小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集、与答案完整版.pdf

小学数学奥数小学数学奥数 1 6 年级培优讲座 年级培优讲座 习题集 与答案完整版习题集 与答案完整版 计数问题排列组合讲义计数问题排列组合讲义 1 IMO 是国际数学奥林匹克的缩写 把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写 现有 5 种不同颜色的笔 问共有多少钟不同的写法 分析 分析 从 5 个元素中取 3 个的排列 P 5 3 5 4 3 60 2 从数字 0 1 2 3 4 5 中任意挑选 5 个组成能被 5 除尽且各位数字互异的五位数 那么共可以组成多少个不同的五位数 分析 分析 个位数字是 0 P 5 4 120 个位数字是 5 P 5 4 P 4 3 120 24 96 扣除 0 在首位的排列 合计 120 96 216 另 此题乘法原理 加法原理结合用也是很好的方法 3 用 2 4 5 7 这 4 个不同数字可以组成 24 个互不相同的四位数 将它们从小到大排列 那么 7254 是第多少个数 分析 分析 由已知得每个数字开头的各有 24 4 6 个 从小到大排列 7 开头的从第 6 3 1 19 个开始 易知第 19 个是 7245 第 20 个 7 254 4 有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成 并且这 4 个数字的和等于 12 将所有这样的四位数从小到大依次排列 第 24 个这样的四位数是多少 分析 分析 首位是 1 剩下 3 个数的和是 11 有以下几种情况 2 3 6 11 共有 P 3 3 6 个 2 4 5 11 共有 P 3 3 6 个 首位是 2 剩下 3 个数的和是 10 有以下几种情况 1 3 6 10 共有 P 3 3 6 个 1 4 5 10 共有 P 3 3 6 个 以上正好 24 个 最大的易知是 2631 5 用 0 1 2 3 4 这 5 个数字 组成各位数字互不相同的四位数 例如 1023 2341 等 求全体这样的四位数之和 分析 分析 这样的四位数共有 P 4 1 P 4 3 96 个 1 2 3 4 在首位各有 96 4 24 次 和为 1 2 3 4 1000 24 240000 1 2 3 4 在百位各有 24 4 3 18 次 和为 1 2 3 4 100 18 18000 1 2 3 4 在十位各有 24 4 3 18 次 和为 1 2 3 4 10 18 1800 1 2 3 4 在个位各有 24 4 3 18 次 和为 1 2 3 4 1 18 180 总和为 240000 18000 1800 180 259980 6 计算机上编程序打印出前 10000 个正整数 1 2 3 10000 时 不幸打印机有毛病 每次打印数字 3 时 它都打印出 x 问其中被错误打印的共有多少个数 分析 分析 共有 10000 个数 其中不含数字 3 的有 五位数 1 个 四位数共 8 9 9 9 5832 个 三位数共 8 9 9 648 个 二位数共 8 9 72 个 一位数共 8 个 不含数字 3 的共有 1 5832 648 72 8 6561 所求为 10000 6561 3439 个 7 在 1000 到 9999 之间 千位数字与十位数字之差 大减小 为 2 并且 4 个数字各不相同的四位数有多少个 分析 分析 1 3 结构 8 7 56 3 1 同样 56 个 计 112 个 2 4 结构 8 7 56 4 2 同样 56 个 计 112 个 3 5 结构 8 7 56 5 3 同样 56 个 计 112 个 4 6 结构 8 7 56 6 4 同样 56 个 计 112 个 5 7 结构 8 7 56 7 5 同样 56 个 计 112 个 6 8 结构 8 7 56 8 6 同样 56 个 计 112 个 7 9 结构 8 7 56 9 7 同样 56 个 计 112 个 2 0 结构 8 7 56 以上共 112 7 56 840 个 8 如果从 3 本不同的语文书 4 本不同的数学书 5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读 那么共有多少种不同的选择 分析 分析 因为强调 2 本书来自不同的学科 所以共有三种情况 来自语文 数学 3 4 12 来自语文 外语 3 5 15 来自数学 外语 4 5 20 所以共有 12 15 20 47 9 某条铁路线上 包括起点和终点在内原来共有 7 个车站 现在新增了 3 个车站 铁路上两站之间往返的车票不一样 那么 这样 需要增加多少种不同的车票 分析 分析 方法一 一张车票包括起点和终点 原来有 P 7 2 42 张 相当于从 7 个元素中取 2 个的排列 现在有 P 10 2 90 所以增加 90 42 48 张不同车票 方法二 1 新站为起点 旧站为终点有 3 7 21 张 2 旧站为起点 新站为终点有 7 3 21 张 3 起点 终点均为新站有 3 2 6 张 以上共有 21 21 6 48 张 10 7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里 每个盒子至少放一个 不同的放法有多少种 分析 分析 因为 7 1 1 1 1 1 1 1 相当于从 6 个加号中取 3 个的组合 C 6 3 20 种 11 从 19 20 21 22 93 94 这 76 个数中 选取两个不同的数 使其和为偶数的选法总数是多少 分析 分析 76 个数中 奇数 38 个 偶数 38 个 偶数 偶数 偶数 C 38 2 703 种 奇数 奇数 偶数 C 38 2 703 