）a3ab3bcab=bdab=b3（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为（）a15b20c25d304（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，若a3=18a6，则s8=（）a18b36c54d725（5分）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）a10b10c5d56（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3a18b21c24d287（5分）已知x、y都是区间内任取的一个实数，则使得ysinx的取值的概率是（）abcd8（5分）已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a4bc6d2二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）函数y=log2（3x2）的定义域是10（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是11（5分）用数字1，2，3，4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有个12（5分）设变量x，y满足，则z=x+y的最大值是13（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为三.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14（5分）极坐标系中，a，b分别是直线cossin+5=0和圆=2sin上的动点，则a，b两点之间距离的最小值是（几何证明选讲选做题）15如图，oab是等腰三角形，p是底边ab延长线上一点，且po=3，papb=4，则腰长oa=三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知，（）求tanx的值；（）求的值17（12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在050为优秀，各类人群可正常活动惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+xnpn）（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望18（14分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小19（14分）已知数列an中，a1=3，前n和sn=（n+1）（an+1）1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式设数列的前n项和为tn，是否存在实数m，使得tnm对一切正整数n都成立？若存在，求m的最小值，若不存在，试说明理由20（14分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点p（2，1）的距离为（）求椭圆c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21（14分）已知关于x的函数f（x）=x3+bx2+cx+bc，其导函数为f（x）令g（x）=|f（x）|，记函数g（x）在区间上的最大值为m（）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值：（）若|b|1，证明对任意的c，都有m2（）若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值广东省惠州市2015届高三上学期第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）复数z=的虚部是（）abicdi考点：复数的基本概念 专题：计算题分析：利用复数的基本概念直接求解解答：解：z=，它的虚部是故选c点评：本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握基本概念2（5分）已知集合a=y|y=|x|1，xr，b=x|x2，则下列结论正确的是（）a3ab3bcab=bdab=b考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：先求出集合a，从而找出正确选项解答：解：|x|0，|x|11；a=y|y1，又b=x|x2ab=x|x2=b故选c点评：注意描述法所表示集合的元素3（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为（）a15b20c25d30考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义即可得到结论解答：解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在2015届高三年级应该抽取人数为人，故选：b点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础4（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，若a3=18a6，则s8=（）a18b36c54d72考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：利用等差数列的性质可得18=a1+a8，代入等差数列前8项和公式 求出s8的值解答：解：a3=18a6 ，a3+a6=18=a1+a8，s8 =72，故选d点评：本题考查等差数列的性质得应用，以及等差数列前n 项和公式，求出18=a1+a8，是解题的关键5（5分）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）a10b10c5d5考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得解答：解：对于，对于103r=4，r=2，则x4的项的系数是c52（1）2=10故选项为b点评：二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具6（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3a18b21c24d28考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可解答：解答：解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是三角形abc直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3如图：v=v棱柱v三棱锥=306=24（cm3）故选：c点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式7（5分）已知x、y都是区间内任取的一个实数，则使得ysinx的取值的概率是（）abcd考点：几何概型；定积分 专题：概率与统计分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论解答：解：此题为几何概型，事件a的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件a的概率为，故选a点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法8（5分）已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a4bc6d2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出解答：解：由题意，则，=6，=2，=2=即，得，由定义知，故选：d点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）函数y=log2（3x2）的定义域是x|x考点：函数的定义域及其求法 分析：对数函数的真数一定要大于0，即，3x20，从而求出x的取值范围解答：解：因为3x20，得到x故答案为：x|x点评：对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于010（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是x2=1考点：抛物线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的顶点，求得双曲线中的a，根据离心率进而求c，最后根据b2=c2a2求得b，则双曲线的方程可得解答：解：由题可设双曲线的方程为：抛物线y2=4x中2p=4，其焦点f（1，0），又双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，a=1，又e=2，c=2，故b2=41=3，双曲线的方程为x2=1故答案为：x2=1点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用11（5分）用数字1，2，3，4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有12个考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：偶数即个位数字只能是2或4，利用乘法原理即可得出答案解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有c21a33=2321=12个故答案为：12点评：本题主要考查分步乘法计数原理，如何分步是关键12（5分）设变量x，y满足，则z=x+y的最大值是3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值解答：解：由约束条件画出可行域如图所示，可得则目标函数z=x+y在点a（2，1）取得最大值，代入得x+y=3，故x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键13（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法 专题：计算题分析：构建函数f（x）=f（x）（2x+4），由f（1）=2得出f（1）的值，求出f（x）的导函数，根据f（x）2，得到f（x）在r上为增函数，根据函数的增减性即可得到f（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答：解：设f（x）=f（x）（2x+4），则f（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xr，f（x）2，所以f（x）=f（x）20，即f（x）在r上单调递增，则f（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题三.