广东省执信、广雅、二中、六中四校高二数学上学期期末联考试题 理 新人教A版.doc

2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数 学（理科）命题学校：广东广雅中学 命题：高二理数备组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。参考公式： （是锥体的底面积，是锥体的高）第一部分选择题（共40分）一选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1.集合为函数的值域，集合，则等于( )a b c d2.双曲线的两渐近线方程为( ) a b c d3.已知均为单位向量，且，那么向量与的夹角为( )a b c d4.下列函数既有零点，又是单调函数的是( ) a b c d5.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象, 则( )a bc d 6.三棱锥的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为，腰长为，则该三棱锥左视图的面积为( )a b c d7.为轴上异于原点的定点，过动点作轴的垂线交轴于点，动点满足，则点的轨迹为( )a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线8. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： 给出下列三个命题：若点c在线段ab上，则；在中，；在中，若，则其中错误的个数为（ ）a0 b1 c2 d3第二部分非选择题（110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。9.用系统抽样的方法从容量为的总体中抽取容量为的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为 10.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是 . (注:“”也可写成“”或“”，均表示赋值语句)11.在中，分别是角的对边，已知 ，则 12.设满足，则的取值范围是 . 13.已知等比数列是正项数列，且，其前项的和为，恒成立，则的最大值为 . 14.已知为圆上的任意一点，若到直线的距离小于的概率为，则= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）已知.（）求函数的单调递增区间；（）在中，角所对的边分别为，若，求的值16.（本题满分12分）荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的pm2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀0,50)”、第二组“良好50,100)”、第三组“轻度污染100,150)”、第四组“中度污染150,200)”和第五组“重度污染200,250”，已知第一组至第五组数据的频率之比为，第一组数据的频数是4.(i) 求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率； (ii)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率.17.（本题满分14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，其中，顶点在底面的射影落在线段上，是的中点.（）求证：平面；（）求证：平面平面；(iii)若，求三棱锥的体积.18.（本题满分14分）已知二次函数是定义在上的偶函数，且关于的不等式的解集为.（i）求的解析式；（ii）设，且当时，函数的最小值为，求实数的值.19.（本题满分14分）已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且、成等差数列. (i)求数列的通项公式；(ii)数列满足，求数列的通项公式；(iii)在满足(ii)的条件下，若，求数列的前项和.20.（本题满分14分）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及.（i）求椭圆的方程；（ii）求证：为定值； () 求的最小值. 2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学答案一、选择题1.a 2.a 3.b 4.d 5.c 6.a 7.d 8.c二填空题9. 10. 11. 12 13. 14三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（）3分由（）, 得， 5分即函数的单调递增区间为（） 6分（）由得， ，即， 8分根据正弦定理，由，得，故， 9分， 10分， 12分16.解：(i)设样本容量为，则，解得，2分空气质量为优秀或良好等级的频率为. 5分(ii)测试结果为优秀等级0,50)的有天，设为 6分测试结果为重度污染等级200,250的有天，设为 7分 设抽取的两份数据为，则共有如下15种情况：、， 9分两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：、 10分设“两份数据都是优秀等级”为事件a，则. 答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为 12分 17.（）证法一：取中点，连结，分别是的中点，又，且，且四边形是平行四边形， 2分 3分又， 4分平面 5分证法二：取中点，连结分别是的中点，又，平面 1分，且，四边形是平行四边形，又，平面 2分，平面4分，平面 5分（）证法一：顶点在底面的射影落在线段上，设为，则 ， 6分中，中，故 即 8分又， 9分， 10分证法二：顶点在底面的射影落在线段上，设为，则 ， 6分在平面上，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，得，由，得 8分又， 9分， 10分(iii) 解法一：，顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 11分分别是的中点，到面的距离是到面的距离的12分 14分解法二：割补法，顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 11分分别是的中点，到面的距离是到面的距离的 12分 14分解法三：，顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 11分设，则由（）知 12分 其中13分 14分18.解：（i）设，由是偶函数知的图象关于轴对称，则，即，故. 1分不等式的解集为，且是方程即的两根.由韦达定理，得，解得：. 5分. 6分（ii）由（i）知，对称轴. 7分 下面分类讨论： 当，即时，在上为减函数， ，得(舍去). 9分 当，即时，或(舍去). 11分 当，即时，在上为增函数， ，得. 13分综上所述，或为所求. 14分19.解：(i)设数列 的公比为，由， 1分得，即，所以， 3分是单调数列， 4分 5分 (ii) ，即，6分 即是以为首项，为公差的等差数列， 7分故, 即 9分(iii) 10分 11分两式相减，得12分 13分 即 14分20解：（i）由，得，即，即（1）， 1分 由椭圆过点知，（2）2分联立（1）、（2）式解得 3分 故椭圆的方程是； 4分（ii）为定值 5分法一：证明 椭圆的右焦点为，分两种情况 1当直线ab的斜率不存在时，ab:，则 cd:此时，,； 6分2当直线ab的斜率存在时，设ab : ，则 cd：又设点联立方程组消去并化简得， 所以， 7分 8分 由题知，直线的斜率为，同理可得 9分所以为定值. 10分法二：证明 椭圆的右焦点为，分两种情况 1当直线ab的斜率