广东省惠州市高三数学第一次调研试卷 理（含解析）.doc

2016年广东省惠州市高三第一次调研数学试卷（理科） 一选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016惠州模拟）已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（ua）b为（） a 1，2，4 b 2，3，4 c 0，2，4 d 0，2，3，4考点： 交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： 找出全集u中不属于a的元素，求出a的补集，找出既属于a补集又属于b的元素，确定出所求的集合解答： 解：全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，cua=0，4，又b=2，4，则（cua）b=0，2，4故选c点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）（2016惠州模拟）复数（i是虚数单位）的模等于（） a b 10 c d 5考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模解答： 解：=1+=3+i，故模为；故选：a点评： 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题3（5分）（2016惠州模拟）下列命题中的假命题是（） a xr，lgx=0 b xr，tanx=0 c xr，2x0 d xr，x20考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 举例说明是a、b真命题，根据指数函数的定义与性质，判断c是真命题；举例说明d是假命题解答： 解：对于a，x=1时，lg1=0，a是真命题；对于b，x=0时，tan0=0，b是真命题；对于c，xr，2x0，c是真命题；对于d，当x=0时，x2=0，d是假命题故选：d点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目4（5分）（2016惠州模拟）已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=（） a 1 b 2或1 c 2 d 2考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 平面向量及应用分析： 根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可解答： 解：=（a，2），=（1，1a），且，a（1a）（2）1=0，化简得a2a2=0，解得a=2或a=1；a的值是2或1故选：b点评： 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目5（5分）（2016惠州模拟）abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则a=（） a 30 b 45 c 60 d 90考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： 根据题意和余弦定理求出cosa的值，由a的范围求出角a的值解答： 解：a=，b=3，c=2，由余弦定理得，cosa=，又由a（0，180），得a=60，故选：c点评： 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题6（5分）（2016惠州模拟）已知函数，则=（） a b c d 考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值解答： 解：因为0，所以f（）=2，又20，所以f（2）=22=；故选：b点评： 本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可7（5分）（2016惠州模拟）已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（） a 2 b 1 c d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为v=sh=111=故选：c点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目8（5分）（2016惠州模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（） a 2 b 2 c 1 d 1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点a时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即a（0，1），此时z的最大值为z=0+21=2，故选：b点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法9（5分）（2016惠州模拟）的图象中相邻的两条对称轴间距离为（） a 3 b c d 考点： 正弦函数的对称性专题： 计算题分析： 先对函数式化简整理得f（x）=，再根据正弦函数的性质求得函数图象的对称轴，进而相邻的两条对称轴间距离可得解答： 解：=图象的对称轴为，即故相邻的两条对称轴间距离为故选c点评： 本题主要考查了正弦函数的对称性属基础题10（5分）（2005天津）设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（） a ，=l，ml b =m， c ，m d n，n，m考点： 直线与平面垂直的判定专题： 证明题；转化思想分析： 根据面面垂直的判定定理可知选项a是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项b和c是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项d正确解答： 解：，=l，ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；n，n，而m，则m，故正确故选d点评： 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题11（5分）（2016惠州模拟）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种 a 150 b 180 c 240 d 540考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有c52c32a33，当5名学生分成3，1，1时，共有c53a33，根据分类计数原理得到结果解答： 解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有c52c32a33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有c53a33=60种结果，根据分类计数原理知共有90+60=150故不同保送的方法数为150种，故选：a点评： 本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题12（5分）（2016惠州模拟）已知抛物线与双曲线有共同的焦点f，o为坐标原点，p在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（） a b c d 考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 抛物线，可得x2=8y，焦点f为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值解答： 解：抛物线，可得x2=8y，焦点f为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设p（m，n）（n），则n23m2=3，m2=n21，则=（m，n）（m，n2）=m2+n22n=n21+n22n=（n）2，因为n，故当n=时取得最小值，最小值为32，故选：a点评： 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若，则cos2=考点： 诱导公式的作用；二倍角的余弦分析： 由sin（+）=cos及cos2=2cos21解之即可解答： 解：由可知，而故答案为：点评： 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用14（5分）（2016惠州模拟）（x）4的展开式中常数项为（用数字表示）考点： 二项式定理专题： 计算题；二项式定理分析： 利用二项展开式的通项公式tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2，即可求出（x）4的展开式中常数项解答： 解：设（x）4展开式的通项为tr+1，则tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2展开式中常数项为：（）2=故答案为：点评： 本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题15（5分）（2016惠州模拟）（理）+2考点： 定积分专题： 计算题分析： 根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可解答： 解：（x+sinx）=+1（1）=+2，故答案为+2点评： 此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数16（5分）（2016惠州模拟）如数表，为一组等式：某学生猜测s2n1=（2n1）（an2+bn+c），老师回答正确，则3a+b=4考点： 归纳推理专题： 规律型分析： 利用所给等式，对猜测s2n1=（2n1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论解答： 