种 以上共 有 703 703 1406 种 12 用两个 3 一个 1 一个 2 可组成若干个不同的四位数 这样的四位数一共有多少个 分析 分析 因为有两个 3 所以共有 P 4 4 2 12 个 13 有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶 恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种 分析 分析 第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴 共有 C 5 3 10 第二步对这 3 个瓶子进行错贴 共有 2 种错贴方法 所以 可能情况共有 10 2 20 种 14 有 9 张同样大小的圆形纸片 其中标有数码 1 的有 1 张 标有数码 2 的有 2 张 标有数码 3 的有 3 张 标有数码 4 的有 3 张 把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在一起 但标有相同数码的纸片不许 在一起 如果 M 处放标有数码 3 的纸片 一共有 多少种不同的放置方法 如果 M 处放标有数码 2 的纸片 一共有多少种不同的放置方法 分析 分析 如果 M 处放标有数码 3 的纸片 只有唯一结构 在剩下的 6 个位置中 3 个 4 必须隔开 共有奇 偶位 2 种放法 在剩下 的 3 个位置上 1 有 3 种放法 同时也确定了 2 的放法 由乘法原理得共有 2 3 6 种不同的放法 如果 M 处放标有数码 2 的纸片 有如下几种情况 结构一 3 个 3 和 3 个 4 共有 2 种放法 再加上 2 和 1 可以交换位置 所以共有 2 2 4 种 结构二 3 个 4 有奇 偶位 2 种选择 相应的 1 也定了 只能 着已有的 3 加上 2 和 3 可以交换 所以共有 2 2 4 种 结构三 3 个 3 有奇 偶位 2 种选择 1 有唯一选择 只能 到已有的 4 加上 2 和 4 可以交换位置 所以共有 2 2 4 种 以上共有 4 4 4 12 种不同的放法 15 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目 问 如果 4 个舞蹈节目要排在一起 有多少种不同的安排顺序 如果要求每 两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目 一共有多少种不同的安排顺序 分析 分析 4 个舞蹈节目要排在一起 好比把 4 个舞蹈 在一起看成一个节目 这样和 6 个演唱共有 7 个节目 全排列 7 加上 4 个 舞蹈本身也有全排 4 所以共有 7 4 120960 种 4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间 6 个演唱包括头尾共有 7 个空档 7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P 7 4 加上 6 个演 唱的全排 6 共有 P 7 4 6 604800 种 行程问题讲义行程问题讲义 1 甲 乙两地相距 6 千米 某人从甲地步行去乙地 前一半时间平均每分钟行 80 米 后一半时间平均每分钟行 70 米 问他走后一半路 程用了多少分钟 分析 分析 解法 全程的平均速度是每分钟 80 70 2 75 米 走完全程的时间是 6000 75 80 分钟 走前一半路程速度一定是 80 米 时间是 3000 80 37 5 分钟 后一半路程时间是 80 37 5 42 5 分钟 解法 2 设走一半路程时间是 x 分钟 则 80 x 70 x 6 1000 解方程得 x 40 分钟 因为 80 40 3200 米 大于一半路程 3000 米 所以走前一半路程速度都是 80 米 时间是 3000 80 37 5 分钟 后一半路程时间是 40 40 37 5 42 5 分钟 答 他走后一半路程用了 42 5 分钟 2 小明从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 一半下坡路 小明上学走两条路所用的时间一样多 已 知下坡的速度是平路的 1 5 倍 那么上坡的速度是平路的多少倍 分析 分析 解法 1 设路程为 180 则上坡和下坡均是 90 设走平路的速度是 2 则下坡速度是 3 走下坡用时间 90 3 30 走平路一共 用时间 180 2 90 所以走上坡时间是 90 30 60 走与上坡同样距离的平路时用时间 90 2 45 因为速度与时间成反比 所以上坡速度是 下坡速度的 45 60 0 75 倍 解法 2 因为距离和时间都相同 所以平均速度也相同 又因为上坡和下坡路各一半也相同 设距离是 1 份 时间是 1 份 则下坡时 间 0 5 1 5 1 3 上坡时间 1 1 3 2 3 上坡速度 1 2 2 3 3 4 0 75 解法 3 因为距离和时间都相同 所以 1 2 路程 上坡速度 1 2 路程 1 5 路程 1 得 上坡速度 0 75 答 上坡的速度是平路的 0 75 倍 3 一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时 回来时顺水 比去时的速度每小时多行驶 8 千米 因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米 那么甲 乙两地之间的距离是多少千米 分析 分析 解法 第二小时比第一小时多走 6 千米 说明逆水走 1 小时还差 6 2 3 千米没到乙地 顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米 说明逆水走 3 千米与顺水走 