华人数学家陈省身与丘成桐比较谈.pdf

2008年3月 山西大学学报 哲学社会科学版 Mar 2008 第31卷 第2期 Journal of Shanxi University Philosophy 丘成桐 数学 中图分类号 G322 文献标识码 A 文章编号 1000 5935 2008 02 0016 04 历史上有大成就者常常是成双成对出现的 比如路德与 梅兰 歌德与席勒 马克思与恩格斯 陈省身 丘成桐这对中 国师生 是世界数学领域前后相继的两位大师 他们学贯中 西 饮誉全球 他们都在国外留学工作 后来陆续回中国内 地推动中国数学教育事业 国人由是为之振奋 看到了科技 强国的希望 因为中国本土培养出了像陈省身 丘成桐这样 的顶级数学家 一 大致近似的人生经历 从陈 丘的人生轨迹来看 二人均为早慧之童 少年即受 到严格规范的高等教育 特别是在国外的学习经历 很早就 接触到数学领域的前沿问题 由于二人的不懈努力 他们在 各自领域中都取得了骄人的成就 尤为难能可贵的是 陈 丘二人都有一颗炽热的爱国之心 并能付诸行动 为祖国培 养了一大批数学人才 做出了突出贡献 践行着他们 把中国 变成一个数学家强国 的理想信念 陈省身 1911年出生于浙江嘉兴 1926年 年仅15岁 的他就进入南开大学数学系 1931年考入清华大学研究生 院 1935年留学德国汉堡 二战期间 汉堡则是德国的数学 中心 Blaschke几何学派在十九世纪初仍是欧洲很有影响的 学派 尤其在射影几何与积分几何方面建树颇多 陈省身师 从于Blaschke 1936年毕业后到了法国 追随E Cartan 这 也对陈省身的学术道路产生了重要影响 1946年 他回到 中国 先后在 中央研究院 数学所 清华大学工作 上世纪 40年代的 中央研究院 数学所 在中国现代数学史上有十 分重要的地位 陈省身主持该所工作两年多 作出了突出贡 献 1948年 他再次接受普林斯顿高级研究所邀请 年底偕 夫人 儿女飞往美国 先后担任芝加哥大学 伯克利加州大 学教授 1960年陈省身当选美国科学院院士 成为美国科 学院院士中第一位华裔数学家 陈省身始终对祖国有着赤诚心怀 1972年9月 中美 两国关系刚一解冻 他就偕夫人 女儿访问新中国 1980 年 在陈省身的建议和组织下 首届 国际微分几何与微分方 程 会议在北京举行 他亲任美国代表团团长参加会议 1985年 出任南开数学研究所首任所长 1993年 他和丘成 桐一起向江泽民总书记建议 中国争取在20世纪末21世纪 初举办一次国际数学家大会 这一会议终于在2002年8月 20到28日在北京成功召开 陈省身被选为大会名誉主席 2004年12月 93岁的陈省身在天津逝世 可谓叶落归根 丘成桐 1949年生 比陈省身整整小了38岁 广东汕头 人 1966年 17岁的他考入香港中文大学数学系 3年修完 大学课程 破格被美国加州大学伯克利分校录取 成为陈省 身的学生 1971年秋分校毕业 听从陈省身的建议 接受美 国普林斯顿高等研究所的聘书 1972年秋 丘成桐来到美 国纽约州立大学石溪分校担任副教授 1976年 27岁的他 因证明世界数学难题卡拉比猜想而引起轰动 此后 丘成桐 连续攻克史密斯猜想 正质量猜想 闵可夫斯基问题 镜猜想 等世界数学难题 他创造性地运用分析技巧于几何问题 开 创了几何分析的新领域 由于他高超的分析技巧 故被国际 上称为是具有分析学家气质的几何学家 1979年 丘成桐 被聘为美国普林斯顿高等研究所教授 1982年 他被选为 美国艺术与科学院院士 同年 丘成桐荣获有 数学诺贝尔 奖 之称的菲尔兹奖 至今他还是华人中唯一的获奖者 