高等数学学习方法(FIC)系列讲座9曲线、曲面积分.pdf

哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学学习方法 高等数学学习方法 FIC 系列讲座 系列讲座 9 曲线 曲面积分计算方法曲线 曲面积分计算方法 卜长江卜长江 Email buchangjiang Tel 82519384 O 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 2009 5 15 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学学习方法系列讲座高等数学学习方法系列讲座 序 号课程名称 时 间 地 点 序 号课程名称 时 间 地 点 1 多元函数微分法多元函数微分法 2009 3 27 第四周 周五 第四周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 2 多元微分典型习题解析多元微分典型习题解析 2009 3 31 第五周 周二 第五周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 3 重积分计算方法探究重积分计算方法探究 2009 4 10 第六周 周五 第六周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 4 重积分典型习题解析重积分典型习题解析 2009 4 14 第七周 周二 第七周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 5 曲线与曲面积分技巧讲解曲线与曲面积分技巧讲解 2009 5 15 第十周 周五 第十周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 6 曲线与曲面积分习题精解曲线与曲面积分习题精解 2009 5 19 第十一周 周二 第十一周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 7 无穷级数知识点解析无穷级数知识点解析 2009 5 29 第十三周 周五 第十三周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 8 无穷级数典型习题解析无穷级数典型习题解析 2009 6 2 第十四周 周二 第十四周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 9 微分方程求解方法微分方程求解方法 2009 6 26 第十七周 周五 第十七周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 10 微分方程典型习题解析微分方程典型习题解析 2009 6 30 第十八周 周二 第十八周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 11 高等数学期末复习方法高等数学期末复习方法 2009 7 10 第十九周 周五 第十九周 周五 18 30 20 30 逸逸 04 12 期末重点试题解析期末重点试题解析 2009 7 14 第二十周 周二 第二十周 周二 18 30 20 30 逸逸 04 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学高等数学FIC学习方法学习方法 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究每 一类问题的解法 对每一类问题用对应的方 法处理 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究每 一类问题的解法 对每一类问题用对应的方 法处理 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 曲线积分 曲线积分 一 第一型曲线积分一 第一型曲线积分 L fds 计算方法 1 用性质化简 计算方法 1 用性质化简 L 对称性 轮换性 被积函数定义在曲线 的方程上 对称性 轮换性 被积函数定义在曲线 的方程上 2 参数方程 2 参数方程 L xx tyy tzz t t L f x y z ds 222 f x ty tz txtytzt dt 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 例 2 21 L Ixyds 其中 其中 22 1L xy 解 方法 1 解 方法 1 22 41422 L Ixyxyxy ds 由对称性 由对称性 4220 LLL xydsxdsyds 22 41 L Ixyds 22 4 LL xy dsds 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 由轮换性 由轮换性 22 LL x dsy ds 222 4 5 LL xy dsx ds 22 15 5 22 LL xy dsds 22 41 L Ixyds 57 7 22 LLL dsdsds 方法 2 方法 2 2 21 L Ixyds 2 222 0 cos2sin1 cos sin 7ttttdt 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 二 第二型曲线积分二 第二型曲线积分 L IPdxQdyRdz 计算方法 计算方法 1 用性质化简 被积函数定义在曲线 用性质化简 被积函数定义在曲线L L方程上 2 方程上 2 格林公式 只要简单 参数方程 斯托克斯公式 为平面内闭曲线 其它 参数方程 格林公式 只要简单 参数方程 斯托克斯公式 为平面内闭曲线 其它 参数方程 L L QP xyIPdxQdy L IPdxQdyRdz 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 设例 设L为顺时针方向圆周为顺时针方向圆周 22 2xy 在第一象限中 的 部 分 则 曲 线 积 分 在第一象限中 的 部 分 则 曲 线 积 分2 L xdyydx 的 值 为 的 值 为 解 解 3 QP xy 2 L xdyydx L BO OAOBOA 3 300 2 D dxdy 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 例 sincos xx L Ieyb xydxeyax dy 其中 其中 0a b 常数 常数 L为从点为从点 2 0Aa沿曲线 沿曲线 2 2yaxx 到点到点 0 0o的弧 解 的弧 解 QP ba xy sincos xx L OA Ieyb xydxeyax dy sincos xx OA eyb xydxeyax dy 2 0 a D ba dbxdx 2 2 2 2 a baa b 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 计 算 曲 线 积 分例 计 算 曲 线 积 分 22 4 L xdyydx I xy 其 中 其 中 222 1 1 LxyRR 逆时针方向 解 逆时针方向 解 0 0 PQ x y yx 在 在L所围区域内作小椭圆所围区域内作小椭圆 222 4Cxy 222 1 4 CC xdyydx xdyydx xy 22 11 22 2 D dxdy 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 利用格林公式改变积分曲线 利用格林公式改变积分曲线 222222 444 LL CC xdyydxxdyydxxdyydx I xyxyxy 22 0 4 C D xdyydx d xy 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 例 哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 已知已知L为为 4 16yx 上从上从 2 0 A 到到 2 0 B顺时针的一段 计算曲线积分 顺时针的一段 计算曲线积分 22 1 3 1 4 L ydxxdy I xy 解 解 22 22 2 3 1 4 1 0 3 1 4 PQxy x y yxxy 令 令 222 3 1 4CDxy 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2222 1 1 3 1 43 1 4 AC CD ydxxdyydxxdy I xyxy 22 1 3 1 4 DB ydxxdy xy 22 1 00 3 1 4 CD ydxxdy xy 1cos sin 23 CD xt yt 0 2 sincoscossin 2233 2 3 tdttdt I 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 汉光杯 哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛 计算曲线积分 例 汉光杯 哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛 计算曲线积分 222 L zx dxxz dyyx dz 其中 其中 222 1 0 xyz L xyz 从 从OX轴正向向负向看 轴正向向负向看 L是逆时 针方向 是逆时 针方向 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解 coscoscos IdS xyz PQR 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 1 1 cos cos cos 3 n 所以 所以 222 111 1 3 IdS xyz zxxzyx 1 21 12 20 3 yzxdS 244 2 333 xyzdSdS 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 曲面积分 一 第一型曲面积分 曲面积分 一 第一型曲面积分 fx y z ds 计算方法 1 用性质化简 计算方法 1 用性质化简 对称性 轮换性 被积函数定义在曲面的方程上 对称性 轮换性 被积函数定义在曲面的方程上 2 投影 2 投影 22 1 xy Dxy fx y z dsfx y z x yzzd 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例例 汉光杯 哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛 计 算 曲 面 积 分 汉光杯 哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛 计 算 曲 面 积 分 222 222 xyz Ids abc 其 中 其 中 22 1zxy 解 设解 设 222 1 1xyz 由对称性得 由对称性得 1 222222 222222 1 2 xyzxyz dsds abcabc 由轮换性得 由轮换性得 1 222222222 222 1 1 2 3 xyzxyzxyz Ids abc 1 222 1 1111 2 3 ds abc 222 2111 3abc 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 已知封闭曲面例 哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 已知封闭曲面 S的 方 程 为 的 方 程 为 1xyz 其 面 密 度 函 数 其 面 密 度 函 数 1 3 xzz 求曲面 求曲面S的重心 的重心 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 3 z dSz xzz dS 1 22 11 8 33 z dSz dS 2 8 1 3 3 D xyd 2 3 9 1 3 dSxzz dSxz dS 228 3 333 xyz dSdS 所以所以 3 4 z dS z dS 重心坐标为 重心坐标为 1 0 0 12 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 二 第二型曲面积分二 第二型曲面积分IPdydzQdxdzRdxdy 计算方法 1 用性质化简 被积函数定义在曲面的方程上 计算方法 1 用性质化简 被积函数定义在曲面的方程上 2 高斯公式 3 投影 2 高斯公式 3 投影 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 sgncos yz yz D PdydzP x y zy z d sgncos xz xz D QdxdzQ x y x z z d sgncos xy xy D RdxdyR x y z x y d 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 计算例 计算 222 coscoscos Ixyzds 其中 其中 为曲面为曲面 222 xyz 01 z cos cos cos 为为 外法线的方向 余弦 解 设 外法线的方向 余弦 解 设 1 为为 22 1 1zxy 的上侧 则由高斯公式得 的上侧 则由高斯公式得 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 222 coscoscos Ixyzds 222 x dydzy dzdxz dxdy 1 222 x dydzy dzdxz dxdy 1 222 x dydzy dzdxz dxdy 2 xyz dv 1 dxdy 2zdv xy xy D d 211 00 2 22 r ddrrzdz 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 2009 考研数学 1 10 分 计算 例 2009 考研数学 1 10 分 计算 3 xdydzydzdxzdxdy I r 其中 其中 222 rxyz 为为 222 224xyz 的外侧 解 的外侧 解 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 设设 1 为为 222 1xyz 的外侧 则的外侧 则 1 3 xdydzydzdxz