8 3 5 千米时间相同 这段时间里的路程差是 5 3 2 千米 等于 1 小时路程差的 1 4 所以顺水速度是每小时 5 4 20 千米 或者说逆水速度是 3 4 12 千米 甲 乙两地距离是 12 1 3 15 千米 解法 顺水每小时比逆水多行驶 8 千米 实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米 顺水行驶时间 6 8 3 4 小时 逆水行驶时间 2 3 4 5 4 顺水速度 逆水速度 5 4 3 4 5 3 顺水速度 8 5 5 3 20 千米 小时 两地距离 20 3 4 15 千米 答 甲 乙两地距离之间的距离是 15 千米 4 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站 全程要走 15 分钟 有一个人 从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他出发的时候 恰好有一辆电车到达乙站 在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 到达甲站时 恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙站到甲站用了多少分钟 分析 分析 骑车人一共看到 12 辆车 他出发时看到的是 15 分钟前发的车 此时第 4 辆车正从甲发出 骑车中 甲站发出第 4 到第 12 辆 车 共 9 辆 有 8 个 5 分钟的间隔 时间是 5 8 40 分钟 答 他从乙站到甲站用了 40 分钟 5 甲 乙两人在河中游泳 先后从某处出发 以同一速度向同一方向游进 现在甲位于乙的前方 乙距起点 20 米 当乙游到甲现 在的位置时 甲将游离起点 98 米 问 甲现在离起点多少米 分析 分析 甲 乙速度相同 当乙游到甲现在的位置时 甲也又游过相同距离 两人各游了 98 20 2 39 米 甲现在位置 39 20 59 米 答 甲现在离起点 59 米 6 甲 乙两辆汽车同时从东西两地相向开出 甲每小时行 56 千米 乙每小时行 48 千米 两车在离两地中点 32 千米处相遇 问 东西两地的距离是多少千米 分析 分析 解法 1 甲比乙 1 小时多走 8 千米 一共多走 32 2 64 千米 用了 64 8 8 小时 所以距离是 8 56 48 832 千米 解法 2 设东西两地距离的一半是 X 千米 则有 48 X 32 56 X 32 解得 X 416 距离是 2 416 832 千米 解法 3 甲乙速度比 56 48 7 6 相遇时 甲比乙多行 7 6 7 6 1 13 两地距离 2 32 1 13 832 千米 答 东西两地间的距离是 832 千米 7 李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20 4 千米外的冬令营报到 0 5 小时后 营地老师闻讯前往迎接 每小时比李华多 走 1 2 千米 又过了 1 5 小时 张明从学校骑车去营地报到 结果 3 人同时在途中某地相遇 问 骑车人每小时行驶多少千米 分析 分析 老师速度 4 1 2 5 2 千米 与李相遇时间是老师出发后 20 4 4 0 5 4 5 2 2 小时 相遇地点距离学校 4 0 5 2 10 千米 所以骑车人速度 10 2 0 5 2 20 千米 答 骑车人每小时行驶 20 千米 8 快车和慢车分别从甲 乙两地同时开出 相向而行 经过 5 小时相遇 已知慢车从乙地到甲地用 12 5 小时 慢车到甲地停留 0 5 小时后返回 快车到乙地停留 1 小时后返回 那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间 分析 分析 解法 快车 5 小时行过的距离是慢车 12 5 5 7 5 小时行的距离 慢车速度 快车速度 5 7 5 2 3 两车行 1 个单程用 5 小 时 如果不停 再次相遇需要 5 2 10 小时 如果两车都停 0 5 小时 则需要 10 5 小时再次相遇 快车多停 30 分钟 这段路程快车与慢 车一起走 需要 30 1 2 3 18 分钟 所以 10 5 小时 18 分钟 10 小时 48 分钟 解法 2 回程慢车比快车多开半小时 这半小时慢车走了 0 5 12 5 1 25 全程 两车合起来少开 1 25 节省时间 5 1 25 0 2 小时 所以 从第一次相遇到第二次相遇需要 5 2 1 0 2 10 8 小时 答 两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟 9 某校和某工厂之间有一条公路 该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告 往返需用 1 小时 这位劳模在下午 1 时便离厂步 行向学校走来 途中遇到接他的汽车 便立刻上车驶向学校 在下午 2 时 40 分到达 问 汽车速度是劳模步行速度的几倍 解 汽车走单程需要 60 2 30 分钟 实际走了 40 2 20 分钟的路程 说明相遇时间是 2 20 2 点 20 分相遇时 劳模走了 60 20 80 分钟 这段距离汽车要走 30 20 10 分钟 所以车速 劳模速度 80 10 8 答 汽车速度是劳模步行速度的 8 倍 10 已知甲的步行的速度是乙的 1 4 倍 甲 乙两人分别由 A B 两地同时出发 如果相向而行 0 5 小时后相遇 如果他们同向而 行 那么甲追上乙需要多少小时 分析 分析 两人相向而行 路程之和是 AB AB 速度和 0 5 同向而行 路程之差是 AB AB 速度差 追及时间 速度和 1 4 1 2 4 速 度差 1 4 1 0 4 所以 追及时间 速度和 速度差 0 5 