丘 成桐1984年到美国加州大学圣地亚哥分校数学系担任系主 任 自1987年至今 他任美国哈佛大学数学系Williarn Casper Graustein数学讲座教授 20世纪70年代后期以来 丘成桐一直热心于中国数学 事业的发展 1995年 国家主席江泽民接见丘成桐 再次提 出希望他帮助中国培养更多的数学家 推进中国的数学研究 事业 丘成桐欣然受命 在他的主持下 1996年6月 中科 收稿日期 2007 10 20 作者简介 张 莉 1970 女 山西汾阳人 山西大学科学技术哲学研究中心科学技术史专业博士生 主要研究方向为科学 技术史 61 院晨兴数学中心在北京成立 他亲任中心主任 2002年8 月 在浙江大学创立数学科学研究中心 中心的发展势头更 为迅猛 形成南北呼应的大好局面 浙大数学中心名誉主任 陈省身 主任丘成桐 执行主任刘克峰是三代嫡传的世界顶 尖数学家 丘成桐往来于北京 杭州 香港和美国之间 主持 国际学术会议 邀请霍金等世界著名科学家来华讲学 他曾 说 我一生最大的愿望是帮助中国强大起来 1 而他在中 国的任职和演讲却不取分文报酬 连机票都是自掏腰包 二 各领风骚的研究成就 陈省身与丘成桐先后代表了华人数学家在国际上的最 高成就 他们都各自在自己的领域内具有开创性的贡献 现 仅将其有代表性的成果列举如次 一 陈省身的学术成就略论 陈省身的主要研究领域为整体微分几何 微分几何发端 于分析中的几何问题 其特点为使用分析作为工具来研究几 何体的局部性质 并寻求在局部坐标表示下不变的几何性 质 微分几何研究的主要对象是光滑的几何体 流形 由于 陈省身创造性地应用Cartan联络方法 给出了Gauss Bon2 net定理的内蕴证明 并由此进一步发展了流形上的复向量 丛的Chern类的定义 从而开创了这个领域 振兴了现代微 分几何学 陈省身研究几何综合运用了代数和分析方法 这 在他的很多工作中都有很好的例证 他曾应邀于1950 1958 1970年三次在国际数学家大会上作报告 其中两次为 一小时的大会报告 代表了他在微分几何中的领袖地位 陈 省身于1983年获得被称为终生成就奖的Wolf奖 著名数 学家A Weil评价说 后世的数学家必以陈为E 嘉当的真正 传人 成就之一 射影微分几何方面 关于射影线几何 在一 般线性复形的研究中使用二次复形则创始于陈省身 关于嵌 入问题 他证明了一个与黎曼空间情况的施莱弗利 雅内特 嘉当嵌入定理相类似的定理 关于射影联络基本 他作了 深入的研究并得出许多精心独到的定理 后来 他引进了n 维射影空间中一对曲线或曲面切触的新不变量 它们包含梅 姆克 史密斯不变量在多复变数的奇点的一些问题中有用 陈省身关于射影几何的工作从最早期开始 直到70年代末 关于该领域发表了将近10篇高水平文章 成就之二 欧氏微分几何方面 欧氏微分几何研究的一 个自然领域涉及W 超曲面 陈省身证明了凸超曲面的主 曲率的某一初等对称多项式作为曲面上的函数 唯一的决定 了该曲面 他考察了欧式空间中具有边界的超曲面 当满足 某些曲率条件时找出了其大小之上界 他与熊全治合作 用 积分公式证明 当满足某些附加条件时En中两个k维紧子 流形的保体积的微分同胚是等距变换 他和拉肖夫合作 研 究了En中单位超球面上的单位法从在高斯映射之下的象之 测度 和T 赛希尔证明 套紧性在球变换组成的李群下是不 变的 在李球几何中引进了一些微分几何的基本概念 例如 勒让德映射和迪潘子流形 他研究了E3中曲面的保持中曲 率的等距变换 和凯珀合作对En中浸入流形引进了两个整 数 零化指数及相对零化指数 并建立了它们与En中紧子流 