广东省各市中考数学试题分类汇编 专题10 三角形问题.doc

1 专题专题 1010 三角形问题 三角形问题 1 1 20152015 年广东梅州年广东梅州 3 3 分 分 如图 ab是 o的弦 ac是 o的切线 a为切点 bc经过圆心 若 b 20 则 c的大小等于 a 20 b 25 c 40 d 50 答案答案 d 考点考点 等腰三角形的性质 三角形内角和外角性质 切线的性质 分析分析 如答图 连接ao 20aobob 40aoc ac是 o的切线 acao 即90oac 50c 故选 d 2 2 20152015 年广东佛山年广东佛山 3 3 分 分 下列给出 5 个命题 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 六边形的内角和等于 720 相等的圆心角所对的弧相等 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是 a 2 个 b 3 个 c 4 个 d 5 个 答案答案 a 考点考点 命题和定理 正方形的判定 多边形内角和定理 圆周角定理 三角形中位线定理 菱形的性质 矩形的判定 三角形的内心性质 2 分析分析 根据相关知识对各选项进行分析 判作出断 对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形 命题不正确 根据多边形内角和公式 得六边形的内角和等于 62180720 命题正确 同圆或等圆满中 相等的圆心角所对的弧才相等 命题不正确 根据三角形中位线定理 菱形的性质和矩形的判定可知 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 矩形 命题正确 三角形的内心到三角形三边的距离相等 命题不正确 其中正确命题的个数是 2 个 故选 a 3 3 20152015 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 已知圆的半径是2 3 则该圆的内接正六边形的面积是 a 3 3 b 9 3 c 18 3 d 36 3 答案答案 c 考点考点 正多边形和圆 等边三角形的判定和性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 如答图 圆的内接正六边形可分割为六个全等的等边三角形 0 2 3 60oaoab 3 sin2 33 2 ohoaoab 11 2 3 33 3 22 oab sab oh 66 3 318 3 oab ss 正六边形 故选 c 4 4 20152015 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 已知 2 是关于x的方程 2 230 xmxm 的一个根 并且这个方程的两个根恰 好是等腰三角形abc的两条边长 则三角形abc的周长为 a 10 b 14 c 10 或 14 d 8 或 10 答案答案 b 考点考点 一元二次方程的解和解一元二次方程 确定三角形的条件 分析分析 2 是关于x的方程 2 230 xmxm 的一个根 4430mm 解得4m 3 方程为 2 8120 xx 解得 12 2 6xx 这个方程的两个根恰好是等腰三角形abc的两条边长 根据三角形三边关系 只能是 6 6 2 三角形abc的周长为 14 故选 b 5 5 20152015 年广东深圳年广东深圳 3 3 分 分 如图 已知正方形abcd的边长为 12 be ec 将正方形边cd沿de折叠到df 延长ef交ab于g 连接dg 现在有如下 4 个结论 adgfdg 2gbag gdebef 72 5 bef s 在以上 4 个结论中 正确的有 a 1 b 2 c 3 d 4 答案答案 c 考点考点 折叠问题 正方形的性质 全等 相似三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 由折叠和正方形的性质可知 0 90dfdcdadfcc 0 90dfga 又 dgdg adgfdg hl 故结论 正确 正方形abcd的边长为 12 be ec 6beecef 设agfgx 则6 12egxbgx 在rt beg 中 由勾股定理 得 222 egbebg 即 22 2 662xx 解得 4x 4 8aggfbg 2gbag 故结论 正确 6beef bef 是等腰三角形 易知gde 不是等腰三角形 gde 