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14（5分）极坐标系中，a，b分别是直线cossin+5=0和圆=2sin上的动点，则a，b两点之间距离的最小值是21考点：简单曲线的极坐标方程 专题：空间位置关系与距离分析：分别把所给的直线、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，则dr即为所求解答：解：直线cossin+5=0的直角坐标方程为xy+5=0，圆=2sin即 2=2sin，化为直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心、半径为1的圆圆心到直线的距离为d=，a，b两点之间距离的最小值是21故答案为：点评：本题主要考查了把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查了点线之间的距离，属于基础题（几何证明选讲选做题）15如图，oab是等腰三角形，p是底边ab延长线上一点，且po=3，papb=4，则腰长oa=考点：相似三角形的性质 专题：计算题；立体几何分析：作odap，垂足d，则op2pd2=ob2bd2，所以op2ob2=pd2bd2，进一步可得op2ob2=4，即可得出结论解答： 解：作odap，垂足d，则op2pd2=ob2bd2，所以op2ob2=pd2bd2，因为ad=bd，所以pd2bd2=pd2ad2=（pd+ad）（pdad）=pbpa=4，所以op2ob2=4，所以ob2=94=5，所以ob=，所以oa=故答案为：点评：本题考查等腰三角形的性质，考查勾股定理的运用，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知，（）求tanx的值；（）求的值考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切 分析：（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案解答：解：（1）由，（2）原式=，由（1）知cosxsinx0，所以上式=cotx+1=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系这里二倍角公式是考查的重要对象17（12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在050为优秀，各类人群可正常活动惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+xnpn）（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：（1）由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）10=1，由此能求出a（2）求出50个样本中空气质量指数的平均值，由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值（3）由题意知，的取值为0，1，2，3，由此能求出的分布列和数学期望解答：（1）解：由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）10=1，（1分）解得a=0.03（2分）（2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为（3分）由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6（4分）（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在（5，15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则（5分）的取值为0，1，2，3，（6分），（10分）0123p的分布列为：（11分）（12分）（或者）点评：本题考查实数值的求法，考查平均值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18（14分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取a1b的中点d，连接ad，由已知条件推导出ad平面a1bc，从而adbc，由线面垂直得aa1bc由此能证明abbc（2）连接cd，由已知条件得acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，aed即为二面角aa1cb的一个平面角，由此能求出二面角aa1cb的大小解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取a1b的中点d，连接ad，（1分）因aa1=ab，则ada1b（2分）由平面a1bc侧面a1abb1，且平面a1bc侧面a1abb1=a1b，（3分）得ad平面a1bc，又bc平面a1bc，所以adbc（4分）因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，则aa1底面abc，所以aa1bc又aa1ad=a，从而bc侧面a1abb1，又ab侧面a1abb1，故abbc（7分）（2）解：连接cd，由（1）可知ad平面a1bc，则cd是ac在平面a1bc内的射影acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，则（8分）在等腰直角a1ab中，aa1=ab=2，且点d是a1b中点，且，（9分）过点a作aea1c于点e，连de由（1）知ad平面a1bc，则ada1c，且aead=aaed即为二面角aa1cb的一个平面角，（10分）且直角a1ac中：又，且二面角aa1cb为锐二面角，即二面角aa1cb的大小为（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知数列an中，a1=3，前n和sn=（n+1）（an+1）1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式设数列的前n项和为tn，是否存在实数m，使得tnm对一切正整数n都成立？若存在，求m的最小值，若不存在，试说明理由考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：由sn=（n+1）（an+1）1，得，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an1（1），则（n+1）an+2=（n+2）an+11（2），两式相减整理后利用等差中项公式可判断；由知，nan+1=（n+1）an1，可求得a2=2a11=5，又a1=3可求公差，从而可得an；使得tnm对一切正整数n恒成立，等价于tn的最大值小于等于m，利用裂项相消法可求得tn，进而可求得其最大值；解答：解：sn=（n+1）（an+1）1，an+1=sn+1sn=，整理得，nan+1=（n+1）an1（1）（n+1）an+2=（n+2）an+11（2）（2）（1），得（n+1）an+2nan+1=（n+2）an+1（n+1）an，2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），2an+1=an+2+an，数列an为等差数列由知，nan+1=（n+1）an1，得a2=2a11=5，又a1=3，a2a1=2，即公差为2，an=3+（n1）2=2n+1；=（），=，又当nn*时，要使得tnm对一切正整数n恒成立，只要m，存在实数m使得tnm对一切正整数n都成立，m的最小值为点评：本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和，恒成立问题常转化为函数最值解决，裂项相消法对数列求和是2015届高考考查的重点内容，要熟练掌握20（14分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点p（2，1）的距离为（）求椭圆c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以ab为直径的圆过椭圆的右顶点d，可得kadkbd=1，即可得出m与k的关系，从而得出答案解答：解：（）左焦点（c，0）到点p（2，1）的距离为，解得c=1又，解得a=2，b2=a2c2=3所求椭圆c的方程为：（）设a（x1，y1），b（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=以ab为直径的圆过椭圆的右顶点d（2，0），kadkbd=1，y1y2+x1x22（x1+x2）+4=0，化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=2k，且满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=时，l：y=k，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21（14分）已知关于x的函数f（x）=x3+bx2+cx+bc，其导函数为f（x）令g（x）=|f（x）|，记函数g（x）在区间上的最大值为m（）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值：（）若|b|1，证明对任意的c，都有m2（）若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（）对函数求导，由题意可得，代入可求b，c，代入验证，找出符合条件的值（）（法1）代入整理g（x）=|（xb）2+b2+c|，结合|b|1的条件判断函数f（x）的对称轴与区间的位置关系，从而求出该函数在上的最大值m，则mf（1），mf（1），可证（法2）利用反证法：假设m2，由（1）可知m应是g（1）和g（1）中较大的一个，则有，代入课产生矛盾（）（法1）mk恒成立kmmin，转化为求m的最小值当|b|1，结合（ii）讨论|b|1两只情况讨论，此时m=maxg（1），g（1），g（b），结合条件推理论证（法2）仿照