第二章第10讲导数概念与运算.DOC

第10讲导数概念与运算1导数的概念(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)(3)函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)做一做1若f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_解析：f(x)x22，故f(1)3.答案：32导数的四则运算法则若u(x)，v(x)的导数都存在，则(1)(uv)uv，推广：(u1u2un)u1u2un；(2)(uv)uvuv；(3)()(v0)；(4)(mu)mu(其中m为常数)做一做2若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为_解析：由题意x0，且f(x)2x2.令f(x)0，则2x20，所以2x22x40，解得x2，又x0，所以x2.答案：(2，)3求下列函数的导数(1)y(1)；(2)y3xex2xe.解：(1)因为y(1)xx，所以y(x)(x)xx.(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.1必明辨的2个易错点(1)曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆练一练1曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为_解析：易知点(1，1)在曲线上，且f(x)，所以切线斜率f(1)2.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案：y2x12y的导数为_解析：y.答案：2常用的8个结论基本初等函数的导数公式：原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xa(a为实数)f(x)axa1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，a1)f(x)f(x)ln xf(x)练一练3求下列函数的导数(1)y；(2)y；(3)y.解：(1)因为yxx3，所以y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)因为y，所以y.(3)ycos xsin x，所以ysin xcos x.考点一利用定义求函数的导数用导数的定义求函数yf(x)在x1处的导数解yf(1x)f(1).所以.因为当x0时，所以f(1).方法归纳利用导数的定义求函数yf(x)在xx0处的导数的求解步骤：1.函数yx在x，xx上的平均变化率_；该函数在x1处的导数是_解析：因为y(xx)xxx.所以1.y|x10.答案：10考点二导数的运算(高频考点) 求下列函数的导数(1)yexln x；(2)yx；(3)ysin(12cos2)解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)因为yx31，所以y3x2.(3) 因为ysin(cos)sin x，所以y(sin x)(sin x)cos x.方法归纳(1)求导之前，应利用公式、定理等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量2.求下列各函数的导数：(1)y；(2)y3x2xcos x；(3)y.解：(1)因为y(cos xsin x)，所以ysin xcos x.(2)y6x(x)cos xx(cos x)6xcos xxsin x.(3)法一：y1.法二：因为yx，所以y1.考点三导数的几何意义学生用书P39已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)因为f(x)3x28x5，所以f(2)1，又f(2)2，所以曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，因为f(x0)3x8x05，所以切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，所以x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，所以经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.名师点评导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解3.已知曲线y.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为的曲线的切线方程解：(1)因为y，又P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线的斜率为kf(1)1.所以曲线在P点处的切线方程为y1(x1)，即yx2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y上，则可设过该点的切线的切点为A(a，)，则过该点的切线斜率为k1f(a).则切线方程为y(xa)将Q(1,0)代入上面方程，得0(1a)，解得a，故所求切线方程为y4x4.(3)设切点坐标为B(b，)，则切线斜率为k2，解得b，所以B(，)或B(，)，代入点斜式方程得所求切线方程为x3y20或x3y20.方法思想等价转化思想在求导中的应用求下列函数的导数(1)y ；(2)y.解(1)y2，所以y.(2)因为yx3xx3xsin xx2，所以y(x3xsin xx2)3x2xcos xx2(2x3)sin x3x2，所以y3x2.感悟提高有些函数经过转化以后会使函数式更为简洁，这样易于求导因此，我们做题应注意分析题目结构，进行恰当变形，这也是数学中的等价转化思想体现在求导过程中要熟记和、差、积、商的求导法则，特别是积、商的求导法则不要记错4.求yln的导数解：因为y4ln xln(x21)，所以y2x.5求yxsincos的导数解：yxsincosxsin x.所以yx(sin x)1cos x1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_解析：f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案：3(x2a2)2已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a_.解析：y4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky|x142a8，解得a6.答案：63已知f(x)x(2 015ln x)，f(x0)2 016，则x0_.解析：由题意可知f(x)2 015ln xx2 016ln x由f(x0)2 016，得ln x00，解得x01.答案：14若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：因为y2ax，依题意得y|x12a10，所以a.答案：5设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为_解析：由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.答案：e6已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：因为f(x)2x2f(1)，所以f(1)22f(1)，即f(1)2.所以f(x)2x4.所以f(0)4.答案：47.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.答案：xy208若以曲线yx3bx24xc(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为_解析：yx22bx4，因为y0恒成立，所以4b2160，所以2b2.答案：2,29设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_.解析：因为f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x，故f()cossin.答案：10已知函数f(x)，g(x)满足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，则函数y的图象在x5处的切线方程为_解析：由yh(x)，知yh(x)，得h(5).又h(5)，所以切线方程为y(x5)，即5x16y30.答案：5x16y3011求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)解：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.12已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)因为yx24x3(x2)211，所以当x2时，y1，y，所以斜率最小的切线过点，斜率k1，所以切线方程为xy0.(2)由(1)得k1，所以tan 1，所以.1若曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为_解析：yx2aln x的定义域为(0，)，由导数的几何意义知y2x24，则a2，当且仅当x1时等号成立，代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1,1)答案：(1,1)2已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_.解析：f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，所以f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.答案：1203设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_解析：因为yx(x1)2，设点P(x，y)(x0)，则在点P处的切线的斜率k，所以tan ，又0，)，故，)答案：，)4已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 014_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又因为f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，所以f1()f2()f2 014()503f1()f2()0.答案：05对于正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列的前n项和解：由题意，得切点坐标为(2，2n)因为yf(x)xn(1x)xnxn1，所以ynxn1(n1)xn，从而f(2)n2n1(n1)2n(1)2n，因此切线的方程为y2n(1)2n(x2)令x0，得an(1n)2n，所以2n.故数列的前n项和为2n12.6(选做题)设有抛物线C：yx