形的维数 余维数之间的不等式 研究了等温坐标 及等温坐 标系中的度量具有相同光滑性的极少要求 成就之三 几何结构与它们的内蕴联络方面 陈省身早 期的工作主要是研究各种不同的等价问题 上世纪法国大 数学家嘉当开创了用联络语言解决等价问题的方法 作为 他的得意弟子 陈省身头20年的研究工作中有许多篇关于 等价问题的好文章 而且对等价问题给了详尽的解释 他引 进了联络方法的现代语言 重新陈述了等价问题 并给出了 进一步的认识 他还解决了许多具体的等价问题 成就之四 积分几何方面 在1935 1939年间 德国汉 堡大学数学系教授Blaschke和他的学派在 积分几何 的总 标题下开始发表了一系列的论文 陈省身在1934年留学汉 堡时最早就是师从于Blaschke 并在他的学派下做出很多积 分几何的重要结果 陈省身注意到沿用克罗夫顿的传统的 积分几何是处理具有相同群的两个齐次空间 用关联的概 念 在一般情况下陈省身建立了克罗夫顿公式 陈省身的工 作还涉及庞加勒的运动学密度 曾与严志达合写了关于En 里的运动学公式 H 外尔在关于罐体积的公式中引进了关 于En中的嵌入子流形的不变量 陈省身在这方面做了积极 推广 成就之五 高斯博内定理的内蕴证明与示性类方面 陈 省身于1943年解决了关于高斯 博内定理的内蕴证明 他 在文章中运用嘉当联络理论 构造出后来称之为流形上的陈 类 陈省身示性类 的一系列体积形式 并证明了它们是拓 扑的一般的不变量 陈省身以关于高斯 博内定理的内蕴 证明为出发点 导致一般纤维丛上示性类研究 陈类与以往 的一些重要而深刻的拓扑不变量 如欧勒类 庞德里亚金类 斯蒂夫 惠特尼类同样重要 在一些方面更为广泛 应用前 景更多 陈类是流形上偶维的不变量 属于流形的上同调 类 陈类的积分值给出了陈数 它是一个整数 同样刻画了 流形的拓扑性质 陈类揭示了纤维丛的重要特性 陈示性 类的发现不仅为整体微分几何的形成铺平了道路 其影响也 遍及整个数学 成就之六 全纯映射方面 经典的值分布理论的几何基 础由两个定理组成 即第一和第二主定理 它们等价于把高 斯 博内定理分别应用于P1的霍普夫丛何典范丛 从这里 出发再应用微积分型不等式推导出了奈望林纳亏量关系 陈省身通过对非紧黎曼曲面和紧黎曼曲面的研究 使得这样 的过程更清晰了 陈省身与博特合作再将值分布问题化为全 纯向量丛的零点分布问题 他证明了作为提及递减性质的高 维施瓦尔兹引理等等 成就之七 极小子流形方面 伯恩斯坦定理是一个被奥 斯曼推广 陈省身与奥斯曼合作的文章中建立了更加精细的 稠密性定理 关于球面Sn上的极小曲面几何学 他证明了它 们的维数为相继偶数 奥斯曼和陈省身研究了欧氏空间中极 小子流形上诱导度量的内蕴刻画问题 陈省身还研究了仿射 71 第31卷 第2期 张 莉 华人数学家陈省身与丘成桐比较谈 极小超曲面 成就之八 网几何方面 陈省身在汉堡的学位论文是这 方面的早期文章 1975 1976年间P 格里菲斯访问伯克利 时 他对作为射影几何学推广的网几何感兴趣 例如Pn中 d次代数曲线与一般平面交于d个点 由对偶性 这就给出 对偶空间Pn 3中中超平面的 d网 成就之九 外微分系统和偏微分方程方面 有一个例子 是发展方程 例如正弦 戈登方程和KdV方程 这些方程是 一个拟球曲面上的可积条件 这个问题陈省身和K 特南布 莱特在论文中作了仔细研究 陈省身和彭家贵在论文中只利 用SL 2 R 的结构方程给出一个简单的作法 R 哈密顿和 陈省身研究三维紧致定向流形与它们的切触结构及相容的 黎曼度量 二 丘成桐的学术成就略论 丘成桐被誉为数学奇才 他是陈省身培养出的美国历史 