广东省揭阳市高考数学一模试卷 理（含解析）(1).doc

广东省揭阳市2015届高考 数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a=4，5，6，8，b=3，5，7，8，则ab中元素的个数为( )a8b7c6d52已知复数z=（87i）（3i），则z在复平面内对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为( )abc2d5不等式组表示的平面区域的面积为( )a7b5c3d146设l、m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )a若ml，m，则lb若m，lm，则lc若，l，m，则lmd若m，m，l，l，则7将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为( )a48b24c20d128非空数集a如果满足：0a；若对xa，有a，则称a是“互倒集”给出以下数集：xr|x2+ax+1=0； x|x24x+10； ；y|y=其中“互倒集”的个数是( )a4b3c2d1二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9已知，若，则tan的值为_10已知函数y=logax（a0，a1）的图象经过点，则其反函数的解析式y=_11在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2a，cosa=，则b=_12某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是_（记，结果用含p的代数式表示）13已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak，f（ak）（kn*）处的切线与x轴的交点为（ak+1，0），若a1=1，则=_（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为_【几何证明选讲选做题】15如图，be、cf分别为钝角abc的两条高，已知ae=1，ab=3，cf=4，则bc边的长为_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=2sin（x+）（0，xr）的最小正周期为（1）求的值；（2）若f（）=，（0，），求cos2的值17如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（aqi）的趋势图（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图； 分组频数 频率 合计 30 1（2）当空气质量指数（aqi）小于100时，表示空气质量优良某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的数学期望（图中纵坐标1/300即，以此类推）18如图，已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab=，ab平面bcd，e、f分别是ac、ad的中点（1）求证：平面bef平面abc；（2）求四棱锥bcdfe的体积v；（3）求平面bef与平面bcd所成的锐二面角的余弦值19已知sn为数列an的前n项和，sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11（1）求a1的值；（2）求数列an的前n项和sn；（3）设数列bn满足bn=，求证：b1+b2+bn20在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，1），点b在直线l1：y=1上，点m满足，点m的轨迹为曲线c（1）求c的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p，且与直线l1：y=1相交于点q，试探究，在坐标平面内是否存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n？若存在，求出点n的坐标，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中ar，（e2.718）（1）若函数f（x）=f（x）g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数g（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：广东省揭阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a=4，5，6，8，b=3，5，7，8，则ab中元素的个数为( )a8b7c6d5考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据并集的运算计算即可解答：解：a=4，5，6，8，b=3，5，7，8，ab=3，4，5，6，7，8，故则ab中元素的个数为6个，故选：c点评：本题考查了集合的运算，属于基础题2已知复数z=（87i）（3i），则z在复平面内对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：复数z=（87i）（3i）=24i21，则z在复平面内对应的点（21，24）位于第二象限故选；b点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式 分析：不等式的基本性质，“ab”“ac2bc2”必须有c20这一条件解答：解：主要考查不等式的性质当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选b点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件4已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为( )abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，一条渐近线的斜率为，=，即b=a，则c=a即e=故选d点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题5不等式组表示的平面区域的面积为( )a7b5c3d14考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可解答：解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：，平面区域的面积是4=7，故选：a点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题6设l、m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )a若ml，m，则lb若m，lm，则lc若，l，m，则lmd若m，m，l，l，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答解答：解：对于a，若ml，m，则l可能在内，故a错误；对于b，若m，lm，则l可能在内，故b错误；对于c，若，l，得到l，结合m，得到lm；故c正确；对于d，若m，m，l，l，则与可能相交；故d错误；故选c点评：本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理7将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为( )a48b24c20d12考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：书甲与书乙必须相邻，利用捆绑法，书丙与书丁不能相邻，利用插空法，即可得出结论解答：解：由题意，不同的摆法种数为：=24故选：b点评：本题考查计数原理的应用，考查捆绑法、插空法，比较基础8非空数集a如果满足：0a；若对xa，有a，则称a是“互倒集”给出以下数集：xr|x2+ax+1=0； x|x24x+10； ；y|y=其中“互倒集”的个数是( )a4b3c2d1考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：当2a2时，为空集；即，即可判断出正误；当时，y则：反函数的关系式为：y=4x故答案为：4x点评：本题考查的知识要点：利用点的坐标求函数的关系式，反函数关系式的求法11在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2a，cosa=，则b=2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sina和sinb的值，再利用正弦定理求得b的值解答：解：abc中，由cosa=，b=2a，可得sina=，sinb=sin2a=2sinacosa=2=再由正弦定理可得=，即=，求得b=2，故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题12某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是（记，结果用含p的代数式表示）考点：相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：利用n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率计算公式能求出至少有9次命中的概率解答：解：，至少有9次命中的概率：=点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率的求法13已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak，f（ak）（kn*）处的切线与x轴的交点为（ak+1，0），若a1=1，则=3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列an是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值解答：解：由f（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列an是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以故答案为：3点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为4考点：简单曲线的极坐标方程 专题：常规题型；转化思想分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可解答：解：sin（+）=2，sin+cos=2，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：截得的弦长为：2=故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图，be、cf分别为钝角abc的两条高，已知ae=1，ab=3，cf=4，则bc边的长为考点：相似三角形的性质 