和bef 不相似 故结论 错误 11 6 824 22 beg sbe bg 4 672 24 105 befbeg ef ss eg 故结论 正确 综上所述 4 个结论中 正确的有 三个 故选 c 6 6 20152015 年广东年广东 3 3 分 分 如图 直线a b 1 75 2 35 则 3 的度数是 a 75 b 55 c 40 d 35 答案答案 c 考点考点 平行线的性质 三角形外角性质 分析分析 如答图 a b 1 4 1 75 4 75 根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 得 4 2 3 2 35 3 40 故选 c 7 7 20152015 年广东年广东 3 3 分 分 如图 已知正 abc的边长为 2 e f g分别是ab bc ca上的点 且 ae bf cg 设 efg的面积为y ae的长为x 则y关于x的函数图象大致是 5 a b c d 答案答案 d 考点考点 由实际问题列函数关系式 几何问题 二次函数的性质和图象 分析分析 根据题意 有ae bf cg 且正三角形abc的边长为 2 2 becfagx aeg bef cfg三个三角形全等 在 aeg中 2 aexagx 13 2 24 vaeg sae ag sinaxx 2 333 3 33323 442 vvabcaeg yssxxxx 其图象为开口向上的二次函数 故选 d 8 8 20152015 年广东汕尾年广东汕尾 4 4 分分 如图 ab是 o的弦 ac是 o的切线 a为切点 bc经过圆心 若 b 20 则 c的大小等于 a 20 b 25 c 40 d 50 答案答案 d 考点考点 等腰三角形的性质 三角形内角和外角性质 切线的性质 分析分析 如答图 连接ao 20aobob 40aoc ac是 o的切线 acao 即90oac 50c 故选 d 6 1 1 20152015 年广东梅州年广东梅州 3 3 分 分 已知 abc中 点e是ab边的中点 点f在ac边上 若以a e f为顶点 的三角形与 abc相似 则需要增加的一个条件是 写出一个即可 答案答案 f是ac的中点 答案不唯一 考点考点 开放型 三角形中位线定理 相似三角形的判定 分析分析 abc中 点e是ab边的中点 点f在ac边上 若以a e f为顶点的三角形与 abc相似 则 根据三角形中位线定理和相似三角形的判定需要增加的一个条件可以是 f是ac的中点或ef bc或 aef b或 aef c或 afe b或 afe c 等 答案不唯一 2 2 20152015 年广东佛山年广东佛山 3 3 分 分 如图 在rt abc中 ab bc b 90 ac 10 2 四边形bdef是 abc的 内接正方形 点d e f在三角形的边上 则此正方形的面积是 答案答案 25 考点考点 等腰直角三角形的判定和性质 正方形的性质 分析分析 在rt abc中 ab bc b 90 ac 10 2 ab bc 10 45a 四边形bdef是正方形 aef 是等腰直角三角形 5bfefaf 此正方形的面积 25 3 3 20152015 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 abc 中 de是bc的垂直平分线 de交ac于点e 连接be 若 be 9 bc 12 则cosc 答案答案 2 3 考点考点 线段垂直平分线的性质 锐角三角函数定义 7 分析分析 de是bc的垂直平分线 0 90bdcdbeceedc be 9 bc 12 6 9cdce 62 93 cd cosc ce 4 4 20152015 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 四边形abcd中 a 90 3 3ab ad 3 点m n分别为线段 bc ab上的动点 含端点 但点m不与点b重合 点e f分别为dm mn的中点 则ef长度的最大值为 答案答案 3 考点考点 双动点问题 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 如答图 连接dn 点e f分别为dm mn的中点 1 2 efdn 要使ef最大 只要dn最大即可 根据题意 知当点n到达点b与b重合时 dn最大 a 90 3 3ab ad 3 2 2 3 336dndb 此时 1 3 2 efdn 5 5 20152015 年广东深圳年广东深圳 3 3 