初中数学竞赛讲座(第5讲)方程组的解法.pdf

第五讲第五讲 方程组的解法方程组的解法 二元及多元 二元以上 一次方程组的求解 主要是通过同解变形进行消元 最终转化为一元 一次方程来解决 所以 解方程组的基本思想是消元 主要的消元方法有代入消元和加减消 元两种 下面结合例题予以介绍 例例 1 1 1 1 解方程组 解解 将原方程组改写为 由方程 得 x 6 4y 代入 化简得 11y 4z 19 由 得 2y 3z 4 3 4 得 33y 8y 57 16 所以 y 1 将 y 1 代入 得 z 2 将 y 1 代入 得 x 2 所以 为原方程组的解 说明说明 本题解法中 由 消 x 时 采用了代入消元法 解 组成的方程组时 若用代入法消元 无论消 y 还是消 z 都会出现分数系数 计算较繁 而利用两个方程中 z 的系数是一正一负 且系数的绝对值较小 采用加减消元法较简单 解方程组消元时 是使用代入消元 还是使用加减消元 要根据方程的具体特点而定 灵活地采用各种方法与技巧 使解法简捷明快 例例 2 2 2 2 解方程组 解法解法 1 1 1 1 由 消 x 得 由 消元 得 解之得 将 y 2 代入 得 x 1 将 z 3 代入 得 u 4 所以 解法解法 2 2 2 2 由原方程组得 所以 x 5 2y 5 2 8 2z 11 4z 11 4 11 2u 33 8u 33 8 6 2x 15 16x 即 x 15 16x 解之得 x 1 将 x 1 代入 得 u 4 将 u 4 代入 得 z 3 将 z 3 代 入 得 y 2 所以 为原方程组的解 解法解法 3 3 3 3 得 x y z u 10 由 得 y u 6 由 2 得 4y u 4 得 y 2 以下略 说明说明 解法解法 2 2 2 2 很好地利用了本题方程组的特点 解法简捷 流畅 例例 3 3 3 3 解方程组 分析与解分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系 可以先得到下面四个二元方程 得 x u 3 得 y v 5 得 z x 7 得 u y 9 又 得 x y z u v 15 得 z 7 把 z 7 代入 得 x 0 把 x 0 代入 得 u 3 把 u 3 代入 得 y 6 把 y 6 代入 得 v 1 所以 为原方程组的解 例例 4 4 4 4 解方程组 解法解法 1 1 1 1 2 得 由 得 代入 得 为原方程组的解 为原方程组的解 说明说明 解法 1 称为整体处理法 即从整体上进行加减消元或代入消 为换元 法 也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的 整体元 从而简化方程组的求 解过程 例例 5 5 5 5 已知 分析与解分析与解 一般想法是利用方程组求出 x y z 的值之后 代入所求的代数式计算 但 本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的 因此无法求出 x y z 的确定有限解 但我 们可以利用加减消元法将原方程组变形 消去 x 得 3 消去 y 得 5 3 消去 z 得 例例 6 6 6 6 已知关于 x y 的方程组 分别求出当 a 为何值时 方程组 1 有唯一一组解 2 无解 3 有无穷多组解 分析分析 与一元一次方程一样 含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论 一般是通过消元 归结为一元一次方程 ax b 的形式进行讨论 但必须特别注意 消元时 若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时 这个式子的值不能等于 零 解解 由 得 2y 1 a ax 将 代入 得 a 2 a 1 x a 2 a 2 1 当 a 2 a 1 0 即 a 2 且 a 1 时 方程 有 因而原方程组有唯一一组解 2 当 a 2 a 1 0 且 a 2 a 2 0 时 即 a 1 时 方程 无解 因此原方程 组无解 3 当 a 2 a 1 0 且 a 2 a 2 0 时 即 a 2 时 方程 有无穷多个解 因此 原方程组有无穷多组解 例例 7 7 7 7 已知关于 x y 的二元一次方程 a 1 x a 2 y 5 2a 0 当 a 每取一个值时 就有一个方程 而这些方程有一个公共解 试求出这个公 共解 解法解法 1 1 1 1 根据题意 可分别令 a 1 a 2 代入原方程得到一个方程组 将 x 3 y 1 代入原方程得 a 1 3 a 2 1 5 2a 0 所以对任何 a 值 都是原方程的解 说明说明 取 a 1 为的是使方程中 a 1 x 0 方程无 x 项 可直接求出 y 值 取 a 2 的道理类似 解法解法 2 2 2 2 可将原方程变形为 a x y 2 x 2y 5 0 由于公共解与 a 无关 故有 例例 8 8 8 8 甲 乙两人解方程组 原方程的解 分析与解分析与解 因为甲只看错了方程 中的 a 所以甲所得到的解 4 3 b 1 2 a 5 5 4 13 解由 联立的方程组得 所以原方程组应为 练习五练习五 1 解方程组 2 若 x1 x2 x3 x4 x5满足方程组 试