固体物理课件3(1).doc

晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为b和10b，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=处的w(q).并定性画出色散曲线。 m b m 10b m b m _ 解：已知 (1) (2)由题意 b210b110b 代入（1）式 得 = = 当q=0时 当q=时 把 b2=10b1=10b代入（2）式 得 当q=0时 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有(q)=w0Aq2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g(w)= w0 g(w)=0 w0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d区间格波数为g ()d= 在长波极限下等频率面为球面 则 g()d= 当时 因为 q2 dq= 所以 g()=由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当时 因为Aq2 所以Aq2= 又因为 A0 q20 (因为q本身为实数) 所以 上式右边必满足 即不存在的格波则 则 g()=0 又因为 三维晶体中共要有3（S1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： g g()=0 11求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。解： (1)设一维单原子链长LNa，a为原子间距，N为原子数，在q区域内q只能取N个值，dq间距内的格波数为 f(q)dq= 色散关系为 (1) =(1-cosqa) (2) 其中 wm= 由于对应于q, w取相同的值，（色散关系的对称性，则dw区间的格波数为 g(w)dw2 (3) 由色散关系（2）可得： 2wdw=sinqa dq = 代入(3)可得： g(w)= (4) (2)在德拜模型下，色散关系为线性 wupq 代入(3)式 得； g(w)= (5) 则零点能为： E零 = (6) 又因为 得： (7) 代入（6）式 得： E零=12试用平均声子数n（证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT；当TQD时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于(。解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则w很低对满足1的格波把泰勒展开，只取到一次项1（1）1，平均声子数n（，所以而属于该格波的声子能量为当TqD时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（372） g(w)= 只有w的格波才能激发，已激发的格波数可表示为： 由上已知，此时格波平均能量为KBT则晶格热容可表示为 把（375）式 及 代入整理为： Cv12NKB 所以晶格比热正比于（ 得证13.对于金刚石、Zns、单晶硅、金属Cu、一维三原子晶格，分别写出(1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数解： 金刚石ZnsSiCu一维三原子晶格初基元胞内原子数22213初基元胞内自由度数66633格波支数66633声学波支数33331光学波支数3330214.证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T . 证：在极低温度下，可用德拜模型，q点密度为 dw区间格波数为 g(w)dw2 所以格波密度函数g(w) 只有w的格波才能被激发，已激发的格波数为； A 由第12题已证，在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发对满足1的格 波能量为KBT。则晶格热容为 即热容正比于T。15.NaCl和KCl具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K和230K。KCl在5K时的 定容热容量为3.810-2J.mol-1.K-1，试计算NaCl在5K和KCl在2K时的定容热容量。解： 设NaCl和KCl晶体所包含的初基元胞数相等，均为N，T1. 积分上限近似可取