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解析几何最值问题吕叔湘中学 郭飞一.教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。二.教学难重点探求解析几何最值的常见方法：1.函数法：设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。2.不等式法：常用的不等式法主要有均值不等式等。3.数形结合：在平面几何中有许多关于不变量的最值结果，求解解析几何中最值问题时，如果能充分利用曲线的几何意义，直接使用这些结果，则往往会使得复杂的问题筒单法。三.教学过程XyBAOFE【例题】已知椭圆，分别为椭圆上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值。【图形处理】问1：四边形AEBF是不规则图形，如何求四边形面积？思路1：，注：是E点到直线AB的距离；是F点到直线AB的距离.思路2：【最值求法】问2：遇到最值问题，如何处理？归纳：建立函数模型；二元变量基本不等式；数形结合【变量选择】问3：本题选择什么变量比较合适？归纳：点动设点（E点动）；线动设斜率（EF直线动）【具体操作】思路一：设点法一：基本不等式设，且。，则，当且仅当时，取等号。法二：三角代换设法三：数形结合令与联立可得：由，的最大值为.思路二：设斜率设EF：与联立可得：，点A到EF的距离为：；点B到EF的距离为：。 则： 【变式与推广】1.本质揭示：=2.变式圆，A,B分别是轴正半轴的交点，过原点作直线与AB相交于点G，并和圆交于点E,F两点，的最大值为；已知椭圆，分别为椭圆上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E,F两点：.则四边形AEBF面积的最大值；.当面积取值最值时，直线AB与EF的斜率互为相反数；. 当面积取值最值时，直线EF过线段AB的中点。若E,F变成椭圆上且位于AB两侧任意两点，则E,F关于原点对称时，四边形面积最大。【
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