对现代代数的认识.doc

对现代代数的认识高科寿通过几天的学习，我对现代代数的基本内容有了了解。现在就内容和感想两方面谈自己的认识一其主要内容包括以下几个方面：近世代数讲授群、环、域、模四种代数体系。对于这些代数体系而言，都比较抽象，不好理解。例如“群”这种代数体系，如果按照“定义例性质定理”的通常模式去学习，往往只记住一些词汇，难以掌握实质。因为那样讲定义，只说“群是一个带有运算的集合，该运算满足结合律，有幺元，任一元有逆元”，而对于为什么其中要有运算，为什么该运算要满足结合律，为什么要有幺元，为什么任一元要有逆元，大家都不清楚，只能死记。其实，“群”有丰富的实际背景。许多数学家说“对称即群”。如果我们看“群的定义”时，按照“客观世界中的对称对称变换群的定义抽象群的定义”的顺序来学习，效果很好。首先，从感性认识中的大量“对称”说起，再上升为理性认识，给出“对称的数学描述”；再就相对熟习的“平面图形的对称”，来尝试对其进行数学描述；再用运动的观点看“对称”，抓住“变中有不变”作为对称的本质，引出平面图形K的对称集S(K)，来描述K的对称性；然后引出任意客观事物N的对称集S(N)，来描述N的对称性；再仔细考察由N的对称变换构成的集合S(N)，发现它不是一个普通的集合，而是一个带有运算的集合，这个运算就是“对称变换的相继实施”，而且这一运算对S(N)有封闭性、满足结合律，S(N)中有恒等变换，S(N)中每一变换在其中又都有逆变换，S(N)已经构成了一个具体的群，称为“N的对称变换群”；最后再上升到一般的抽象群。用这种方法学习群的概念，不但使我们当堂记住了群的定义，而且对于群中运算的封闭性，对结合律，对幺元，对逆元，因其都有清晰的来源，从而学生都能有较深入的理解。特别是，由此训练了我们透过现象看本质的素养，培养了我们主动了解问题的背景、从中提炼数学思想的素养，熏陶了我们以良好的科学态度，合理地提出新概念的素养。1.集合与映射定义了集合、映射，定义了代数运算、代数同态及代数同构，定义了代数运算的运算规则（结合律、交换律、分配率）。 集合是对一组元素的定义，而映射反映了集合与集合之间的关系。集合与映射这组概念在建立关系模型的时候是非常有用的。代数运算是集合A与集合的运算映射到集合C的运算方式（集合A、B、C可以是同一集合），而代数同态或同构反映了带有代数运算的映射间的关系。其中同构就可以看作为结构相似，代数同构的几何在代数构造上没有什么区别，可以看作为组划分的依据。2.代数体系及其比较定义了代数运算、代数同态及代数同构，定义了代数运算的运算规则（结合律、交换律、分配率）。代数运算是集合A与集合B的运算映射到集合C的运算方式（集合A、B、C可以是同一集合），而代数同态或同构反映了带有代数运算的映射间的关系。其中同构就可以看作为结构相似，代数同构的几何在代数构造上没有什么区别，可以看作为组划分的依据。3.群定义了半群、群、子群和同态，介绍了变换群、置换群、循环群、陪集、不变子群、商群、对称群、交错群、正多边形群的概念。群是满足结合律、单位元和逆元存在的一个非空集合连同其上一个二元运算。群同态和群同构是对两个群间的映射分别满足代数同态和代数同构的描述。在自动机理论中有关于群和半群的应用，而在编码计算和快速加法器的设计中就用到了群的概念。4.环、域与代数定义了环、子环、除环和域，介绍了理想、同态、剩余类环、交换环、代数、张量积德概念。环在群的基础上定义。除了群中定义的加法运算以外，环中还定义了乘法运算。其中非空集合R及其上的加法要满足Abel群的定义，R及其上的乘法要满足半群的定义，并满足乘对加的左、右分配率。环同态和环同构是对两个环间的映射分别满足代数同态和代数同构的描述。环在计算机和时序机的研究中有很多应用。5.模定义了模、同态，模是对群和环之间运算的定义。二感想通过学习近世代数，我有如下一些感想：1.学以致用，将其应用于专业在群论部分，核心是群在集合上的作用。学习完群论后，应当自觉养成用群在集合上的作用的观点去看问题，也就是表示论的思想。对于我们而言，各种数学知识对我们而言都非常重要。在教学过程中数学功底可谓是非常重要的。通过学习了解了这门学科不但在数学的各个分支有很多应用，而且随着计算机技术的发展，它在通信理论、计算机科学、系统工程等许多领域中也有广泛的应用。通过本学科的学习我们可以对数学学科知识有更多的了解，更好的服务于教学工作。个人认为学习数学除了它是一种工具之外，它更加是一种思想。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其实这方面大家都接触过的，在中学数学中，各种数学方法都体现着一定的数学思想，比如归纳法的思想等等。我想，学以致用是我们学习的关键所在。2.理解体系结构以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，因为只停留在表面，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。现在想想，也许这就是我一直停留在课上的还行，却难以在稍大点的竞赛中对学生进行很好辅导的原因吧。所以有时走得太快可能未必是件好事。很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正。学完现代代数，我印象最深的就是开篇所讲的现代数学的重要发展趋势是公理化和结构化，我想这是成之为一个体系的必然。不仅仅在数学上如此，在其它学科，包括我们所研究的五性（可靠性、维修性、保障性、安全性与测试性）也是这样。因此，在我们的研究工作中，如何建模成了非常关键的问题。世界上很多事物都是有共性的，我们要用类比的思想（建立同构的关系）对其进行分析，再由已知推及未知。这种方法论对于我们来说是非常重要的。因为我们目前所有的资料也不太多，所需要面对的工作又是综合性非常强的工