2 4 0 4 0 5 3 小时 答 甲追上乙需要 3 小时 11 猎狗发现在离它 10 米的前方有一只奔跑着的兔子 马上紧追上去 兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步 但狗跑 2 步的时间 兔却跑 3 步 问狗追上兔时 共跑了多少米路程 分析 分析 狗跑 2 步时间里兔跑 3 步 则狗跑 6 步时间里兔跑 9 步 兔走了狗 5 步的距离 距离缩小 1 步 狗速 6 速度差 路程 10 6 60 米 答 狗追上兔时 共跑了 60 米 12 张 李两人骑车同进从甲地出发 向同一方向行进 张的速度比李的速度每小时快 4 千米 张比李早到 20 分钟通过途中乙地 当李到达乙地时 张又前进了 8 千米 那么甲 乙两地之间的距离是多少千米 分析 分析 解法 1 张速度每小时 8 20 60 24 千米 李速度每小时 24 4 20 千米 张到乙时超过李距离是 20 20 60 20 3 千米 所以甲乙距离 24 20 3 4 40 千米 解法 2 张比李每小时快 4 千米 现共多前进了 8 千米 即共骑了 8 4 2 小时 张从甲到乙用了 2 60 20 100 分钟 所以甲乙两地距 离 100 20 8 40 千米 答 甲 乙两地之间的距离是 40 千米 13 上午 8 时 8 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩托车去追他 在离家 4 千米的地方追上了他 然后爸爸立刻回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上他的时候 离家恰好是 8 千米 问这时是几时几分 分析 分析 爸爸第一次追上小明离家 4 千米 如果等 8 分钟 再追上时应该离家 8 千米 说明爸爸 8 分钟行 8 千米 爸爸一共行了 8 8 16 分钟 时间是 8 点 8 分 8 分 16 分 8 点 32 分 答 这时 8 点 32 分 14 龟兔进行 10000 米赛跑 兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍 当它们从起点一起出发后 乌龟不停地跑 兔子跑到某一地点开始 睡觉 兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米 兔子奋起直追 但乌龟到达终点时 兔子仍落后 100 米 那么兔子睡觉期间 乌龟跑了多少 米 分析 分析 兔子跑了 10000 100 9900 米 这段时间里乌龟跑了 9900 1 5 1980 米 兔子睡觉时乌龟跑了 10000 1980 8020 米 答 兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米 15 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地 大轿车的速度是小轿车速度的 0 8 倍 已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟 但在 两地中点停了 5 分钟后 才继续驶往乙地 在小轿车出发后中途没有停 直接驶往乙地 最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地 又 知大轿车是上午 10 时从甲地出发的 求小轿车追上大轿车的时间 分析 分析 解法 1 大车如果中间不停车 要比小车多费 17 5 4 16 分钟 大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数 即 1 0 8 5 4 所以大车行驶时间是 16 5 4 5 80 分钟 小车行驶时间是 80 16 64 分钟 走到中间分别用了 40 和 32 分钟 大车 10 点出发 到中间点是 10 点 40 分 离开中点是 10 点 45 分 到达终点是 11 点 25 分 小车 10 点 17 分出发 到中间点是 10 点 49 分 比大车晚 4 分 到终点是 11 点 21 分 比大车早 4 分 所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间 11 点 5 分 解法 2 大轿车的速度是小轿车速度的 0 8 倍 大轿车的用时是小轿车用时的 1 0 8 1 25 倍 大轿车比小轿车多用时 17 5 4 16 分 钟 大轿车行驶时间 16 1 25 0 25 80 分钟 小轿车行驶时间 16 0 25 64 分钟 小轿车比大轿车实际晚开 17 5 12 分钟 追 上需要 12 0 8 1 0 8 48 分钟 48 17 65 分 1 小时 5 分 所以 小轿车追上大轿车的时间是 11 时 5 分 答 小轿车追上大轿车的时间是 11 点 5 分 第二讲义第二讲义 1 某解放车队伍长 450 米 以每秒 1 5 米的速度行进 一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾 那么这需要多少时间 分析 分析 从排尾到排头用的时间是 450 3 1 5 300 秒 从排头回排尾用的时间是 450 3 1 5 100 秒 一共用了 300 100 400 秒 答 需要 400 秒 2 铁路旁的一条平行小路上 有一行人与一骑车人同进向南行进 行人速度为每小时 3 6 千米 骑车人速度为每小时 10 8 千米 这时 有一列火车从他们背后开过来 火车通过行人用 22 秒钟 通过骑车人用 26 秒钟 这列火车的车身总长是多少米 分析 分析 设火车速度是每秒 X 米 行人速度是每秒 3 6 1000 60 60 1 米 骑车人速度是每秒 1 8 1000 60 60 3 米 