上第一批几何学博士中最有名气的一位 丘成桐的研究工 作深刻又广泛 涉及微分几何的各个方面 成果累累 他注 重分析的方法 把它们创造性地应用于几何问题 并解决了 很多著名的几何问题 因此开创了几何分析的学派 成为该 学派的领导者直到现在 正如世界著名数学家尼伦伯称赞 说 丘成桐不仅具备几何学家的直观能力 而且兼有分析家 的才能 成就之一 Calabi猜想的证明 微分几何中寻找Kahler 流形上的Einstein度量是一个颇富有成果的领域 从已有 的关于Kahler Einstein度量的结果可知 Kahler流形容许 Einstein度量的必要条件是它的第一陈类要么是正定的 要 么恒为零 要么负定 著名数学家Calabi做出猜测 上述条件 也是充分的 该问题被丘成桐首先突破 丘成桐在1977年 给出了存在性证明 并得到了唯一性结果 此结果在国际上 称为丘氏定理 该结果推论为 若紧Kahler流形上第一陈 类被某个正的 负的 或零 1 1 形式所代表 那么存在具有 正的 或负的或Ricci平坦的 Ricci曲率的Kahler度量 丘成桐还写了关于Kahler Einstein度量的综述性的文 章 文中覆盖了关于Kahler Einstein度量的存在性的很多 课题 如陈数不等式 Kahler Einstein度量的显式构造等 等 丘氏定理在代数几何中的一个应用是经典复流形CPn 上复结构的唯一性 该结果由丘成桐在1977年得到 他还 推广了经典的分裂定理到复流形中 结合丘氏定理与 Bochner技巧 他还得到了关于紧Kahler Einstein流形上一 个自然丛的消灭定理 丘成桐在复几何中有很多创建 该领 域共有他的高水平文章10篇以上 成就之二 解决了镜对称猜想 丘成桐与连文豪 刘克峰 合作连续写了4篇文章 发展了镜对称原则 进而解决了超 弦理论中的镜对称猜想 在他们合作的第一篇文章中 首先 考虑了亏格为零的情况 在文中他们证明了一个镜对称公 式 该公式通过一个生成函数计算了相交数 在第二篇文章 中 发展了当X是射影流形 TX是凸丛时的镜对称原则 紧接着他们考虑了当亏格为零 X为任意射影流形的情况 这时重点考虑了一类T流形 即Balloon流形 在该论文以 及下一篇文章中 他们发展了高亏格流形的镜对称原则 成就之三 正质量猜想的证明 丘成桐与Richard Schoen合作于1981年证明了广义相对论中的正质量猜想 证明中用了非常有趣的技巧 如几何测度理论 以及考察流 形中的极小超曲面 当他们趋向于无穷远时的特征 这个工 作的全部过程是相对论学家与微分几何学家接触与合作的 一个完美的例子 这些发展接触到极小曲面与正数量曲率 都是微分几何学者很亲切的课题 这些研究推广了闭测地 线的性质 在黎曼几何或拓扑学中已处于重要位置 丘成桐 与R Schoen还合作得出了关于正数量曲率的流形的一个定 理 这方面共有3篇高水平的文章 成就之四 凸超曲面的Minkowski问题的完整证明 经 典的Minkowski问题是寻找一个R3中的凸曲面 它的Gauss 曲率作为曲面上的每一点的外法向的非负函数满足 Minkowski恒等式 Minkowski问题有直接的高维推广 即 寻求Rn中的相应凸曲面 一般来讲这是一个PDE问题 联 系到一个高阶的完全非线性方程 解的内部正则性由丘成 桐与郑绍远及Pogorelov所建立 这是非常困难的工作 因 为需要用到高深的偏微分方程界的先验估计的技巧 此领 域有他们的至少3篇高水平的文章 成就之五 Frankel猜想的解析证明 关于Kahler流形 曲率的研究 除了截面曲率 Kahler流形有一些特有的对象 