高中不等式习题精选精解.pdf

1 高中不等式习题精选精解 一 求取值范围 1 已知31 11 yxyx 求yx 3的取值范围 解 2 13yxyxyx 根据已知条件 731 3 2132 11 yxyx 所以yx 3的取值范围是 7 1 2 已知cba 且0 cba 求ac 的取值范围 解 由已知条件 显然0 0 ca 2 1 0 02 acacbacacb 2 0 2 02 acaaccbacaba 综上所述ac 的取值范围是 2 1 2 3 正数yx 满足12 yx 求yx 1 1 的最小值 解 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 xyyxyxyxyxyx 223 2 23 xyyx yx 为正数 4 设实数yx 满足1 1 22 yx 当0 cyx时 求c的取值范围 解 方程1 1 22 yx表示的是以点 0 1 为圆心的圆 根据题意当直线0 cyx c为常数 与圆在第二象限相切时 c取到最小值 此时 切点的坐标 yx满足 0 cyx 其它圆上的点都满足0 cyx 因为在直线的上方 当c增大 直线向 下方平移 圆上的全部点满足0 cyx 因此 12 0 21 0 minmin cc 所以c的取值范围是 12 x y 2 5 已知函数 2 0 f xaxbx a 满足1 1 2f 2 1 5f 求 3 f 的取值范 围 解 由习已知得 52 21 baba 设 6 3 3 9 39 3 n m nm nm banbambaf 27 3 12 1 3 1 6 3 ffff 所以 3 f的取值范围是 27 12 6 已知 a b都是正数 且1ab 1 a a 1 b b 求 的最小值 解 ba 是正数 4 1 4 1 2 2 ab ba ab 5 1 11 11 11 abab ba ba ba b b a a 的最小值是 5 当且仅当2 1 ba时 7 已知集合 045 2 xxxA与 022 2 aaxxxB 若AB 求a 的取值范围 解 41 41 0 1 4 45 2 xxAxxxxx 设 22 2 aaxxy 当 B 即方程 无解 显然AB 成立 由0 得 0 2 44 2 aa 解得 1 21 a 当 B 且AB 成立 即 41 21 xxxxxx 根据图像得出 4 2 2 1 024 24 021 21 2 2 a aa aa 解得 2 7 18 1 a 综合 1 2 两式 得a的取值范围为 7 18 1 o 1 4 X1 x2 x y 3 8 若关于x的方程0124 aa xx 有实数解 求实数a的取值范围 解一 设 x t2 0 02 t x 原题转换为求方程01 2 aatt在 0上有解 共有两种情况 一种是有两个根 一种是只 有一个根 如图所示 由二次函数的图像和 性质 得方程01 2 aatt在 0上 有实数解的充要条件为 01 0 0 1 4 01 0 0 2 0 1 4 2 2 af aa af a aa 或 注 两组不等式分别对应两个图 解得222 12221 aaa即或 所以a的取值范围是 222 解二 由方程01 2 aatt得 0 1 1 2 t t t a 函数 0 1 1 2 t t t tf的值域就是a的取值范围 222 222 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 22 t t t t t t t t a 所以a的取值范围是 222 二 解不等式 1 032 2 2 xxx 解 不等式0 xgxf与 0 0 xg xf 或0 xg同解 也可以这样理解 符号 是由符号 合成的 故不等式0 xgxf可转化为 0 xgxf 或0 xgxf 解得 原不等式的解集为 13 xxx或 o y x o y x 4 2 0 32 23 2 2 xx xx 解 0 32 23 2 2 xx xx 032 0 32 23 2 22 xx xxxx 0 1 3 0 1 3 2 1 xx xxxx 用根轴法 零点分段法 画图如下 原不等式的解集为 3211 xxx或 3 0 11 2 aaxx 解 原式等价于axx 11 2 11 11 2 axx 即0 ax 注 此为关键 0 0 xa 原不等式等价于不等式组 0 1 1 22 x axx 解得 0 1 1 2 0 10 2 xxa a a xxa 时 原不等式解集为当 时 原不等式解集为当 4 0 2 2 axx 解 当0 a时 原不等式化为02 x 得2 x 当0 a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得2 2 x a 当10 a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得 a xx 2 2 或 当1 a时 原不等式化为0 2 2 x 得2 x 当1 a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得2 