根据已知 条件列方程 X 1 22 X 3 26 解得 X 14 米 车长 14 1 22 286 米 分析 骑车人速度是行人速度的 10 8 3 6 3 倍 22 秒时火车通过行人 设行人这 22 秒所走的路程为 1 车尾距骑车人还有 2 倍行人 22 秒所走的路程 即距离 2 26 秒 即又过 4 秒 时 火车通过骑车人 骑车人行 4 3 22 6 11 火车行 2 6 11 28 11 火 车与骑车人的速度比为 28 11 6 11 14 3 火车速度 14 10 8 3 504 千米 小时 火车车长 50400 3600 22 3600 286 米 答 这列火车的车身总长是 286 米 3 一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒 通过 210 米长的隧道用 23 秒 已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车 车身 长为 320 米 速度每秒 17 米 求列车与华车从相遇到离开所用的时间 分析 分析 客车速度是每秒 250 210 25 23 20 米 车身长 20 23 210 250 米 客车与火车从相遇到离开的时间是 250 320 20 17 190 秒 答 客车与火车从相遇到离开的时间是 190 秒 4 铁路旁有一条小路 一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去 14 小时 10 分钟追上向北行走的一位工人 15 秒种后离开这个工人 14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生 12 秒后离开这个学生 问工人与学生将在何时相遇 分析 分析 解法 1 工人速度是每小时 30 0 11 15 3600 3 6 千米 学生速度是每小时 0 11 12 3600 30 3 千米 14 时 16 分到两人相遇需要时间 30 3 6 6 60 3 6 3 0 4 小时 24 分钟 14 时 16 分 24 分 14 时 40 分 解法 2 车速 工速 15 车长 车速 学速 12 那么 工速 学速 车速 学速 车速 工速 1 12 1 15 车长 而 14 点 10 分火车追上工人 14 点 16 分遇到学生时 工人与学生距离恰好是 车速 工速 6 6 15 车长 这样 从此时到工人学生相遇用时 6 15 车长 1 12 1 15 车长 6 15 1 12 1 15 24 分 答 工人与学生将在 14 时 40 分相遇 5 东 西两城相距 75 千米 小明从东向西走 每小时走 6 5 千米 小强从西向东走 每小时走 6 千米 小辉骑自行车从东向西 每小时骑行 15 千米 3 人同时动身 途中小辉遇见小强又折回向东骑 这样往返 直到 3 人在途中相遇为止 问 小辉共走了多少千米 分析 分析 3 人相遇时间即明与强相遇时间 为 75 6 5 6 6 小时 小辉骑了 15 6 90 千米 答 小辉共骑了 90 千米 6 设有甲 乙 两 3 人 他们步行的速度相同 骑车的速度也相同 骑车的速度是步行速度的 3 倍 现甲从 A 地去 B 地 乙 丙从 B 地去 A 地 双方同时出发 出发时 甲 乙为步行 丙骑车 途中 当甲 丙相遇时 丙将车给甲骑 自己改为步行 3 人仍按各自原 有方向继续前进 当甲 乙相遇时 甲将车给乙骑 自己重又步行 3 人仍按各自原有方向继续前进 问 3 人之中谁最先达到自己的目 的地 谁最后到达目的地 分析 分析 如图 甲与乙在 M 点相遇 甲走了 AM 同时乙也走了同样距离 BN 当甲与乙在 P 点相遇时 乙一共走了 BP 甲还要走 PB 而丙只 走了 MA 所以 3 人步行的距离 甲 AM PB 乙 BP 丙 MA 甲最远 最后到 丙最短 最先到 分析 由于每人的步行速度和骑车速度都相同 所以 要知道谁先到 谁后到 只要计算一下各人谁步行最长 谁步行最短 将 整个路程分成 4 份 甲丙最先相遇 丙骑行 3 份 步行 1 分 甲先步行了 1 份 然后骑车与乙相遇 骑行 2 3 4 3 2 份 总步行 4 3 2 5 2 份 乙步行 1 2 3 2 3 2 骑行 4 3 2 5 2 份 所以 丙最先到 甲最后到 答 丙最先到达自己的目的地 甲最后到达自己的目的地 7 有甲 乙 丙 3 人 甲每分钟走 100 米 乙每分钟走 80 米 丙每分钟走 75 米 现在甲从东村 乙 丙两人从西村同时出发相向 而行 在途中甲与乙相遇后 6 分钟后 甲又与丙相遇 那么 东 西两村之间的距离是多少米 分析 分析 甲 乙相遇时 乙比丙多走的路程 正好是甲 丙 6 分钟的路程之和 100 75 6 乙比丙每分钟多走 80 75 米 因此 甲 乙相遇时走了 100 75 6 80 75 分钟 两村的距离是 100 80 100 75 6 80 75 37800 米 答 东 西两村之间的距离是 37800 米 8 甲 乙 丙 3 人进行 200 米赛跑 当甲到达终点后 乙离终点还有 20 米 丙离终点还有 25 米 如果甲 乙 丙赛跑的速度始终 不变 那么 当乙到达终点时 丙离终点还有多少米 答案保留两位小时 分析 分析 乙跑 200 20 180 米比丙多跑 25 20 5 米 所以乙到达终点时 丙比乙少跑 200 180 5 5 5 9 5 56 米 答 当乙到达终点时 丙离终点还有 5 56 米 9 张 李 赵 3 人都从甲地到乙地 上午 6 时 张 李两人一起从甲地出发 张每小时走 5 千米 李每小时走 4 千米 赵上午 8 时 从甲地出发 傍晚 6 时 赵 张同时到过乙地 那么赵追上李的时间是几时 分析 分析 甲 乙距离是 5 12 60 千米 赵的速度是 60 10 6 千米 赵追上李时走了 