分 分 如图 已知点a在反比例函数 0 k yx x 上 作rt abc 点d为斜边ac 的中点 连db并延长交y轴于点e 若bce 的面积为 8 则k 8 答案答案 16 考点考点 反比例函数的应用 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边上中线的性质 等腰三角形的性质 分析分析 由题意 1 8 2 bce sbc oe 16bc oe 点d为斜边ac的中点 bddc dbcdcbebo 又 abceob abceob bcab oboe 16kob abbc oe 6 6 20152015 年广东年广东 4 4 分 分 如图 菱形abcd的边长为 6 abc 60 则对角线ac的长是 答案答案 6 考点考点 菱形的性质 等边三角形的判定和性质 分析分析 四边形abcd是菱形 ab bc 6 abc 60 abc 为等边三角形 ac ab bc 6 7 7 20152015 年广东年广东 4 4 分 分 若两个相似三角形的周长比为 2 3 则它们的面积比是 答案答案 4 9 考点考点 相似三角形的性质 分析分析 两个相似三角形的周长比为 2 3 这两个相似三角形的相似比 2 3 又 相似三角形的面积比等于相似比的平方 这两个相似三角形的它们的面积比是 4 9 8 8 20152015 年广东年广东 4 4 分 分 如图 abc三边的中线ad be cf的公共点g 若12 abc s 则图中阴影部分 面积是 答案答案 4 9 考点考点 等底同高三角形面积的性质 转换思想和数形结合思想的应 用 分析分析 如答图 各三角形面积分别记为 abc三边的中线ad be cf的公共点g ag 2gd 2 2 12 abc s 12 12 22 123124 22 2 2 2 2 即图中阴影部分面积是 4 9 9 20152015 年广东汕尾年广东汕尾 5 5 分 分 已知 abc中 点e是ab边的中点 点f在ac边上 若以a e f为顶点 的三角形与 abc相似 则需要增加的一个条件是 写出一个即可 答案答案 f是ac的中点 答案不唯一 考点考点 开放型 三角形中位线定理 相似三角形的判定 分析分析 abc中 点e是ab边的中点 点f在ac边上 若以a e f为顶点的三角形与 abc相似 则 根据三角形中位线定理和相似三角形的判定需要增加的一个条件可以是 f是ac的中点或ef bc或 aef b或 aef c或 afe b或 afe c 等 答案不唯一 10 10 20152015 年广东汕尾年广东汕尾 5 5 分 分 如图 在 abcd中 be平分 abc bc 6 de 2 则 abcd周长等于 答案答案 20 考点考点 平行四边形的性质 平行的性质 角平分线的性质 等腰三角形的判定 分析分析 四边形abcd是平行四边形 adbcadbc aebebc bc 6 de 2 6 4adae be平分 abc 即abeebc aebabe 4abae abcd周长等于 220abbc 10 11 11 20152015 年广东珠海年广东珠海 4 4 分 分 如图 在 111 abc 中 已知 111111 745abbcac 依次连接 111 abc 的三边中点 得 222 a b c 再依次连接 222 a b c 的三边中点得 333 a b c 则 555 a b c 的周 长为 答案答案 1 考点考点 探索规律题 图形的变化类 三角形中位线定理 分析分析 a b c 222的三顶点在 abc 111的三边中点 a b c 222的周长是 abc 111周长的 1 2 a b c 333的三顶点在 a b c 222的三边中点 a b c 333的周长是 a b c 222周长的 1 2 是 abc 111周长的 2 1 2 a b c 444的三顶点在 a b c 333的三边中点 a b c 444的周长是 a b c 333周长的 1 2 是 abc 111周长的 3 1 2 a b c 555的三顶点在 a b c 444的三边中点 a b c 555的周长是 a b c 444周长的 1 2 是 abc 111周长的 4 1 2 又 abbcac 111111 745 a b c 555的周长为 abbcac 11111 4 11 7 4 51 216 1 1 20152015 年广东梅州年广东梅州 9 9 分 分 如图 已知 abc 按如下步骤作图 以a为圆心 ab长为半径画弧 以c为圆心 cb长为半径画弧 