2011接高考数学专题复习之数列例题经典解析.doc

加速度教育 教师讲义31 数列的概念【知识网络】数列数列的概念定义求通项数列的表示分类等差数列等比数列特殊数列求和特殊数列定义通项公式前n项和公式性质应用【考点透视】一、考纲指要1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.二、命题落点1能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；2掌握项和与通项的重要关系：如例2，练习5.【典例精析】例1（2005湖南）已知数列满足，则=（ ）A0BCD解析：由a1=0,得a2=由此可知: 数列an是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=答案：B例2:（2005上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_.解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，答案：.例3.(2005湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C （1）求xn+1与xn的关系式； （2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （3）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以aB猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3）若b的值使得xn0，nN*由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0xn3b, nN*, 特别地，有0x13B 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.【常见误区】1第项与项数之间的对应关系搞错；2不能正确地应用前和公式来求通项公式.【基础演练】1已知数列满足，则当时，（ ）A B C D2816357492将n2个正数1，2，3，n2填入nn方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知f(3)=15，则f(4)=（ ）A32B33C34D353一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7 则第9行中的第4个数是（ ）A132 B255C259D2604如果且,则（）A2006 B2005 C2004D10035(2004江苏) 设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且，则的数值是_.6已知数列，且数列的前n项和，那么n的 值为 7设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整 点即横坐标和纵坐标均为整数的点） （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围8（2002上海）已知函数f（x）abx的图象过点A（4，）和B（5，1）（1）求函数f（x）的解析式；（2）记anlog2f（n），n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列anSn中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.9（2002上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分 配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第 1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给 每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. （1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明） （2）证明akak1（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）对常数b，当n变化时，求Pn（b）32 等差数列的通项与前n项的和【考点透视】一、考纲指要 1理解等差数列的概念;2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；2考查等差数列的前项和公式及其性质.如例3.【典例精析】例1：（2005湖南）已知数列为等差数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）证明解析：（1）设等差数列的公差为D由即d=1.所以即（2）因为，所以 例2： (2005江苏）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（1）求A与B的值；（2）证明数列an为等差数列；（3）证明不等式对任何正整数m、n都成立. 解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知解得 A=-20， B=-8。（2）由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.-,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为 an+1=Sn+1-Sn所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a2=a2-a1=5,所以数列为等差数列 （3）由（）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.要证了 只要证5amn1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因为=20m+20n-37,所以命题得证.例3：（2005上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400(1.08)n1由题意可知，有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【常见误区】1容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；2不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.【基础演练】1（2006陕西）等式sin(+)=sin2成立是、成等差数列的（ ）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件2（2005山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等 于（ ）A667 B668 C669 D6703 (2004福建)设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）A1B1C2D4( 2004重庆) 若是等差数列，首项，则使前n 项和 成立的最大自然数n是（ ）A4005B4006 C4007D40085（2003上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可 求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.6（2001上海）设数列an的通项为an2n7（nN*），则|a1|a2|a15| 7 (2004全国1) 等差数列的前n项和记为Sn. 已知 （1）求通项； （2）若Sn=242，求n. 8( 2004全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且 ，求数列的通项公式.9（2001全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550. （1）求a及k的值； （2）求.33 等比数列的通项与前n项的和【考点透视】一、考纲指要1理解等比数列的概念;2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1考查等比数列的概念、通项公式，即等比数列性质的灵活运用；如例1，例3；2考查等比数列的前项和公式及其性质.例2.【典例精析】例1：（2005山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数解析：（1）由已知，可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（）知因为所以，从而=-= 例2:(2005天津)若公比为的等比数列的首项且满足（1）求的值； （2）求数列的前项和解析:(1)由题设，当时，由题设条件可得，因此，即解得c1或(2)由()，需要分两种情况讨论，当c1时，数列是一个常数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和式两边同乘，得式减去式，得，所以(nN*)例3：(北京)设数列 记 （1）求a2，a3； （2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求解析：（1）显然（2）因为,所以所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下：因为所以是首项为,公比为的等比数列.