广东省梅州市高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

广东省梅州市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如果复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为1dz的共轭复数为1+i2（5分）己知集合a=x|x22x0，b=x|x|，则（）aab=rbab=cabdab3（5分）下列函数中，定义域是r且为增函数的是（）ay=exby=x3cy=lnxdy=|x|4（5分）己知向量=（1，1），=（3，m），（+），则m=（）a2b2c3d35（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个6（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a10b8c4d27（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=6，则输出的值s是（）a63b64c127d1288（5分）设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，|）是最小正周期为的偶函数，则（）af（x）在（0，）上单调递减bf（x）在（）上单调递减cf（x）在（0，）上单调递增df（x）在（）上单调递增9（5分）已知平面区域d：，（a，b）d，a2b0的概率是（）abcd10（5分）定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，（x）=cosx（x（，）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是（）abcd二、填空题：本大题共3小题，考生作答6小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（9-13题）11（5分）已知sinx=，x（，），则tan（x）=12（5分）如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为；方差为13（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则实数p=（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为，则直线l和曲线c的公共点有个【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤16（12分）己知a，b，c分别是abc的三个内角a、b、c所对的边，a，b，c成等差数列（1）若a=1，b=，求sin c；（2）若a，b，c成差数列，求证：abc是等边三角形17（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50己知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由：（3）己知喜爱打篮球的10位女生中，a1，a2，a3还喜欢打乒乓球，b1，b2，b3还喜欢打羽毛球，c1，c2还喜欢踢足球，现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求b1和c1不全被选中的概率（下面的临界值表供参考） p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）18（14分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：fp平面a1eb（2）求证：a1e平面bep；（3）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小19（14分）设数列an，其前n项和sn=3n2，bn为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3（1）求数列an，bn的通项；（2）若cn=，数列cn的前n项和tn，求证：120（14分）已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于a、b两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若oaob（其中o为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值21（14分）已知函数f（x）的图象在a，b上连续不断，定义：f1（x）=minf（t）|atx（xa，b），f2（x）=maxf（t）|atx（xa，b）其中，minf（x）|xd表示函数f（x）在d上的最小值，maxf（x）|xd表示函数f（x）在d上的最大值若存在最小正整数k，使得f2（x）f1（x）k（xa）对任意的xa，b成立，则称函数f（x）为a，b上的“k阶收缩函数”（1）若f（x）=cosx，x0，试写出f1（x），f2（x）的表达式；（2）已知函数f（x）=x2，x1，4，试判断f（x）是否为1，4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（3）已知b0，函数f（x）=x3+3x2是0，b上的2阶收缩函数，求b的取值范围广东省梅州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如果复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为1dz的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案解答：解：由z=，所以，z的实部为1，z的虚部为1，z的共轭复数为1+i，故选c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）己知集合a=x|x22x0，b=x|x|，则（）aab=rbab=cabdab考点：并集及其运算 专题：集合分析：分别求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出a与b的交集，并集，判断a与b的包含关系即可解答：解：由a中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即a=（，0）（2，+），由b中不等式解得：x，即b=（，），则ab=r，ab=（，0）（2，），故选：a点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键3（5分）下列函数中，定义域是r且为增函数的是（）ay=exby=x3cy=lnxdy=|x|考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论解答：解：对于选项a，y=ex为增函数，y=x为减函数，故y=ex为减函数，对于选项b，y=3x20，故y=x3为增函数，对于选项c，函数的定义域为x0，不为r，对于选项d，函数y=|x|为偶函数，在（0）上单调递减，在（0，）上单调递增，故选：b点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质4（5分）己知向量=（1，1），=（3，m），（+），则m=（）a2b2c3d3考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：=（2，1+m），（+），（1+m）2=0，解得m=3故选：d点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题5（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个考点：平面与平面平行的判定 专题：综合题分析：从直线与平面平行和垂直的判定定理，以及性质定理，对四个选项逐一判断；判断时通过反例即可解答：解：真命题有直线与平面垂直的判定定理之一；两个平面平行的判定之一；直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定是假命题，m、n可以是异面直线故选b点评：本题考查直线与平面平行与垂直，平面与平面垂直的判定，直线与直线平行的判定，是基础题6（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a10b8c4d2考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可解答：解：圆的标准方程为（x+1）2+（y1）2=2a，则圆心坐标为（1，1），半径r=，圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，圆心到直线的距离d=，解得a=4，故选：c点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键7（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=6，则输出的值s是（）a63b64c127d128考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=0，i=1，k=6，s=1+20=1；i=2，ik？，否，s=1+21=3；i=3，ik？，否，s=1+23=7；i=4，ik？，否，s=1+27=15；i=5，ik？，否，s=1+215=31；i=6，ik？，否，s=1+231=63；i=7，ik？，是，输出s=63故选：a点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题8（5分）设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，|）是最小正周期为的偶函数，则（）af（x）在（0，）上单调递减bf（x）在（）上单调递减cf（x）在（0，）上单调递增df（x）在（）上单调递增考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得，利用函数的奇偶性取得，得出函数的解析式，最后利用余弦函数的性质求得答案解答：解：f（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+），依题意知t=，=2，函数为偶函数，+=k+，=k+，kz，|，=，f（x）=sin（2x+）=cos2x，f（x）在（0，）上单调递减故选a点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质考查了学生的计算能力和细心程度9（5分）已知平面区域d：，（a，b）d，a2b0的概率是（）abcd考点：几何概型 专题：计算题分析：分别计算事件a的区域面积及平面区域 d的面积，代入几何概率的计算公式进行计算可求解答：解：由线性规划的知识可得，平面区域d即为图中的abc的区域，且a（1，1） b（1，4） c（4，1）而a2b0的平面区域即为图中的dce区域，d（） e（2，1）点评：本题考查了几何概率与面积有关的模型：计算公式，常见的类型有：与长度有关的几何概率与面积有关的几何概率与体积有关的几何概率10（5分）定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，（x）=cosx（x（，）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是（）abcd考点：函数的零点；函数的图象 专题：压轴题；新定义分析：由题设中所给的定义，方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出，的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项解答：解：由题意方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对于函数g（x）=x，由于g（x）=1，故得x=1，即=1对于函数h（x）=lnx，由于h（x）=，故得lnx=，令r（x）=lnx，可知r（1）0，r（2）0，故12对于函数（x）=cosx（），由于（x）=sinx，故得cosx=sinx，即tanx=1，故有=2综上故选a点评：本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出，的值或存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，计算能力属于基本题型二、填空题：本大题共3小题，考生作答6小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（9-13题）11（5分）已知sinx=，x（，），则tan（x）=7考点：两角和与差的正切函数 专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanx的值，再利用两角差的正切公式求得tan（x）的值解答：解：sinx=，x（，），cosx=，tanx=，tan（x）=7，故答案为：7点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切公式，属于基础题12（5分）如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85；方差为考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 专题：计算题分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差解答：解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；方差为故答案为：85；点评：茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是2015届高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数13（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则实数p=4考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先分别求出抛物线和双曲线的焦点，让二者相等即可得到答案解答：解：抛物线的焦点f为（，0），双曲线y2=1的左焦点f2（2，0），由已知得=2，p=4故答案为：4点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查双曲线的简单性质、抛物线的简单性质属基础题（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为，则直线l和曲线c的公共点有1个考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 专题：直线与圆分析：把参数方程化为普通方程，得到方程表示一条直线把曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程，表示一个圆圆心到直线的距离等于半径，可得直线和圆相切，从而得到结论解答：解：把直线l的参数方程（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为 xy+4=0，表示一条直线曲线c的极坐标方程为，即 2=4（+），即 x2+y2=4y+4x，即 （x2）2+（y2）2=8，表示以（2，2）为圆心，以r=2为半径的圆圆心到直线的距离等于 d=2=半径r，故直线和圆相切，故直线l和曲线c的公共点的个数为 1，故答案为 