如全纯截面曲率 关于该曲率有一个很强的拓扑结果 于 1980年由肖荫堂与丘成桐合作得到 即具有正双全纯截面 曲率的紧复流形必双全纯等价于CPn 该结果相当于给 Frankel猜想一个解析证明 此领域共有他的至少5篇高水 平的文章 成就之六 推进了Smith猜想的解决 丘成桐与W Meeks合作得出了三维拓扑中的Dehn引理的解析证明 他 们找到了问题的典则解 它可以应用于三维流形上离散群 作用的分类 有助于Smith猜想的解决 成就之七 建立了紧黎曼流形的热核与特征值理论 丘 成桐关于黎曼流形上微分结构与度量诱导出Laplace算子的 研究 自然地引出了几何分析的方向 丘成桐与J P Bour2 guignon及P Li证明了一个应用体积给出的关于Kahler流 形的第一特征值的下界估计 这个结果可以应用到各种代数 流形上去 甚至可以应用到各种谱的估计中 丘成桐还与 Uhlenbeck合作解决在紧Kahler流形上稳定的全纯向量丛 与Yang Mills Hermitian度量是一一对应的猜想 并得出有 关陈类的一个不等式 三 前后相承的学术风格 陈省身与丘成桐在学术上有很多类似的观点 可以看出 其前后的相继性 其一 陈 丘都主张要有自己的问题研究 不能总是跟在别人后面 陈省身认为 年轻人要靠自己来组 织 找题目 自己来讨论 丘成桐也认为 要注意选题与个人 兴趣相结合 我们的问题可能来自导师或别的什么文章 可 81 山西大学学报 哲学社会科学版 2008年3月 是最后的思考一定要有自己的想法 其二 陈 丘都重视与 人合作 交流 陈省身强调 新的数学观念和思想光靠坐在 办公室里练技巧是不成的 必须广为涉猎 与人交谈 融会贯 通 扩大视野 丘成桐主张 自己做的结果可能可以解决人 家的问题 而个人的思维能力是有限的 也要靠人家的帮忙 其三 他们都坚持勤奋治学 陈省身认为 勤能补拙 大多数 成功的数学家不见得特别聪明 持之以恒才是最重要的 丘 成桐主张 很多基本的功夫是在作学生的时候学的 做习题 是学习基本功夫的必要过程 很多基本的想法是从计算里面 领会得来的 其四 他们都很注意从中国传统文化中汲取营 养 陈省身认为 一个中国数学家不可以没有中华文化的 涵养 2 他的数学研究深受道家 无为 观点的影响 丘成 桐的中国古典文学功底相当深厚 他熟读 史记 博览诗词 有着一般数学家难以企及的数学文采和数学境界 陈省身与丘成桐同样注意提携后进 为祖国培养数学人 才 陈省身办成了南开大学数学研究所 亲任第一任所长 丘成桐创办中科院晨兴数学中心 浙江大学数学中心 这些 数学所目前已成为了中国数学的学术中心 早在20世纪 40年代 陈省身就培养出一批拓扑学人才 如吴文俊 陈国 才 周毓麟 杨忠道 孙以丰等 还有在他手下工作过的青年 路见可 曹锡华 陈杰 陈德璜等 日后均有大成 在国内著名 大学工作 成为中国数学界的骨干力量 当然 在陈省身的 学生中 成就最大的还是丘成桐 丘成桐承其师风 培育英 才不遗余力 他培养的50位博士生大部分是中国人 其中 许多人已成为国际上知名的学者 成为中国科研院校教学和 研究的领军人物 在他的鼓励和影响下 刘克峰 李骏 张寿 武 林芳华 辛周平 鄂维南 侯一钊 应志良 刘军 舒其望 励建书 范剑青等一大批在海外的国际顶尖数学家或回国工 作 或回国讲学 给国内的数学界带来了清新的学术空气 陈省身一生漂泊海外 勤奋治学 开创了一个领域 成为 国际上一代数学大师 他为人谦和 情系故园 晚年为祖国 的数学事业奔波操劳 鞠躬尽瘁 死而后已 丘成桐作为陈 省身的学生 是其继承者和发扬者 在学术上苦心孤诣 自己 闯出一