4 2 6 4 4 小时 这时的时间 是 8 4 12 点 分析 赵晚走 2 小时 此时张已走出 5 2 10 千米 李走出 4 2 8 千米 从上午 8 时到下午 18 00 时 共 10 个小时 赵 张同时 到达乙地 赵每小时比张多走 10 10 1 千米 那么赵比李每小时多走 1 1 2 千米 追上需要 8 2 4 小时 即追上为 12 00 时 答 赵追上李的时间是 12 时 10 快 中 慢 3 辆车同时从同一地点出发 沿同一公路追赶前面的一个骑车人 这 3 辆车分别用 6 分钟 10 分钟 12 分钟追上骑 车人 现在知道快车每小时走 24 千米 中车每小时走 20 千米 那么 慢车每小时走多少千米 分析 分析 快车 6 分钟行 24 1000 6 60 2400 米 中车 10 分钟行 20 1000 10 60 3333 1 3 米 骑车人速度每分钟行 3333 1 3 2400 10 6 700 3 米 慢车 12 分钟行 2400 700 3 6 700 3 12 3800 米 每小时行 3800 12 60 190000 米 19 千米 分析 6 分钟快车追上骑车人时 中车与它们还相差 6 24 20 60 0 4 千米 10 分钟时 中车又开了 4 20 60 4 3 千米 追上 骑车人 说明骑车人 4 分钟骑了 4 3 0 4 14 15 千米 即骑车人速度 14 15 60 4 14 千米 小时 因为快车用 6 分钟追上骑车人 由此可知原本三辆汽车落后骑车人 6 24 14 60 1 千米 12 分钟时 骑车人离三车出发点 1 14 12 60 3 8 千米 所以 慢车速度 3 8 12 60 19 千米 小时 答 慢车每小时行 19 千米 11 客车和货车分别从甲 乙两站同进相向开出 第一次相遇在离甲站 40 千米的地方 相遇后两车仍以原速度继续前进 客车到达 乙站 货车达到甲站后均立即返回 结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇 求甲 乙两站之间的距离 分析 分析 第一次相遇一共走了全程 S 其中客车走 40 千米 第二次相遇两车一共又走了 3 个全程 2S 其中客车走 S 20 千米 所以 S 20 3 40 解得 S 100 千米 答 甲 乙两站之间的距离是 100 千米 12 甲 乙 丙是 3 个车站 乙站到甲 丙两站的距离相等 小明和小强分别从甲 丙两站同时出发 机向而行 小明过乙站 100 米后与小强相遇 然后两人又继续前进 小明走到两站立即返回 经过乙站后 300 米又追上小强 问 甲 丙两站的距离是多少米 分析 分析 第一次相遇 小明走 全程的一半 100 米 从第一次相遇点再到追上小强时离乙站 300 米 300 100 200 米 小明又走 全程 20 0 米 可知第二段距离是第一段距离的 2 倍 小强第二段也应该走第一段的 2 倍 100 300 400 米 所以第一段走 400 2 200 米 乙丙距 离 200 100 300 米 甲丙距离 2 300 600 米 答 甲 丙两站距离是 600 米 13 甲 乙两地之间有一条公路 李明从甲地出发步行去乙地 同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地 80 分钟后两人在途中相遇 张平到达甲地后马上折回乙地 在第一次相遇后又经过 20 分钟在途中追上李明 张平达到乙地后又马上折回甲地 这样一直下去 问 当李明到达乙在 张平共追上李明多少次 分析 分析 设李 20 分钟走 1 份距离 则 80 分钟走 4 份 张 20 分钟后追上李 李这时走了 4 1 份距离 张 202 分钟走 4 5 9 份 所以 速度比 李速度 张速度 1 9 李走完单程时张应该走 9 个单程 追上的次数是 9 1 2 4 次 答 当李明到达乙地时 张平共追上李明 4 次 14 甲 乙两车分别从 A B 两地出发 在 A B 之间不断往返行驶 已知甲车的速度是每小时 15 千米 乙车的速度是每小时 35 千 米 并且甲 乙两车第三次相遇 两车同时到达同一地点即称相遇 的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米 那么两地之间的距 离等于多少千米 分析 分析 甲速度 乙速度 15 35 3 7 第三次相遇时两车一共行驶 5 个 AB 其中甲行 5 3 10 1 5 10 AB 第四次相遇时两车一共行 驶 7 个 AB 其中甲行 7 3 10 2 1 10 AB 这两点的距离是 5 10 1 10 4 10AB 100 千米 所以 AB 100 10 4 250 千米 答 两地之间的距离是 250 千米 15 两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳 甲的速度是每秒游 1 米 乙的速度是每秒游 0 6 米 他们同时分别从游泳池 的两端出发 来回共游了 5 分钟 如果不计转向的时间 那么在这段时间内两人共相遇多少次 分析 分析 5 分钟两人一共游了 1 0 6 5 60 480 米 第一次迎面相遇 两人一共游了 30 米 以后两人和起来每游 2 30 60 米 就 迎面相遇一次 480 30 60 7 30 迎面相遇了 8 次 甲比乙多游了 1 0 6 5 60 120 米 甲第一次追上乙时 比乙多游 30 米 以后每 多游 2 30 60 米 就又追上追上乙一次 120 30 60 30 甲一共追上乙 2 次 两人相遇次数 8 2 10 次 分析 甲的速度是每秒游 1 米 一个来回 60 秒 1 分钟 5 分钟共游了 5 个来回 乙的速度是每秒游 0 6 米 一个来回 100 秒 5 分钟共游了 5 60 100 3 个来回 