1点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于基础题【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用ab是圆o的直径，可得acb=90即acbd又已知bc=cd，可得abd是等腰三角形，可得d=b再利用弦切角定理可得ace=b，得到aec=acb=90，进而得到cedacb，利用相似三角形的性质即可得出解答：解：ab是圆o的直径，acb=90即acbd又bc=cd，ab=ad，d=abc，eac=bacce与o相切于点c，ace=abcaec=acb=90cedacb，又cd=bc，点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤16（12分）己知a，b，c分别是abc的三个内角a、b、c所对的边，a，b，c成等差数列（1）若a=1，b=，求sin c；（2）若a，b，c成差数列，求证：abc是等边三角形考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）利用等差数列、三角形的内角和定理可得b，利用正弦定理可得a，进而得到c；（2）利用等差数列与余弦定理即可得出解答：解：（1）由又0ab，sinc=1（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2又b2=a2+c2ac4（a2+c2ac）=a2+2ac+c2化为3（ac）2=0，abc是等边三角形点评：本题考查了等差数列、三角形的内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50己知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由：（3）己知喜爱打篮球的10位女生中，a1，a2，a3还喜欢打乒乓球，b1，b2，b3还喜欢打羽毛球，c1，c2还喜欢踢足球，现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求b1和c1不全被选中的概率（下面的临界值表供参考） p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）根据数据即可将上面的列联表补充完整；（2）求出k2，结合临界值表进行判断即可（3）利用列举法进行求解即可得到结论解答：解：（1）表格填空如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2分）（2）（4分）有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关（6分）（3）从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：（8分）基本事件的总数为18，用m表示“b1，c1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“b1，c1全被选中”这一事件，由于由（a1，b1，c1），（a2，b1，c1），（a3，b1，c1），3个基本事件组成，（10分）所以（11分）由对立事件的概率公式得（12分）点评：本题主要考查独立性检验的应用以及古典概型的概率的计算，利用列举法是解决本题的关键18（14分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：fp平面a1eb（2）求证：a1e平面bep；（3）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明fpbe，利用直线与平面平行的判定定理证明fp平面a1eb（2）不妨设正三角形abc的边长为3取be的中点d，连结df证明adf是正三角形推出a1eb为二面角a1efb的平面角证明a1ebe然后证明a1e平面bep（3）设a1e在平面a1bp内的射影为a1q，且a1q交bp于点q，说明ea1q就是a1e与平面a1bp所成的角，在rta1eq，求解即可解答：（本小题满分14分）（1）证明：cp：pb=cf：fa，fpbe（1分）be平面a1eb，（2分）fp平面a1eb，（3分）fp平面a1eb（4分）（2）证明：不妨设正三角形abc 的边长为 3在图1中，取be的中点d，连结dfae：eb=cf：fa=1：2，af=ad=2（5分）而a=60，adf是正三角形又ae=de=1，efad（6分）在图2中，a1eef，beef，a1eb为二面角a1efb的平面角（7分）由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe又be、ef平面bef，beef=e，a1e平面bef，即a1e平面bep（8分）（3）在图2中，a1e平面bep，a1ebp，设a1e在平面a1bp内的射影为a1q，且a1q交bp于点q，则可得bp平面a1eq，bpa1q则ea1q就是a1e与平面a1bp所成的角，（10分）在ebp中，be=bp=2，ebp=60，ebp是等边三角形，be=ep又a1e平面bep，a1b=a1p，q为bp的中点，且eq=（12分）又a1e=1，在rta1eq，tanea1q=，ea1q=60所以直线a1e与平面a1bp所成的角为60（14分）点评：本题考查直线与平面说出来以及二面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查折叠与展开关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力19（14分）设数列an，其前n项和sn=3n2，bn为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3（1）求数列an，bn的通项；（2）若cn=，数列cn的前n项和tn，求证：1考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得a1=3，当n2时，an=snsn1=（3n2+3（n1）2=6n+3，由此能求出an=6n+3；由已知得，由此能求出bn=2n+1（2），由此利用裂项求和法能证明1解答：（1）解：数列an，其前n项和sn=3n2，a1=3，当n2时，an=snsn1=（3n2+3（n1）2=6n+3，当n=1时，上式也成立，an=6n+3，bn为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3，解得b1=4，q=2或（舍），bn=2n+1（4分）（2）证明：（8分）tn=c1+c2+c3+cn= tn 是递增数列，（12分）（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于a、b两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若oaob（其中o为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：计算题；压轴题分析：（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件将oaob用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长的最大值解答：解（1）e=又2c=2，解得a=，则b=椭圆方程为：+=1（2）由消去y得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）=0，由=（2a2）24a2（a2+b2）（1b2）0，整理得a2+b21设a（x1，y1，），b（x2，y2），则x1+x2=y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2（x1+x2）+1oaob（其中o为坐标原点），x1x2+y1y2=0，即2x1x2（x1+x2）+1=0+1=0整理得a2+b22a2b2=0b2=a2c2=a2a2e2，代入上式得2a2=1+，a2=e，2，3，适合条件a2+b21，由此得，故长轴长的最大值为点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在21（14分）已知函数f（x）的图象在a，b上连续不断，定义：f1（x）=minf（t