两弧相交于点d 连结bd 与ac交于点e 连结ad cd 11 1 求证 abc adc 2 若 bac 30 bca 45 ac 4 求be的长 答案答案 解 1 证明 由作法可知 abadcbcd 又 acac abcadc sssvv 2 由 1 可得 abadbacdac ae bd 即ac be 在rt abe中 bac 30 ae 3be 在rt bec中 bce 45 ec be 又ae ec ac 4 3be be 4 be 2 32 be的长为2 32 考点考点 尺规作图 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数 值 分析分析 1 由作法 根据sss即可证明abcadcvv 2 根据等腰三角形三线合一的性质 得到两直角三角形 得到ae 3be和ec be 从而根据 ae ec ac 4 列式求解 2 2 20152015 年广东梅州年广东梅州 1010 分 分 在rt abc中 a 90 ac ab 4 d e分别是边ab ac的中点 若等 腰rt ade绕点a逆时针旋转 得到等腰rt ad1e1 设旋转角为 0 180 记直线bd1与ce1的 交点为p 1 如图 1 当 90 时 线段bd1的长等于 线段ce1的长等于 直接填写结 果 2 如图 2 当 135 时 求证 bd1 ce1 且bd1 ce1 3 求点p到ab所在直线的距离的最大值 直接写出结果 12 答案答案 解 1 2 5 2 5 2 证明 当 135 时 由旋转可知 d1ab e1ac 135 又 ab ac ad1 ae1 d1ab e1ac sas bd1 ce1 且 d1ba e1ca 设直线bd1与ac交于点f 有 bfa cfp cpf fab 90 bd1 ce1 3 13 考点考点 面动旋转问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 如题图 1 当 90 时 线段bd1的长等于 2222 422 5abae 线段ce1的长 等于 2222 1 422 5acae 2 由sas证明 d1ab e1ac即可证明bd1 ce1 且bd1 ce1 3 如答图 2 当四边形 ad1pe1为正方形时 点p到ab所在 直线的距离距离最大 此时 11 222 3adpdpb 1 abdpbh 1 adab phpb 24 22 3ph 13ph 当四边形 ad1pe1为正方形时 点p到ab所在直线的距离距离的最大值为13 3 3 20152015 年广东佛山年广东佛山 6 6 分 分 如图 abc是等腰三角形 ab ac 请你用尺规作图将 abc分成两个全等的 三角形 并说明这两个三角形全等的理由 保留作图痕迹 不写作法 13 答案答案 解 如答图 过点a作adbc 于点d 则根据等腰三角形三线合一的性质 由aas可得 abdacd 考点考点 尺规作图 等腰三角形的性质 全等三角形的判定 分析分析 作 abc底边上的高 则abdacd 4 4 2012015 5 年广东佛山年广东佛山 6 6 分 分 如图 在水平底面上树立着一面墙ab 墙外有一盏路灯d 光线dc恰好通过墙 的最高点b 且与地面形成 37 角 墙在灯光下的影子为线段ac 并测得ac 5 5 米 1 求墙ab的高度 结果精确到 0 1 米 参考数据 tan37 0 75 sin37 0 60 cos37 0 80 2 如果要缩短影子ac的长度 同时不能改变墙的高度和位置 请你写出两种不同的方法 答案答案 解 1 tan ab acb ac tan5 5 tan375 5 0 754 1254 1abacacb 答 墙ab的高度为 4 1 米 2 如果要缩短影子ac的长度 同时不改变墙的高度和位置 可以将路灯的电线杆加长或将 路灯的电线杆向墙边靠近 考点考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数定义 分析分析 1 直接根据正切函数定义求解 2 要缩短影子ac的长度 就要加大仰角acb 由于不能改变墙的高度和位置 那就得将路 灯的电线杆加长或将路灯的电线杆向墙边靠近 14 5 5 20152015 年广东佛山年广东佛山 1111 分 分 如图 在abcdy中 对角线ac bd相交于点o 点e f是ad上的点 且 aeeffd 连结be bf 使它们分别与ao相交于点g h 1 求 egbg的值 2 求证 agog 3 设 aga ghbhoc 求 