江苏省南京师大附中高三数学上学期12月学情反馈试卷（含解析考）新人教A版.doc

江苏省南京师大附中2013届高三（上）12月学情反馈数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法.专题：计算题分析：利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于 求出结果解答：解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于 =，故答案为：点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题2（5分）若集合a=x|（x1）23x+7，xr，则az中有6个元素考点：交集及其运算分析：先化简集合a，即解一元二次不等式（x1）23x+7，再与z求交集解答：解：由（x1）23x+7得x25x60，a=（1，6），因此az=0，1，2，3，4，5，共有6个元素故答案是 6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式3（5分）函数的单调减区间是（1，考点：复合函数的单调性.专题：计算题；函数的性质及应用分析：由函数，知x2+3x+40，由t=x2+3x+40是开口向下，对称轴为x=抛物线，利用复合函数的性质能求出函数的单调减区间解答：解：函数，x2+3x+40，解得1x4t=x2+3x+40是开口向下，对称轴为x=抛物线，由复合函数的性质知函数的单调减区间是（1，故答案为：（1，点评：本题考查复合函数的单调性，解题时要认真审题，注意对数函数、二次函数的性质的合理运用4（5分）若=a+bi（i是虚数单位，a，br），则乘积ab的值是3考点：复数相等的充要条件.专题：计算题分析：先对等式的左端分子、分母同时乘以分母的共轭复数2+i进行化简，然后根据复数相等的条件当且仅当实部与虚部分别相等可求a，b进而可求ab解答：解：1+3i=a+bi根据复数相等的条件可得，a=1，b=3ab=3故答案为：3点评：本题主要考查了复数的乘除的基本运算，还考查了复数相等的条件：当且仅当实部与虚部分别相等，属于基础试题5（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是考点：古典概型及其概率计算公式.专题：计算题分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可解答：解析：基本事件共66个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故故填：点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件a出现m种结果，那么事件a的概率p（a）=6（5分）给出一个算法： read x if x0，then f（x）4x else f（x）2x end，if print，f（x）根据以上算法，可求得f（1）+f（2）=0考点：条件语句.专题：图表型分析：先根据算法求出函数的解析式，然后根据自变量的值代入相应的解析式即可求出所求解答：解：根据算法程序得：f（x）=f（1）+f（2）=4（1）+4=0故答案为：0点评：本题主要考查了条件语句，以及函数值的求解，同时考查了阅读算法语句的能力，属于基础题7（5分）椭圆上一点p与椭圆的两个焦点f1，f2的连线互相垂直，则pf1f2的面积为24考点：椭圆的简单性质.专题：计算题分析：根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点p与椭圆的两个焦点f1，f2的连线互相垂直以及点p在椭圆上，求出点p的纵坐标，从而计算出pf1f2的面积解答：解：由题意得 a=7，b=2 ，c=5，两个焦点f1 （5，0），f2（5，0），设点p（m，n），则 由题意得 =1，+=1，n2=，n=，则pf1f2的面积为 2c|n|=10=24，故答案为：24点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题8（5分）已知向量和的夹角为120，则=7考点：向量的模.专题：计算题分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值解答：解：由题意得，=，=7故答案为：7点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解9（5分）在rtabc中，c=90，a=30，则a、b为焦点，过点c的椭圆的离心率考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据rtabc中，c=90，a=30，求出三角形abc的三边长，因为三角形abc为椭圆中的焦点三角形，所以可用三边长表示椭圆中的长轴长2a和焦距2c，再代入离心率公式即可解答：解：设|bc|=1，abc中，c=90，a=30，|ac|=，|ab|=2椭圆以a，b为焦点，且经过c点，2a=|ca|+|cb|，2c=|ab|a=，c=1椭圆离心率e=故答案为：点评：本题主要考查椭圆中离心率的求法，关键是借助焦点三角形中的三边关系求出a，c的值10（5分）在平面直角坐标系中，设三角形abc 的顶点分别为a（0，a），b（b，0），c （c，0），点p（0，p）在线段ao 上（异于端点），设a，b，c，p 均为非零实数，直线bp，cp 分别交ac，ab 于点e，f，一同学已正确算得oe的方程：，请你求of的方程：考点：直线的一般式方程.专题：直线与圆分析：根据题设，要求of的方程即要求出f点的坐标而f点为cp与ab的交点，故要分别求出cp与 ab的方程解答：解：由题意，c（c，0），p（0，p），则cp方程为，同理，ab方程为y=（xb），两直线方程联立，得出f点坐标为（，），所以of方程为（acpabp）x（abcbcp）y=0，同除以abcp整理得of方程为：故答案为：点评：本题主要体现“对称轮换思想”，因为点b与点c“地位平等”，所以它们具有可交换性，因此只要将直线oe方程中b与c交换，便可得直线of方程，直接求解运算量较大，易出错11（5分）如图，点p是单位圆上的一个顶点，它从初始位置p0开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点p1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点p2，若点p2的横坐标为，则cos的值等于考点：任意角的三角函数的定义.专题：计算题分析：首先根据p2的横坐标为，求出cos（+）的值，然后根据同角三角函数的性质求出sin（），最后根据cos=cos（）化简即可求出cos解答：解：cos（+）=sin（）=cos=cos（）=；故答案为点评：本题考查单位圆与周期性，以及任意角的三角函数的定义及其应用通过三角函数的转化来求角的余弦值属于基础题12（5分）设实数x，y满足则的取值范围是考点：简单线性规划.专题：计算题分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出分析可行域中各点的坐标，分析后易得的取值范围解答：解：由约束条件得如图所示的阴影区域，由图可知，当x=3，y=1时，u有最小值，当x=1，y=2时，u有最大值，故的取值范围是，故答案为：点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案13（5分）满足条件ab=2，ac=bc的三角形abc的面积的最大值是2考点：三角形中的几何计算.