解：由题意，3a+b=4故答案为：4点评： 本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2016惠州模拟）已知an为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12（）求数列an的通项公式；（）记an的前n项和为sn，若a3，ak+1，sk成等比数列，求正整数k的值考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（）由（）可得sn，进而可得a3，ak+1，sk，由等比数列可得k的方程，解方程即可解答： 解：（）设数列an的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，an=2+2（n1）=2n；（）由（）可得，a3=23=6，ak+1=2（k+1），a3，ak+1，sk成等比数列，（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2k2=0，解得k=2或k=1，kn*，k=2点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题18（12分）（2016惠州模拟）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为x，求x的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题： 概率与统计分析： （1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可（2）xb（3，），根据二项分布求解p（x=0），p（x=1），p（x=2）=，p（x=3），列出分布列，求解数学期望即可解答： 解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则xb（3，），x=0，1，2，3；p（x=0）=（）3=；p（x=1）=（）2=；p（x=2）=（）（）2=；p（x=3）=（）3=，x的分布列为：x 0 1 2 3p 即e（x）=0=点评： 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力19（12分）（2016惠州模拟）如图，三棱柱abca1b1c1中，ab=ac=aa1=bc1=2，aa1c1=60，平面abc1平面aa1c1c，ac1与a1c相交于点d（1）求证：bd平面aa1c1c；（2）求二面角c1abc的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： （1）由平行四边形aa1c1c中ac=a1c1，结合题意证出aa1c1为等边三角形，同理得abc1是等边三角形，从而得到中线bdac1，利用面面垂直判定定理即可证出bd平面aa1c1c（2）以点d为坐标原点，da、dc、db分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面abc1与平面abc的法向量，从而可算出二面角c1abc的余弦值解答： 解：（1）四边形aa1c1c为平行四边形，ac=a1c1，ac=aa1，aa1=a1c1，aa1c1=60，aa1c1为等边三角形，同理abc1是等边三角形，d为ac1的中点，bdac1，平面abc1平面aa1c1c，平面abc1平面aa1c1c=ac1，bd平面abc1，bd平面aa1c1c（2）以点d为坐标原点，da、dc、db分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面abc1的一个法向量为，设平面abc的法向量为，由题意可得，则，所以平面abc的一个法向量为=（，1，1），cos=即二面角c1abc的余弦值等于点评： 本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题20（12分）（2014陕西）如图，曲线c由上半椭圆c1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线c2：y=x2+1（y0）连接而成，c1与c2的公共点为a，b，其中c1的离心率为（）求a，b的值；（）过点b的直线l与c1，c2分别交于点p，q（均异于点a，b），若apaq，求直线l的方程考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 向量与圆锥曲线分析： （）在c1、c2的方程中，令y=0，即得b=1，设c1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆c1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入c1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点p（xp，yp），依题意，可求得点p的坐标为（，）；同理可得点q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案解答： 解：（）在c1、c2的方程中，令y=0，可得b=1，且a（1，0），b（1，0）是上半椭圆c1的左右顶点设c1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆c1的方程为+x2=1（y0）易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入c1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点p（xp，yp），直线l过点b，x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，点p的坐标为（，）同理，由得点q的坐标为（k1，k22k），=（k，4），=k（1，k+2），apaq，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=经检验，k=符合题意，故直线l的方程为y=（x1），即8x+3y8=0点评： 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题21（12分）（2016惠州模拟）已知函数f（x）=x（xa）2，g（x）=x2+（a1）x+a（其中ar）（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并直接写出函数f（x）的单调区间；（2）令f（x）=f（x）g（x），讨论函数y=f（x）在区间1，3上零点的个数考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；（2）化简方程f（x）g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间1，3上实数解的个数，即函数零点的个数解答： 解：（1）f（x）=x（xa）2=x32ax2+a2x，则f（x）=3x24ax+a2=（3xa）（xa），令f（x）=0，得x=a或x=，而二次函数g（x）在x=处有极大值，=a或=；综上：a=3或a=1当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（，1，3，+），减区间是（1，3），当a=1时，y=f（x）的单调增区间是，减区间是；（2）f（x）=f（x）g（x）=x（xa）2+x2（a1）xa，=x（xa）2+（xa）（x+1），=（xa）x2+（1a）x+1，令h（x）=x2+（1a）x+1，则=（a+1）（a3）1当1a3时，0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a1，3，满足题意，即原方程有一解，函数y=f（x）在区间1，3有唯一零点；2当a=3时，=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3，故函数y=f（x）在区间1，3有2个零点；3当a=1时，=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有一解，x=1，故函数y=f（x）在区间1，3有1个零点4当a3时，0，由于h（1）=a+14，h（0）=1，h（3）=133a若133a0，即a时，h（x）=0在1，3上有一解，故函数y=f（x）在区间1，3有1个零点；若133a=0，即a=时，h（x）=0在1，3上有两解，故函数y=f（x）在区间1，3有2个零点；若133a0，即3a时时，h（x）=0在1，3上两解，故函数y=f（x）在区间1，3有2个零点；5当a1时，0，由于h（1）=a+10，h（0）=1，h（3）=133a0，h（x）=0在1，3上有一解，故函数y=f（x）在区间1，3有1个零点；综上可得：当3a时时，函数y=f（x）在1，3上有2个零点；当a3或x时，函数y=f（x）在1，3上有有1个零点点评： 本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力，属于难题请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2013辽宁）（选修41几何证明选讲）如图，ab为o的直径，直线cd与o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直于ab于f，连接ae，be，证明：（1）feb=ceb；（2）ef2=adbc考点： 与圆有关的比例线段专题： 综合题分析： （1）直线cd与o相切于e，利用弦切角定理可得ceb=eab由ab为o的直径，可得aeb=90又efab，利用互余角的关系可得feb=eab，从而得证（2）利用（1）的结论及ecb=90=efb和eb公用可得cebfeb，于是cb=fb同理可得adeafe，ad=af在rtaeb中，由efab，利用射影定理可得ef2=affb等量代换即可解答： 证明：（1）直线cd与o相切于e，ceb=eabab为o的直径，aeb=90eab+eba=90efab，feb+ebf=90feb=eabceb=