abc的值 答案答案 解 1 aeeffd 1 3 ae ad 四边形abcd是平行四边形 adbc aegcbg 1 3 egae bgad 即 1 3 egbg 2 证明 由 1 aegcbg 1 3 ag cg 四边形abcd是平行四边形 aooc 2cgaoag 1 23 ag aoag 即 1 2 agao agog 3 如答图 过点f作 fmac交bd于点m aeeffd 1 3 dmdf doda 1 6 dmbd 5 6 bmbd 1 2 bobd 3 5 bo bm fmac bohbmf 3 5 hobo fmbm 即 3 5 hofm fmac dfmdao 1 3 fmdf aoda 即 1 3 fmao 33 11 55 35 hofmaoao 由 2 得 1 2 agao 113 2510 ghaoaghoaoaoaoao aga ghbhoc 131532 5 3 2 2105101010 abcaoaoao 15 考点考点 平行四边形的综合题 平行四边形的性质 平行的性质 相似三角形的判定和性质 数形结合思想 的应用 分析分析 1 由平行四边形对边平行的性质可得aegcbg 从而得出结果 2 由 1 aegcbg 得到 1 3 ag cg 从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论 3 作辅助线 过点f作 fmac交bd于点m 构造两组相似三角形bohbmf 和 bohbmf 通过相似三角形对应边成比例的性质 求出agghho 与ao的关系即可求得 abc的值 6 6 20152015 年广东广州年广东广州 9 9 分 分 如图 正方形abcd中 点e f分别在ad cd上 且aedf 连接 be af 求证 beaf 答案答案 证明 四边形abcd是正方形 0 90adabdeab 又 aedf eabfda sas beaf 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 要证beaf 只要证它们是全等三角形的对应边即可 而要证eabfda 一方面 已知 aedf 另一方面 由四边形abcd是正方形可得 0 90adabdeab 从而构成全等三角 形的sas而得证 7 7 20152015 年广东广州年广东广州 1010 分 分 如图 ac是 o的直径 点b在 o上 acb 30 1 利用尺规作 abc的平分线bd 交ac于点e 交 o于点d 连接cd 保留作图痕迹 不写作法 2 在 1 所作的图形中 求abe 与cde 的面积之比 16 答案答案 解 1 作图如下 2 如答图 2 过点b作bmac 于点m 过点c作anbd 于点n 设aba ac是 o的直径 90abc acb 30 3 3 2 bcabma bd是 abc的平分线 45abdcbd 6 2 cna 3 1 2 62 2 a bm cn a 又 baecdeabedce abecde 22 11 22 abe cde sbm scn 考点考点 尺规作图 圆周角定理 解直角三角形的应用 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 相似三 角形的判定和性质 分析分析 1 按角平分线的基本作法作图即可 2 要求abe 与cde 的面积之比 考虑到两三角形相似 只要求出其相似比即可 结合已知 条件作辅助线 过点b作bmac 于点m 过点c作anbd 于点n 得到两三角形对应边上的高 bm和cn 设aba 通过解直角三角形 把bm和cn用a的代数式表示 求比 问题即可得到解决 17 8 8 20152015 年广东深圳年广东深圳 8 8 分 分 小丽为了测旗杆ab的高度 小丽眼睛距地图 1 5 米 小丽站在c点 测出旗 杆a的仰角为 30o 小丽向前走了 10 米到达点e 此时的仰角为 60o 求旗杆的高度 答案答案 解 由题意 00 30 60 10adgafgdf 0 30dafafgadg fadfda 10dfaf 3 sin105 3 2 agafafg 1 5bgcd 3 5 3 2 abagbg 考点考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 把旗杆的高度ab分成两段 agbg ag通过解直角三角形得到 bg由矩形的性质得到 9 9 20152015 年广东年广东 6 6 分 分 如图 已知锐角 abc 1 过点a作bc边的垂线mn 