画图很容易可以看出共相遇了几次 答 在这段时间内两人共相遇 10 次 计算问题计算问题 多位数与小数讲义多位数与小数讲义 1 计算 1991 199 1 19 91 1 991 解析 解析 1991 199 1 19 91 1 991 1991 9 199 1 0 9 19 91 0 09 1 991 0 009 9 0 9 0 09 0 009 2000 200 20 2 9 999 2222 10 0 001 2212 001 2 计算 7142 85 3 7 2 7 1 7 0 7 解析 解析 7142 85 3 7 2 7 1 7 0 7 7142 85 37 27 17 7 7142 85 7 999 17 49999 95 999 17 50 05 17 850 85 3 光的速度是每秒 30 万千米 太阳离地球 1 亿 5 千万千米 问 光从太阳到地球要用几分钟 答案保留一位小数 解析 解析 150000000 300000 60 150 3 6 50 6 8 33 8 3 分 光从太阳到地球要用约 8 3 分钟 4 已知 105 5 40 2 3 0 5 1 53 53 6 26 8 0 125 187 5 那么 所代表的数是多少 解析 解析 105 5 40 2 3 0 5 1 53 53 6 26 8 0 125 105 5 20 4 6 1 53 2 26 8 26 8 0 125 105 5 18 47 4 6 0 25 105 5 18 47 0 25 4 6 0 25 105 5 73 88 1 15 因为 105 5 73 88 1 15 187 5 所以 187 5 105 5 73 88 1 15 8 12 1 15 8 12 0 812 0 406 9 338 答 9 338 5 22 5 32 24 3 2 10 在上面算式的两个方框中填入相同的数 使得等式成立 那么所填的数应是多少 解析 解析 22 5 32 24 3 2 22 5 32 24 3 2 22 5 8 3 2 22 5 2 5 因为 22 5 2 5 10 所以 2 5 22 5 10 22 5 10 2 5 5 答 所填的数应是 5 6 计算 0 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 11 0 13 0 15 0 17 0 19 0 21 0 99 解析 解析 0 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 11 0 13 0 15 0 17 0 19 0 21 0 99 0 1 0 9 5 2 0 11 0 99 45 2 2 5 24 75 27 25 7 计算 37 5 21 5 0 112 35 5 12 5 0 112 解析 解析 37 5 21 5 0 112 35 5 12 5 0 112 0 112 37 5 21 5 35 5 12 5 0 112 12 5 3 21 5 35 5 12 5 0 112 12 5 3 21 5 35 5 0 112 12 5 100 1250 0 1 0 01 0 002 125 12 5 2 5 140 8 计算 3 42 76 3 7 63 57 6 9 18 23 7 解析 解析 3 42 76 3 7 63 57 6 9 18 23 7 7 63 34 2 57 6 9 18 23 7 7 63 91 8 91 8 2 37 7 63 2 37 91 8 10 91 8 918 9 计算 32 8 91 16 4 92 1 75 656 0 2 0 2 解析 解析 32 8 91 16 4 92 1 75 656 0 2 0 2 16 4 2 91 16 4 92 16 4 40 1 75 0 2 0 2 16 4 182 92 70 0 2 0 2 16 4 20 0 2 0 2 82 100 8200 10 计算 2 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 2 3 15 5 87 7 32 3 15 5 87 解析 解析 2 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 2 3 15 5 87 7 32 3 15 5 87 2 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 2 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 2 3 15 5 87 3 15 5 87 2 3 15 5 87 3 15 5 87 7 32 2 2 3 15 5 87 3 15 5 87 2 7 32 2 2 3 15 5 87 7 32 2 14 64 11 求和式 3 33 333 33 3 10 个 3 计算结果的万位数字 解析 解析 个位 10 个 3 相加 和为 30 向十位进 3 十位 9 个 3 相加 和为 27 加上个位的进位 3 得 30 向百位进 3 百位 8 个 3 相加 和为 24 加上十位的进位 3 得 27 向千位进 2 千位 7 个 3 相加 和为 21 加上百位的进位 2 得 23 向万位进 2 万位 6 个 3 相加 和为 18 加上千位的进位 2 得 20 万位得数是 0 答 计算结果的万位数字是 0 12 计算 19 199 1999 199 9 1999 个 9 解析 解析 19 199 1999 199 9 1999 个 9 20 1 200 1 2000 1 200 0 1999 个 0 1 22 20 1999 个 2 1999 1 22 2 1996 个 2 0221 13 算式 99 9 1992 个 9 