专题：计算题；压轴题分析：设bc=x，根据面积公式用x和sinb表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinb，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值解答：解：设bc=x，则ac=x，根据面积公式得sabc=abbcsinb=2x，根据余弦定理得cosb=，代入上式得sabc=x=，由三角形三边关系有，解得22x2+2故当x=2时，sabc取得最大值2点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题14（5分）f（x）=ax33x+1对于x1，1总有f（x）0成立，则a=4考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题；压轴题分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：x=0，x0，x0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）0都成立；当x0时有a，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使ag（x）max，同理可得x0时的a的范围，从而可得a的值解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）0都成立；当x0即x（0，1时，f（x）=ax33x+10可化为：a设g（x）=，则g（x）=，所以g（x）在区间（0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a4；当x0即x1，0）时，f（x）=ax33x+10可化为：a，g（x）=在区间1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（1）=4，从而a4，综上a=4答案为：4点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在abc中，a，b，c分别为a，b，c边所对的角，且（1）求的值；（2）若a=2，求abc的面积s的最大值考点：正弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值.专题：计算题；解三角形分析：（1）由已知可求cos，cos2a=2cos2a1，然后利用诱导公式及二倍角公式即可求解（2）根据三角形的面积公式s=bcsina表示出三角形的面积，根据余弦定理表示出cosa，把cosa的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积s的最大值解答：解：（1）=且coscos=，cos2a=2cos2a1=由三角形的内角和可得，b+c=a=cos+cos2a=（2）由余弦定理可得，cosa=b2+c2a2=b2+c242bc4bc10s=3，即s的最大值为3点评：此题属于解三角形的题型，考查的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键16（14分）已知点p（3，4）是椭圆+=1（ab0）上的一点，f1、f2是椭圆的两焦点，若pf1pf2，试求：（1）椭圆方程；（2）pf1f2的面积考点：椭圆的简单性质.专题：解题方法；待定系数法分析：（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为+=1，把点p的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程（2） p点纵坐标的值即为f1f2边上的高，由 spf1f2 =|f1f2|4 求得）pf1f2的面积解答：解：（1） 令f1（c，0），f2（c，0），pf1pf2，kpf1kpf2=1，即 =1，解得 c=5，椭圆方程为 +=1点p（3，4）在椭圆上，+=1，解得 a2=45，或a2=5，又ac，a2=5舍去，故所求椭圆方程为 +=1（2） p点纵坐标的值即为f1f2边上的高，spf1f2 =|f1f2|4=104=20点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法17（15分）已知四边形abcd是等腰梯形，ab=3，dc=1，bad=45，deab（如图1）现将ade沿de折起，使得aeeb（如图2），连接ac，ab，设m是ab的中点（1）求证：bc平面aec；（2）判断直线em是否平行于平面acd，并说明理由考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）在图1中，过c作cfeb，连接ce，证明bcce，在图2中，利用aeeb，aeed，可证ae平面bcde，从而可得aebc，即可证明bc平面aec（2）用反证法假设em平面acd，从而可证面aeb面ac，而a平面aeb，a平面acd，与平面aeb平面acd矛盾，故可得结论解答：（1）证明：在图1中，过c作cfebdeeb，四边形cdef是矩形，cd=1，ef=1四边形abcd是等腰梯形，ab=3，ae=bf=1bad=45，de=cf=1连接ce，则ce=cb=，eb=2，bce=90，bcce 在图2中，aeeb，aeed，ebed=e，ae平面bcdebc平面bcde，aebc aece=e，bc平面aec （2）解：用反证法假设em平面acd ebcd，cd平面acd，eb平面acd，eb平面acdebem=e，面aeb面acd 而a平面aeb，a平面acd，与平面aeb平面acd矛盾假设不成立，em与平面acd不平行点评：本题考查图形的翻折，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，考查反证法思想的运用，解题的关键是掌握线面垂直，面面平行的判定方法，属于中档题18（15分）某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形abcd的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形qpre（线段eq和rp为两个底边），已知ab=2km，bc=6km，ae=bf=4km，其中af是以a为顶点、ad为对称轴的抛物线段试求该高科技工业园区的最大面积考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：应用题分析：先以a为原点，ab所在的直线为x轴建立直角坐标系得到a、f、e、c的坐标设出抛物线的解析式把f坐标代入可求出，根据坐标ec所在直线的方程，设出p的坐标表示出pq、qe、pr，利用梯形的面积公式表示出s，求出s=0时的值来讨论s的增减性得到s的最大值即可解答：解：以a为原点，ab所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则a（0，0），f（2，4），由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2（a0），由4=a22得，a=1，af所在抛物线的方程为y=x2，又e（0，4），c（2，6），ec所在直线的方程为y=x+4，设p（x，x2）（0x2），则pq=x，qe=4x2，pr=4+xx2，工业园区的面积（0x2），s=3x2+x+4，令s=0得或x=1（舍去负值），当x变化时，s和s的变化情况如下表：由表格可知，当时，s取得最大值答：该高科技工业园区的最大面积点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及会利用导数求闭区间上函数最值的能力19（16分）已知c过点p（1，1），且与m：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求c的方程；（）设q为c上的一个动点，求的最小值；（）过点p作两条相异直线分别与c相交于a，b，且直线pa和直线pb的倾斜角互补，o为坐标原点，试判断直线op和ab是否平行？