8年级勾股定理经典练习答案.doc

第一讲 勾股定理知识要点：1. 勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有abc；2. 直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数的推算公式：（1）任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。（2）如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。（3）如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。（4）如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。典型例题：一、逆向思考型例1、（1）如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） （A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF图1解：在RtEAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得同理。计算发现，即，根据勾股定理的逆定理得到AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选（B）。（2）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。 分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴 从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2) 最大的正方形的边长为13cm二、探索规律型例2、如图2，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去。（1）记正方形ABCD的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。图2解：（1）因为四边形ABCD为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理同理AE=2，因为（2）根据以上规律，第n个正方形的边长（n是自然数）三、观图解答型例3、在直线上依次摆放着七个正方形（如图3所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_。图3解：代表面积为的正方形的边长的平方，代表面积为的正方形的边长的平方，又代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故=斜放置的正方形1的面积；同理=斜放置的正方形3的面积；所以。四、折叠构造型例4、如图4，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。图4解：（1）由折叠知，EM=EA，设CD=2a所以在RtEDM中，所以解得所以所以。五、类比猜想型例5、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图5（1），根据勾股定理，则。若ABC不是直角三角形，如图5（2）和5（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。图5解：若ABC是锐角三角形，则有若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有。当ABC是锐角三角形时图6证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为x，则有根据勾股定理，得即所以因为a0，x0，所以所以当ABC是钝角三角形时图7证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。设CD为x，则有根据勾股定理，得即因为b0，x0所以2bx0所以六、用方程观点解题例6.（1） 已知：如图，ABC中，AB=3，BC=4，B=90，若将ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。由已知，可得 ，因此欲求EF，只要求AF的长。设AF=x，则FC=x，BF=4-x只要利用RtABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程，x2-(4-x)2=9（2）已知：如图8，ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC的面积。分析：为了求ABC的面积，只要求出BC边上的高AD若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决。例7、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长。 答案：3例8、（1）如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少? 答案 例9、一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。（1）这个梯子顶端离地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？答案：（1）24 （2）5-7例10、细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出 的值。答案 (1)挑战自我：1(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A13 B26 C47 D94 【答案】C2.（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）答案：CA90 B60 C45 D303（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A B25 C D【答案】B5201510CAB4（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 【答案】（2+2）米BCA305 (2009年四川省内江市)已知RtABC的周长是，斜边上的中线长是2，则SABC_【答案】8关键词：边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式6（2009年湖南）如图，等腰中，是底边上的高，若，则 cm【答案ACDB6题】4 7题CABS1S2【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：,所以，。7（2009年浙江省湖州市）如图，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 【答案】28.（2009年宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为 【答案】9题20米乙CBA甲10米？米20米8题9（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米10（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m【答案】BA6cm3cm1cm11题10题11（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm【答案】10，（或）12(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC中，若直角边AC6，BC6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。【答案】76 13勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 答案:14（山东省临沂市）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东方向上（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）北东BACDl BACDlNMOP解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得和都是等腰直角三角形，两村的距离为（km）方法二：过点作直线的平行线交的延长线于易证四边形是矩形，在中，由，可得（km）两村的距离为km（2）作图正确，痕迹清晰作法：分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；直线交于点，点即为所求（7分）15（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）【关键词】勾股定理、对称、设计方案 解:图10（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC40,又AP10,AC30 在RtABC 中，AB50 AC30