99 9 1992 个 9 199 9 1992 个 9 的计算结果的末位有多少个零 解析 解析 99 9 1992 个 9 99 9 1992 个 9 199 9 1992 个 9 99 9 1992 个 9 100 0 1 1992 个 0 199 9 1992 个 9 99 9 1992 个 9 0 1992 个 0 99 9 1992 个 9 199 9 1992 个 9 99 9 1992 个 9 0 1992 个 0 100 0 1992 个 0 100 0 3984 个 0 14 计算 33 3 10 个 3 66 6 10 个 6 解析 解析 33 3 10 个 3 66 6 10 个 6 33 3 10 个 3 3 22 2 10 个 2 99 9 10 个 9 22 2 10 个 2 100 0 10 个 0 1 22 2 10 个 2 22 2 10 个 2 00 0 10 个 0 22 2 10 个 2 22 2 9 个 2 177 9 个 7 8 15 求算式 99 9 1994 个 9 88 8 1994 个 8 66 6 1994 个 6 的计算结果的各位数字之和 解析 解析 99 9 1994 个 9 88 8 1994 个 8 66 6 1994 个 6 9 11 1 1994 个 1 8 11 1 1994 个 1 6 11 1 1994 个 1 9 8 6 11 1 1994 个 1 12 11 1 1994 个 1 10 2 11 1 1994 个 1 11 1 1995 个 1 22 2 1994 个 1 13333 3 1993 个 1 2 各位数字之和 1 1993 3 2 5982 答 计算结果的各位数字之和 5982 组合问题组合问题 构造与论证讲义构造与论证讲义 1 有一把长为 9 厘米的直尺 你能否在上面只标出 3 条刻度线 使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度 分析 分析 可以 1 标 3 条刻度线 刻上 A B C 厘米 都是大于 1 小于 9 的整数 那么 A B C 9 这 4 个数中 大减小两两之 差 至多有 6 个 9 A 9 B 9 C C A C B B A 加上这 4 个数本身 至多有 10 个不同的数 有可能得到 1 到 9 这 9 个不同的数 2 例如刻在 1 2 6 厘米处 由 1 2 6 9 这 4 个数 以及任意 2 个的差 能够得到从 1 到 9 之间的所有整数 1 2 9 6 3 6 2 4 6 1 5 6 9 2 7 9 1 8 9 3 除 1 2 6 之外 还可以标出 1 4 7 这 3 个刻度线 1 9 7 2 4 1 3 4 9 4 5 7 1 6 7 9 1 8 9 另外 与 1 2 6 对称的 标出 3 7 8 与 1 4 7 对称的 标出 2 5 8 也是可以的 2 一个三位数 如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字 那么就称它被后下个三位数 吃掉 例如 241 被 352 吃掉 123 被 123 吃掉 任何数都可以被与它相同的数吃掉 但 240 和 223 互相都不能被吃掉 现请你设计 6 个三位数 它们当 中任何一个都不能被其它 5 个数吃掉 并且它们的百位数字只允许取 1 2 3 4 问这 6 个三位数分别是多少 分析 分析 6 个三位数都不能互吃 那么其中任意两个数 都不能同时有 2 个数位相同 由于百位只取 1 2 十位只取 1 2 3 所以 只能让 3 个数百位是 1 另外 3 个数百位数是 2 百位是 1 的 3 个数 分别配上十位 1 2 3 百位是 2 的 3 个数同样 这样先保证前两 位没有完全一样的 即 11 12 13 21 22 23 11 最小 个位应取取最大的 4 它要求另外 5 个数个位均小于 4 114 12 较小 个位应取 3 它要求前两位能吃 12 的数 个位小于 3 123 13 个位取 2 就不能吃前两数 同时它要求前两位能吃 1 3 的数个位小于 2 132 21 较小 个位应取 3 才能不被 23 和 22 吃 213 22 个位取 2 即可 222 23 各位必须取 1 231 所以这 6 个数是 114 123 132 213 222 231 3 盒子里放着红 黄 绿 3 种颜色的铅笔 并且规格也有 3 种 短的 中的和长的 已知盒子的铅笔 3 种颜色和 3 种规格都齐全 问是否一定能从中选出 3 支笔 使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同 分析 分析 如果能选出 3 支笔 使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同 则这 3 支笔必须包含红 黄 绿 短 中 长这 6 个因子 即不能有重复因子出现 但是这种情况并不能保证出现 例如 盒子中有 4 种笔 红短 黄短 绿中 绿长 3 种颜色和 3 种规格都齐全 由于红和黄只出现 1 次 必须选 但是这时短已经出现 2 次 必然无法满足 3 支笔 6 个因子的要求 所以 不一定能选出 4 一个立方体的 12 条棱分别被染成白色和红色 每个面上至少要有一条边是白色的 那么最少有多少条边是白色的 分析 分析 立方体的 12 条棱位于它的 6 个面上 每条棱都是两个相邻面的公用边 因此至少有 3 条边是白色的 就能保证每个面上至少 有一条边是白色 如图就是一种 5 国际象棋的皇后可以沿横线 竖线 斜线走 为了控制一个 4 4 的棋盘至少要放几个皇后 分析 分析 2 2 棋盘 1 个皇后放在任意一格均可控制 2 2 4 格 3 3 棋盘 1 个皇后放在中心格里即可控制 3 3 9 格 4 4 棋盘 中心在