2 x a x或 2 1 3 1 5 综合上面各式 得原不等式的解集为 5 关于x的不等式0 bax的解集为 1 求0 2 x bax 的解集 解 由题意得 0 a 且ba 则不等式0 2 x bax 与不等式组 02 0 2 x xbax 同解 得所求解集为 21 xxx或 6 已知0 a且1a 关于x的不等式1 x a 的解集是 0 x x 解关于x的不等式 1 log 0 a x x 的解集 解 关于x的不等式1 x a 的解集是 0 x x 1a 1 0 1 1 115 log 01 2 x x a x x xx x 或 15 1 2 x 原不等式的解集是 1515 1 1 22 三 证明题 1 已知cba 求证 222222 cabcabaccbba 证一 222222 accacbbcbaabcabcabaccbba bacacbcacbbcbaababbccacbbcbaab 0 cbacacbbaabcbccbbaa 222222 cabcabaccbba 证毕 证二 222222222 bacacbcbacabcabaccbba 2222222 bcbabacbbacabbcbcba 0 cacbbacbcbbababacb 6 222222 cabcabaccbba 证毕 2 设0ab n为偶数 证明 11nn nn ba ab 11 ab 证 11nn nn ba ab 11 11 nnnn n abab abab 当0 0ab 时 0 n ab nn ab 11 nn ab 0 11 nnnn n abab ab 0 故 11nn nn ba ab 11 ab 当 a b有一个负值时 不妨设0 0ab 且0ab 即 ab n为偶数时 nn ab 11 nn ab 0 且 0 n ab 11 nnnn n abab ab 0 故 11nn nn ba ab 11 ab 综合 可知 原不等式成立 注 必须要考虑到已知条件0ab 分类讨论 否则不能直接得出 nn ab 11 nn ab 0 3 求证 22 16 4 36aa 2 29 证 设向量 4 4 6 paqa 由 pqpq 得 22 16 4 36aa pq pq 4 4 6 4 10 16 1002 29aa 注意 当p q时 即8a 48 p 6 12 q p q方向相同 取等号 当利用公式 qpqp 证明时 会得 22 16 4 36aa pq 4 4 6 4 2 1642 5pqaa 的错误结论 因为这里取等号 的条件是p q 且p q方向相反 根据题设条件 p q时 方向相同 故取不到等号 计算的结果也使不等式范围缩小了 7 4 求证 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 2 n 证一 nnnnn 1 1 1 1 11 2 2 n nnnn 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 222 原不等式成立 证毕 证二 当2 n时 原不等式为 2 1 2 2 1 1 2 显然成立 假设当n取k 1 时 原不等式成立 即 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 222 kk 成立 则 2 2 22222 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 kk kk kkkk kkkkkkkk kk1 2 1 11 2 1 1 1 1 2 222 即n取k时原不等式也成立 综上 对于任意n 2 n 原不等式成立 证毕 注意 此类证明方法称为数学归纳法 5 设 2 13f xxx 实数a满足1xa 求证 21f xf aa 证 1313 2222 axaxaaxxafxf 12 1 1 aaxaxaxax 当0 ax 1 2 2 12 aaaaxafxf 当0 ax 1 2 12 12 aaaaxafxf 当0 ax 1 2 1 2 12 aaxaaaxafxf 综合 式情况 原不等式成立 证毕 注 式的最后一步省略了对0 0 0 aaa的详细分析 正式解题时不能省 分析过程用 ba 同号 babababa ba 异号 babababa 6 已知 xyyxyxyxyx 22 0 0且 求证 3 4 1 yx 8 证 由已知得 xyyxyx 2 即 2 yxyxxy yx 及基本不等式 2 2 yx xy 代入式 得 2 2 2 yxyx yx 解得 3 4 yx 0 0 0 xyyx 由式 得0 2 yxyx 1 yx 综上得 3 4 1 yx 证毕 7 已知1 0 abccba 证明 111 2 1 1 1 1 333 cbabacacbcba 证 cb acba bc cba abc cba 11 11 1 2233 111 4 1 11 1111 4 1 1 23 acb cb