广东省汕头市高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（40分）1（5分）（2013汕头一模）若x，yr，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y0，仅有x=0不能断定x+yi为纯虚数解答：解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y0“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真x，yr，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选b点评：考查充分，必要条件的判断，复数的基本概念的应用2（5分）（2013汕头一模）集合a=x|2012x2013，b=x|xa可满足ab=则实数a的取值范围（）aa|a2012 ba|a2012 ca|a2013da|a2013 考点：交集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：根据条件，可借助于数轴将集合a与集合b在数轴上表示出来，从而可求实数a的取值范围解答：解：将集合a=x|2012x2013，b=x|xa画在数轴上根据ab=，a2013故选c点评：本题以集合为载体考查不等式运算，关键是利用集合运算，得出不等式，从而得解，属于基础题3（5分）（2013汕头一模）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷a，编号落人区间451，750的人做问卷b，其余的人做问卷c则抽到的人中，做问卷c的人数为（）a15b10c9d7考点：系统抽样方法专题：概率与统计分析：根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷ab的组数和做问卷c的组数，即相应的人数解答：解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为1，750中共有75030=25组即做问卷c的有3225=7组故做问卷c的人数为7人故选d点评：本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键4（5分）（2012浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：证明题；综合题分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，a选项符合题意故选a点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=asin（x+）的图象变换公式等知识点，属于基础题5（5分）（2013汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（）a12b6c3d0考点：程序框图专题：计算题分析：先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后r的值找出规律，从而得出所求解答：解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，输入m=72，n=30，第一次循环：7230=212，第二次循环：3012=26，第三次循环：126=20，n=6故选b点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题6（5分）（2013汕头一模）在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a10，则k=（）a45b46c47d48考点：等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由已知ak=a1+a2+a3+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解解答：解：ak=a1+a2+a3+a10，a1+（k1）d=10a1+45da1=0，公差d0，（k1）d=45dk=46故选b点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7（5分）（2013汕头一模）设o是空间一点，a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）a当ab=o且a，b时，若ca，cb，则cb当ab=o且a，b时，若a，b，则c当b时，若b，则d当b时，且c时，若c，则bc考点：平面与平面垂直的判定；四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：计算题分析：利用直线与平面垂直的判定定理判断a的逆命题正误；通过平面与平面平行的性质定理判断b的逆命题的正误；利用平面与平面垂直的性质定理判断c的逆命题的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断命题d的逆命题的正误；解答：解：对于a，当ab=o且a，b时，若ca，cb，则c的逆命题为：当ab=o且a，b时，若c，则ca，cb，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；对于b，当ab=o且a，b时，若a，b，则的逆命题为：当ab=o且a，b时，若，则a，b，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；对于c，当b时，若b，则的逆命题为：当b时，若，则b，显然不正确，可能b与不垂直，所以逆命题不正确；对于d，当b时，且c时，若c，则bc的逆命题为：当b时，且c时，若bc，则c；满足直线与平面平行的判定定理，正确；故选c点评：本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理能力8（5分）（2013汕头一模）给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（）a6种b12种c24种d48种考点：排列、组合及简单计数问题专题：方案型；探究型分析：用四种不同的颜色给正方体的六个面涂色，相邻的两个面涂不同颜色，且涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法，则该问题实质为从四种不同颜色中任选两种颜色把这两种花颜色涂在正方体的两对对面上，有几种选法的问题解答：解：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可因此共有=6种不同的涂法故选a点评：本题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题二、填空题：（30分）9（5分）（2013汕头一模）函数y=lnx在点a（1，0）处的切线方程为y=x1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程