尺规作图法.doc

尺规作图法尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。在这以前，许多作图题是不限工具的。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在几何原本之中。 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。 编辑本段基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相 尺规作图同： 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。 编辑本段五种基本作图作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作已知线段的垂直平分线 作已知角的角平分线 过一点作已知直线的垂线 编辑本段尺规作图公法以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： 通过两个已知点可作一直线。 已知圆心和半径可作一个圆。 尺规作图若两已知直线相交，可求其交点。 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 若两已知圆相交，可求其交点。 编辑本段著名问题尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题： 三等分角问题：三等分一个任意角； 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明是超越数后，“化圆为方”也被证明为 尺规作图作品尺规作图不能问题。 还有另外两个著名问题： 正多边形作法 只使用直尺和圆规，作正五边形。 只使用直尺和圆规，作正六边形。 只使用直尺和圆规，作正七边形这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。 只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。 问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。 编辑本段相关延伸用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 只用直尺及生锈圆规作正五边形 生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA 尺规作图。 已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！。 正9边形是可以用尺规作图法做出来的。 编辑本段历史发展?“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股. 矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前. 史记卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注周髀算经中有“禹治洪水，望山川之形，定高下之势，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代. 春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，墨子卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”孟子卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性. 古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图. 古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的几何原本.由于几何原本的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来. 由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案. 编辑本段推动的进展由词条以上内容可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究 尺规作图，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系. 几何尺规作图问题 “几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边