请说明理由考点：圆与圆的位置关系及其判定.专题：计算题；压轴题分析：（）设圆心的坐标，利用对称的特征：点与对称点连线的中点在对称轴上；点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于1，求出圆心坐标，又c过点p（1，1），可得半径，从而写出c方程（）设q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值（）设出直线pa和直线pb的方程，将它们分别与c的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得a，b的横坐标（用k表示的），化简直线ab的斜率，将此斜率与直线op的斜率作对比，得出结论解答：解：（）设圆心c（a，b），则，解得（3分）则圆c的方程为x2+y2=r2，将点p的坐标代入得r2=2，故圆c的方程为x2+y2=2（5分）（）设q（x，y），则x2+y2=2，（7分）=x2+y2+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，=cos+sin2=2sin（+）2，（+）=2k时，2sin（+）=1，所以的最小值为22=4 （10分）（）由题意知，直线pa和直线pb的斜率存在，且互为相反数，故可设pa：y1=k（x1），pb：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0（11分）因为点p的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，所以=kop ，所以，直线ab和op一定平行（15分）点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用20（16分）已知函数f（x）=（x23x+3）ex定义域为2，t（t2），设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：nm；（）求证：对于任意的t2，总存x0（2，t），满足，并确定这样的x0的个数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：压轴题分析：（）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（）运用函数的极小值进行证明，（）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定解答：（）解：因为f（x）=（2x3）ex+（x23x+3）ex，由f（x）0x1或x0，由f（x）00x1，函数f（x）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，函数f（x）在2，t上为单调函数，2t0，（）证：因为函数f（x）在（，0）（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（2）=13e2e，所以f（x）在2，+）上的最小值为f（2），从而当t2时，f（2）f（t），即mn，（）证：因为，即为x02x0=，令g（x）=x2x，从而问题转化为证明方程g（x）=0在（2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（2）=6（t1）2=，g（t）=t（t1）=，所以当t4或2t1时，g（2）g（t）0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且只有一解，当1t4时，g（2）0且g（t）0，但由于g（0）=0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2x6=0，所以g（x）=0在（2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足，且当t4或2t1时，有唯一的x0适合题意，当1t4时，有两个x0适合题意点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力三、理科附加题(30分钟）21（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量考点：特征值与特征向量的计算.专题：计算题分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（）=0即可解出另一个特征值为2=1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量解答：解：矩阵m的特征多项式为=（1）（x）4（1分）因为1=3方程f（）=0的一根，所以x=1（3分）由（1）（1）4=0得2=1，（5分）设2=1对应的一个特征向量为，则得x=y（8分）令x=1则y=1，所以矩阵m的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为（10分）点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于基础题22（选做题）在极坐标系中，圆c的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆c的位置关系考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程.专题：计算题分析：消去参数t，得直线l的直角坐标方程，再求出c的直角坐标方程，求出圆心c到直线l的距离小于半径，可得直线l和c相交解答：解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1；（2分）圆c的方程 ，即=2（sin+cos），两边同乘以得2=2（sin+cos），得c的直角坐标方程为：（x1）2+（x1）2=2，（6分）圆心c到直线l的距离，所以直线l和c相交 （10分）点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题23如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，pa底面abcd，点m是棱pc的中点，am平面pbd（1）求pa的长；（2）求棱pc与平面amd所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质.专题：空间位置关系与距离分析：（1）先建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由平面pbd，=0，可得p的竖坐标，即得到pa的长（2）先求出平面amd的一个法向量n，与法向量n的夹角的余弦值就等于与平面amd夹角的正弦值解答：解：如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a（0，0，0），b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，1，0），p（0，0，a）因为m是pc中点，所以m点的坐标为（，），所以=（，），=（1，1，0），=（1，0，a）（1）因为平面pbd，所以=0即+