解答：解：y=lnx，y=函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1又切点坐标为（1，0）切线方程为y=x1故答案为：y=x1点评：本题主要考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题10（5分）（2013汕头一模）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是，6考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3xy的取值范围解答：解：变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3xy，直线4xy+1=0与x+2y2=0交于点a（0，1），直线2x+y4=0与x+2y2=0交于点b（2，0），直线4xy+1=0与2x+y4=0交于点c（，3），分析可知z在点c处取得最小值，zmin=31=，z在点b处取得最大值，zmax=320=6，z6，故答案为，6；点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；11（5分）（2013汕头一模）若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2则正实数a=考点：定积分专题：计算题分析：由积分的几何意义可得，利用积分基本定理求解后可求a解答：解：由积分的几何意义可得，=a=故答案为：点评：本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题12（5分）（2013汕头一模）已知点p在抛物线y2=4x上，那么点p到点q（2，1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为考点：抛物线的简单性质专题：计算题分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当p，q和焦点三点共线且点p在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案解答：解：y2=4xp=2，焦点坐标为（1，0）依题意可知当p，q和焦点三点共线且点p在中间的时候，距离之和最小如图，故p的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=，故答案为：（，1）点评：本题主要考查抛物线的基本性质属基础题13（5分）（2013汕头一模）已知在三角形abc中，ab=2，ac=3，bac=，若d为bc的三等分点靠近点b一侧）则的取值范围为（，）考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用向量的运算法则和数量积运算即可得出解答：解：=，=+=1cos1，故答案为点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键14（5分）（2013汕头一模）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=2，则圆c上的点到直线l的距离最小值是22考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化专题：直线与圆分析：把直线的参数方程化为普通方程，再把圆c的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心c到直线l的距离解答：解：直线l的参数方程为 （参数tr），消去t的普通方程为 xy4=0，圆c的极坐标方程为=2圆c的普通方程为 x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，则圆心c到直线l的距离为d=2，圆c上的点到直线l的距离最小值是dr=22故答案为：22点评：本题以曲线参数方程、极坐标方程出发，考查了参数方程、极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系15（2013汕头一模）如图，半径是的o中，ab是直径，mn是过点a的圆o的切线，ac，bd相交于点p，且dan=30，cppa=12，又pdpb，则线段pd的长为4考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质专题：计算题；直线与圆分析：根据ab是直径得adb=90，由弦切角定理，得到b=dan=30，从而在rtabd中算出bd=ab=7，设pd=x，根据相交弦定理建立关于x的方程，解之即可得到线段pd的长解答：解：mn切圆o于a，b=dan=30，ab是直径，可得adb=90，ad=ab=，且bd=ad=7又圆o中，pbpd=cppa=12设pd=x，可得x（7x）=12，解之得x=3或4pdpb，pd=4（3舍去）故答案为：4点评：本题给出圆的直径和垂直于该直径的切线，在弦ac、bd相交的情况下求分出的线段pd之长，着重考查了弦切角定理、直径所对的圆周角和解直角三角形等知识，属于中档题三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）（2013汕头一模）abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量，且（i）求角a的大小；（ii）若且abc的面积为，求b十c的值考点：余弦定理；二倍角的正弦专题：计算题；解三角形分析：（1）由，结合向量平行的坐标表示可得关于a的三角关系式，然后利用二倍角公式对已知式子进行化简可求tana，进而可求a（2）由三角形的面积公式s=可求bc，然后由余弦定理可得，可求b+c解答：解：（1）（2分）（4分）又a（0，）（6分）（2）（8分）bc=6（9分）由余弦定理得：（10分）（b+c）2=7+3bc=25（11分）b+c=5（12分）点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用、二倍角公式及同角基本关系的应用，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用17（12分）（2013汕头一模）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：幸福级别非常幸福幸福不知道不幸福幸福指数（分）9060300人数（个）192173（i）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数求的分布列；（iii）从这50位市民中，先随机选一个人记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求nm+60的概率p考点：离散型随机变量及其分布列；离散对数在加密和数字签名中的应用专题：概率与统计分析：（i）由数学期望（即平均值）的定义，结合图表可得答案；（ii）可得的可能取值为0、1、2、3，分别求其概率，即可得其分布列；（iii）方法一，求对立事件nm+60的概率，进而由p=1p1可得答案，方法二，直接列举出符合nm+60的情况，由古典概型的公式可得答案解答：解：（）记ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，（1分）（）的可能取值为0、1、2、3 （2分）（3分）（4分）（5分）（6分）分布列为0123p（7分）（）方法一：设所有满足条件的对立事件nm+60的概率为p1满足m=0且n=60的事件数为：（8分）满足m=0且n=90的事件数为：（9分）满足m=30且n=90的事件数为：（10分）（11分）所以满足条件nm+60的事件的概率为（12分）方法二：基本事件的总数为满足条件nm+60的有如下各种情况：满足m=0时，n=0，30的事件数为：（8分）满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：（9分）满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：（10分）满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：（11分）所以（12分）点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题18（14分）（2013汕头一模）在三棱锥pabc中侧梭长均为4底边ac=4ab=2，bc=2，de分别为pcbc的中点i）求证：平面pac平面abc（ii）求三棱锥pabc的体积；（iii）求二面角cade的余弦值考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（i）利用等腰三角形的性质即可得到opac，再利用勾股定理的逆定理即可得到opob，利用线面垂直的判定定理即可证明；（ii）由（i）可知op平面abc，故op为三棱锥pabc的高，且op=，直角三角形abc的面积s=，再利用即可得出（iii）方法一：过点e 作ehac于h，过点h作hmad于m，连接me，由平面pac平面abc，ehac，eh平面abc，可得eh平面pac，于是mead（三垂线定理），可得emh即为所求的二面角的平面角利用直角三角形的边角关系求出即可方法二：以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得到二面角解答：证明：（）pa=pb=pc=ac=4，取ac的中点o，连接op，ob，可得：opac，ac2=ab2+bc2，abc为rtob=oc=2，pb2=ob2+op2，opob又acbo=o且ac、ob面abc，op平面abc，又op平面pac，平面pac平面abc）（）由（i）可知：op平面abc，op为三棱锥pabc的高，且op=直角三角形abc的面积s=vpabc=（）方法一：过点e 作ehac于h，过点h作hmad于m，连接me，平面pac平面abc，平面pac平面abc=ac，ehac，eh平面abc，eh平面pac，mead（三垂线定理），emh即为所求的二面角的平面角e，d分别为中点，ehac，在rthec中：，在rthma中，在rthme中，所以方法二：以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，o（0，0，0），a（0，2，0），c（0，2，0），设平面aed的一个法向量为，平面acd的一个法向量为，则，得，令x=1，则，设所求的二面角为，显然为锐角，=点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式、利用三垂线定理和二面角的定义求得二面角的平面角、通过空间直角坐标系利用两个平面的法向量得到二面角等是解题的关键19（14分）（2013汕头一模）如图已知椭圆的长轴为ab，过点b的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，f1为椭圆的左焦点且=1（i）求椭圆的标准方程；（ii）设p是椭圆上异于a、b的任意一点，phx轴，h为垂足，延长hp到点q使得hp=pq连接aq并延长交直线l于点m，n为mb的中点，判定直线qn与以ab为直径的圆o的位置关系考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）写出a，b，f1的坐标，进而得到，的坐标，代入=1并化简得b2=1，由，得，解出得a2，从而得椭圆方程；（ii）可根据圆心o到直线qn的距离d与圆的半径的大小关系判断：设p（x0，y0），则q（x0，2y0）（x02），由点斜式写出直线aq方程，与直线bm方程联立可得m坐标，进而得n点坐标，由点斜式可得直线qn方程，根据点到直线距离公式可得圆心o到直线qn的距离，与半径a比较即可，注意点p坐标满足椭圆方程；解答：解：（）易知a（a，0），b（a，0），f1（c，0），a2c2=b2=1，又，解得a2=4，；（）设p（x0，y0），则q（x0，2y0）（x02），所以直线aq方程，则，又点p的坐标满足椭圆方程，则，所以 ，直线qn的方程：，化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，所以点o到直线qn的距离，故直线qn与ab为直径的圆o相切点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数20（14分）（2013汕头一模）数列an的前n项和为sn，（i）设bn=an+n，证明：数列bn是等比数列；（ii）求数列nbn的前n项和tn；（iii）若cn=an，p=，求不超过p的最大整数的值考点：数列的求和；等比关系的确定专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（） 由，令n=1可求a1，n2时，利用an=snsn1可得an与an1之间的递推关系，构造等可证等比数列（） 由（）可求nbn，利用错位相减法可求数列的和（）由（）可求，进而可求cn，代入p中利用裂项求和即可求解解答：解：（） 因为当n=1时，2a1=1，则a1=，（1分）当n2时，（2分）所以2anan1=n1，即2（an+n）=an1+n1，所以，而b1=a1+1=，（3分）所以数bn是首项为，公比为的等比数列，所以（4分）（） 由（）得所以 （6分）得：（7分）（8分）（）由（）知cn=n（9分）而=，（11分）所以，故不超过p的最大整数为2013.（14分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，数列的错位相减求和及裂项求和方法的综合应用21（14分）（2013汕头一模）已知函数（i）若f（x）=f1（x）+f2（x）bf2（x），是否存在a，br，y=f（x）为偶函数如果存在请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；ii）若a=2，b=1求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在r上的单调区间；（iii ）对于给定的实数x00，1，对x0，1，有|f1（x）f2（x0）|1成立求a的取值范围考点：奇偶