交bc于点d 用尺规作图法 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 条件下 若bc 5 ad 4 tan bad 3 4 求dc的长 答案答案 解 1 作图如答图所示 ad为所作 18 2 在rt abd中 ad 4 tan bad 3 4 bd ad 3 44 bd 解得bd 3 bc 5 dc ad bd 5 3 2 考点考点 尺规作图 基本作图 解直角三角形的应用 锐角三角函数定义 分析分析 1 以点a为圆心画弧交 bc 于点e f 分别以点e f为圆心 大于 1 2 ef长为半径画弧 两交于点g 连接ag 即为bc边的垂线mn 交bc于点d 2 在rt abd中 根据正切函数定义求出bd的长 从而由bc的长 根据等量减等量差相等求出 dc的长 10 10 20152015 年广东汕尾年广东汕尾 9 9 分 分 如图 已知 abc 按如下步骤作图 以a为圆心 ab长为半径画弧 以c为圆心 cb长为半径画弧 两弧相交于点d 连结bd 与ac交于点e 连结ad cd 1 求证 abc adc 2 若 bac 30 bca 45 ac 4 求be的长 19 答案答案 解 1 证明 由作法可知 abadcbcd 又 acac abcadc sssvv 2 由 1 可得 abadbacdac ae bd 即ac be 在rt abe中 bac 30 ae 3be 在rt bec中 bce 45 ec be 又ae ec ac 4 3be be 4 be 2 32 be的长为2 32 考点考点 尺规作图 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数 值 分析分析 1 由作法 根据sss即可证明abcadcvv 2 根据等腰三角形三线合一的性质 得到两直角三角形 得到ae 3be和ec be 从而根据 ae ec ac 4 列式求解 11 11 20152015 年广东汕尾年广东汕尾 1111 分 分 在rt abc中 a 90 ac ab 4 d e分别是边ab ac的中点 若 等腰rt ade绕点a逆时针旋转 得到等腰rt ad1e1 设旋转角为 0 180 记直线bd1与ce1 的交点为p 1 如图 1 当 90 时 线段bd1的长等于 线段ce1的长等于 直接填写结 果 2 如图 2 当 135 时 求证 bd1 ce1 且bd1 ce1 3 求点p到ab所在直线的距离的最大值 直接写出结果 20 答案答案 解 1 2 5 2 5 2 证明 当 135 时 由旋转可知 d1ab e1ac 135 又 ab ac ad1 ae1 d1ab e1ac sas bd1 ce1 且 d1ba e1ca 设直线bd1与ac交于点f 有 bfa cfp cpf fab 90 bd1 ce1 3 13 考点考点 面动旋转问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 如题图 1 当 90 时 线段bd1的长等于 2222 422 5abae 线段ce1的长 等于 2222 1 422 5acae 2 由sas证明 d1ab e1ac即可证明bd1 ce1 且bd1 ce1 3 如答图 2 当四边形 ad1pe1为正方形时 点p到ab所在 直线的距离距离最大 此时 11 222 3adpdpb 1 abdpbh 1 adab phpb 24 22 3ph 13ph 当四边形 ad1pe1为正方形时 点p到ab所在直线的距离距离的最大值为13 12 12 20152015 年广东珠海年广东珠海 7 7 分 分 如图 某塔观光层的最外沿点e为蹦极项目的起跳点 已知点e离塔的中轴线 ab的距离oe为 10 米 塔高ab为 123 米 ab垂直地面bc 在地面c处测得点 e 的仰角45 从c沿cb 方向前行 40 米到达d点 在d处测得塔尖a的仰角为60 求点e离地面的高度ef 结果精确到 1 米 参考数据21 4 31 7 21 答案答案 解 在rtadb 中 0 tantan60 ab db 即 123 3 db 123 41 3 3 db 41 3 10 4030 41 3cfdbfb cd 在中 45 30 41 3100efcf 答 点e离地面的高度ef为 100 米 考点考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 在rtadb 和rt