（3）【常见误区】1不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.2要掌握以下几种情形的极限的求法.利用利用（）要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.【基础演练】1（2005江苏）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4 a5（ ）A33 B72 C84 D1892已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（）A B CD不确定3（2004全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（ ）A 81 B 120 C168 D 192 4（2004浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ）A 4 B 6 C 8 D 105（2004全国1）已知等比数列则该数列的通项= .6 (2004北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最_值（填“大”或“小”），且该值为_.7（2005浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求8(2004全国2)已知等差数列， （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和Sn.9（2005全国3）在等差数列中，公差的等差中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项34 数列的的前n项的和【考点透视】一、 考纲指要1掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、 命题落点1掌握一般数列求和的方法：化归为等差数列或等比数列、裂项相消法、错位相消法和倒项相加法.如例2，例3；2利用通项公式与前项和公式解答数列的综合题、及极限的值.如例1.【典例精析】例1：已知：.（1）当a = b时，求数列的前n项和；（2）求.解析：（1）当时，它的前项和 两边同时乘以，得 ，得： 若，则：得：若，则（2）当时，当时，设（），则：此时当时，即时，；当时，即时，例2:（2005福建）已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （1）求q的值；（2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,a10,2q2-q-1=0,q=1或q=(2)若q=1,则.当n2时,故；若q=,则,当n2时, 故对于nN+,当2n9时,Snbn；当n=10时, Sn=bn；当n11时, Snbn例3：（2005湖北）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn 解析：（1）当故an的通项公式为的等差数列.设bn的通项公式为故（2）两式相减得【常见误区】1在应用时忽视条件；2在含字母参数的等比数列求和时，应分和两种情况进行讨论.3不能正确的裂项，求倒或错位出现问题.【基础演练】1（2005重庆）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图 3-4-1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ）A4B5C6D7 图3-4-12（2001天津）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A等比数列，但不是等差数列B等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D既非等比数列又非等差数列3等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中也是 常数的是（ ）AS6BS11CS12DS134等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则Sn等于（ ）A BC2D252005湖北）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .6(2004北京) 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，且这个数列的前21项和的值为_.7（2005辽宁）已知函数设数列满足，数列满足， （1）用数学归纳法证明； （2）证明 8已知数列的前n项和为 （1）求； （2）求证数列是等比数列.9(2004全国4 ) 已知数列为等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，证明35 递推数列 【考点透视】 一、考纲指要1了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.二、命题落点1由递推关系推到通项公式；如例3.2与函数、不等式、极限等知识点结合考查函数思想、方程思想、转化思想和分类讨论思想.例1，例2.【典例精析】例1：（2005重庆）数列an满足.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式，其中无理数e=2.71828.解析：（1）当n=2时，不等式成立. 假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立. （2）由递推公式及（1）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即例2：（2005江西）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解析：（1）用数学归纳法证明：当n=1时，命题正确.假设n=k时有则 而又时命题正确.由、知，对一切nN时有 （2）下面来求数列的通项：所以，,又bn=1，所以.例3：（2005重庆）数列记 （1）求b1、b2、b3、b4的值； （2）求数列的通项公式及数列的前n项和解析：（1）（2）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列., 【常见误区】1对递推关系求通项的方法（如解迭代法、累加法、换元转化法、归纳猜想证明法等）的积累，掌握常见的几种递推模型（如）的转化方法；2递推数列解答题常常与函数、不等式、几何知识点交汇，综合知识的灵活运用往往影响数列题的解题成败.【基础演练】1已知数列满足那么的值是（ ）A B C D 2若数列an满足a15, an1(nN)，则其前10项和是（ ）A200 B150 C100 D503一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7则第9行中的第4个数是（ ）A 132 B 255 C 259 D 2604数列满足，则的整数部分（ ）A0 B1 C2 D35（2005天津）在数列中，且则_.6数列满足，且，则此数列前21项的和= .7已知正项数列an满足a1=P(0P0，都有本章单元测试一、选择题: （本题每小题5分，共60 分）1等差数列an中，.记，则S13等于（ ）A168B156C152D782是等比数列,其中是方程的两根,且, 则k的值为（ ）A B C D3数列满足0 B-34设，则的值为（ ）A9B8C7D65某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为（ ）A12 B C D6在数列中,已知,则等于（ ）A5 B4 C1 D47给出一系列碳氢化合物的分子式:,则该系列化合物的分子中含碳 元素的质量分数最大可无限接近于（ ）A95% B96% C97% D98%8已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为（ ）A1或 B1或- C1或 D1或9若方程与的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1 的等比数列,则m：n的值为（ ）A4 B2 C D10等比数列的首项为,其前11项的几何平均数为,若在这前11项中抽取一项后的集合平均数为,则抽出的是（ ）A第6项 B 第7项C 第9项 D 第11项 11已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是（ ）A1 B2C3D4 12等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于（ ）C2D2二、填空题: （本题每小题4分，共16分）13设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为_.14在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则OP1P2的面积是_ 15已知等差数列有一性质:若是等差数列.则通项为的数列也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若是等比数列,则通项为=_的数列也是等比数列16已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)1时,得所以是首项,公比为的等比数列.9. （1）设等比数列an的公比