专题：选作题；立体几何分析：先求出be，再利用beacfa，求出ac，可得ec，利用勾股定理求出bc解答：解：依题意，ae=1，ab=3，得，因beacfa得，所以af=2，ac=6，所以ec=7，所以故答案为：点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=2sin（x+）（0，xr）的最小正周期为（1）求的值；（2）若f（）=，（0，），求cos2的值考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）直接利用正弦型函数的周期关系式求出结论（2）利用（1）所确定的函数关系式进一步对关系式中的角进行恒等变换，利用三角函数的诱导公式求出结果解答：解：（1）函数f（x）=2sin（x+）（0，xr）的最小正周期为，由得=2；（2）由：得，=点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数周期的关系式确定函数的解析式，函数关系式中角的恒等变换的应用17如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（aqi）的趋势图（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图； 分组频数 频率 合计 30 1（2）当空气质量指数（aqi）小于100时，表示空气质量优良某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的数学期望（图中纵坐标1/300即，以此类推）考点：频率分布直方图 专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据图中数据，列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）设ai表示事件“此人于当月i日到达该市”，得出p（ai），计算p（）的值，求出的数学期望e解答：解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下； 分组频数 频率 2 合计 30 1根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）设ai表示事件“此人于当月i日到达该市”（ i=1，2，10）；则（ i=1，2，10），依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，且p（=0）=p（a5）+p（a6）=，p（=1）=p（a1）+p（a4）+p（a7）+p（a10）=，p（=2）=p（a2）+p（a3）+p（a8）+p（a9）=，所以的数学期望为点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求随机变量的数学期望的应用问题，是基础题目18如图，已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab=，ab平面bcd，e、f分别是ac、ad的中点（1）求证：平面bef平面abc；（2）求四棱锥bcdfe的体积v；（3）求平面bef与平面bcd所成的锐二面角的余弦值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：cd平面abc，再利用三角形的中位线定理可得：efcd再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）解法1：由（1）知efcd，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出vbacd即可得出解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，利用线面垂直的性质可得：fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，利用v=vfebc+vfbcd即可得出；（3）解法1：以点c为坐标原点，cb与cd所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，分别求出两个平面的法向量，求出其夹角即可；解法2：过点b作lcd，则l平面bcd，可得l为平面bef与平面bcd的交线，利用线面垂直的判定与性质可证：cbe为平面bef与平面bcd所成的锐二面角的平面角，求出即可解答：（1）证明：ab平面bcd，cd平面bcd，abcd，又bccd，abbc=b，cd平面abc，又e、f分别是ac、ad的中点，efcdef平面abc又ef平面bef，平面bef平面abc（2）解法1：由（1）知efcd，aefacd，=解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，ab平面bcd，fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，v=vfebc+vfbcd=（3）解法1：以点c为坐标原点，cb与cd所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，则c（0，0，0），设平面bef的一个法向量为，由，得，令得a=6，b=0，是平面bcd的法向量，设平面bef与平面bcd所成的锐二面角大小为，则，所求二面角的余弦值为解法2：过点b作lcd，则l平面bcd，efcd，efl，l平面bef，l为平面bef与平面bcd的交线，cd平面abc，be平面abc，becd，bel又bccd，bcl，cbe为平面bef与平面bcd所成的锐二面角的平面角，在rtabc中，be=ce，cbe=acb，即所求二面角的余弦值为点评：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的条件计算公式、建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法、二面角的定义，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题19已知sn为数列an的前n项和，sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11（1）求a1的值；（2）求数列an的前n项和sn；（3）设数列bn满足bn=，求证：b1+b2+bn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得s2=a1+a2=2a232（21），a2=11，由此能求出a1（2）当n2时，由an=snsn1，得an=nan3n（n1）（n1）an13（n1）（n2），从而得到数列an是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列an的前n项和sn（3）由=（），由此能证明b1+b2+bn解答：解：（1）sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11s2=a1+a2=2a232（21），a2=11，解得a1=5（2）当n2时，由an=snsn1，得an=nan3n（n1）（n1）an13（n1）（n2），（n1）an（n1）an1=6（n1），anan1=6，n2，nn*，数列an是首项a1=5，公差为6的等差数列，an=a1+6（n1）=6n1，（3）证明：=，=，b1+b2+bn点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用20在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，1），点b在直线l1：y=1上，点m满足，点m的轨迹为曲线c（1）求c的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p，且与直线l1：y=1相交于点q，试探究，在坐标平面内是否存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n？若存在，求出点n的坐标，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设m（x，y），由得b（x，1），又a（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线c关于y轴对称可知，若存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，则点n必在y轴上，设n（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p知，直线l2与曲线c相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=1得q点的坐标为，由于点n在以pq为直径的圆上，可得=+n2+n2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出解法2：设点p（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p知，直线l2与曲线c相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=1得q点的坐标为，可得以pq为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，则点n必为（0，1）或（0，1），进一步确定即可解答：解：（1）设m（x，y），由得b（x，1），又a（0，1），由得，即（x，2y）（x，2）=0x2=4y，曲线c的方程式为x2=4y（2）解法1：由曲线c关于y轴对称可知，若存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，则点n必在y轴上，设n（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p知，直线l2与曲线c相切，由得，直线l2的方程为，令y=1得，q点的坐标为，点n在以pq为直径的圆上，=2（1+n）=+n2+n2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，在坐标平面内存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，其坐标为（0，1）解法2：设点p（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线c有唯一公共点p知，直线l2与曲线c相切，由得，直线l2的方程为，令y=1得，q点的坐标为，以pq为直径的圆方程为：分别令x0=2和x0=2，由点p在曲线c上得y0=1，将x0，y0的值分别代入得：（y1）（y+1）+（x2）x=0（y1）（y+1）+（x+2）x=0联立解得或，在坐标平面内若存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，则点n必为（0，1）或（0，1），将（0，1）的坐标代入式得，式，左边=2（1y0）+2（y01）=0=右边，将（0，1）的坐标代入式得，式，左边=不恒等于0，在坐标平面内是存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，点n坐标为为（0，1）点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、利用导数的几何研究抛物线的切线斜率、圆的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中ar，（e2.718）（1）若函数f（x）=f（x）g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数g（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）f（x）=axlnx，（x0），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对x（0，1），（*）恒成立，由