广东省汕头市南澳中学高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市南澳中学2015届高考数学二模试卷 （理科 ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）复数=（）aibicidi2（5分）设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，63（5分）已知条件p：x1，条件q：1，则q是p成立的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既非充分也非必要条件4（5分）已知，且，则=（）a（2，4）b（2，4）c（2，4）或（2，4）d（4，8）5（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a2+2b4+2c2+d4+6（5分）已知直线l和两个不同的平面，则下列命题中，真命题的是（）a若l，且l，则b若l且l，则c若l，且，则ld若l，且，则l7（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的s的值是（）a39b21c81d1028（5分）对a、br，运算“”、“”定义为：ab=，ab=，则下列各式其中不恒成立的是（）（1）ab+ab=a+b（2）abab=ab（3）abab=ab（4）abab=aba（1）（3）b（2）（4）c（1）（2）（3）d（1）（2）（3）（4）二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分35分.9（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高一年级抽取10（5分）已知数列an，an=2n，则+=11（5分）（x2）6的展开式中x3的系数是（用数字作答）12（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y最小值为13（5分）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为14（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：（为参数）和直线l：（t为参数），则直线l与圆c相交所得的弦长等于15（5分）已知o的割线pab交oa，b两点，割线pcd经过圆心，若pa=3，ab=4，po=5，则o的半径为三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且，b=c（）求cosb的值；（）设函数f（x）=sin（2x+b），求的值17（12分）根据空气质量指数aqi（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：aqi（数值）05051100101150151200201300300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日10月30日，对空气质量指数aqi进行监测，获得数据后得到如图的条形图：（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别颜色为紫色的天数，求的分布列18（14分）已知数列an的前n项和是sn，且sn+an=1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3（1sn+1）（nn*），求适合方程的正整数n的值19（10分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc，且abbc，o为ac中点（）证明：a1o平面abc；（）求直线a1c与平面a1ab所成角的正弦值；（）在bc1上是否存在一点e，使得oe平面a1ab，若不存在，说明理由；若存在，确定点e的位置20（14分）已知椭圆c：=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆c的右焦点的动直线l与椭圆c相交于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）若线段ab中点的横坐标为，求直线l的方程；（3）若线段ab的垂直平分线与x轴相交于点d设弦ab的中点为p，试求的取值范围21（13分）已知函数f（x）=exkx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k0，且对于任意xr，f（|x|）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数f（x）=f（x）+f（x），求证：f（1）f（2）f（n）（nn*）广东省汕头市南澳中学2015届高考数学二模试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）复数=（）aibicidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数的除法运算化简求值解答：解：故选：a点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，6考点：补集及其运算 专题：集合分析：直接利用补集的定义求出cum解答：解：集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=3，5，6，故选c点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题3（5分）已知条件p：x1，条件q：1，则q是p成立的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：首先解不等式，然后再找出p和q的关系解答：解：p：x1，p：x1，q：1x0，或x1，故q是p成立的必要不充分条件，故选b点评：找出p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单4（5分）已知，且，则=（）a（2，4）b（2，4）c（2，4）或（2，4）d（4，8）考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出解答：解：设=（x，y），由题意可得，解得或，=（2，4）或（2，4）故选：c点评：本题考查向量模的求法，向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等5（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a2+2b4+2c2+d4+考点：由三视图求面积、体积 专题：立体几何分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选c点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是2015届高考的新增考点，不时出现在2015届高考试题中，应予以重视6（5分）已知直线l和两个不同的平面，则下列命题中，真命题的是（）a若l，且l，则b若l且l，则c若l，且，则ld若l，且，则l考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：规律型分析：对于a，若l，且l，则或与相交，所以a错；对于b，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，即若l且l，则对；对于c，若l，则l或l或l，所以c错；对于d，若l，且则l或l，所以d错解答：解：对于a，若l，且l，则或与相交，所以a错；对于b，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，即若l且l，则对；对于c，若l，则l或l或l，所以c错；对于d，若l，且则l或l，所以d错故选b点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题7（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的s的值是（）a39b21c81d102考点：循环结构 专题：图表型分析：用列举法，通过循环过程直接得出s与n的值，得到n=4时退出循环，即可解答：解：第一次循环，s=3，n=2；第二次循环，s=3+232=21，n=3；第三次循环，s=21+333=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出s=21+333=102，故选d点评：本题考查循环结构，判断框中n=4退出循环是解题的关键，考查计算能力8（5分）对a、br，运算“”、“”定义为：ab=，ab=，则下列各式其中不恒成立的是（）（1）ab+ab=a+b（2）abab=ab（3）abab=ab（4）abab=aba（1）（3）b（2）（4）c（1）（2）（3）d（1）（2）（3）（4）考点：函数恒成立问题 专题：新定义分析：根据运算分别讨论ab或ab时结论是否成立即可解答：解：根据定义，若ab，则ab=a，ab=b，此时（1）ab+ab=a+b （2）abab=ab （3）abab=ab （4）abab=ab都成立若ab时，ab=b，ab=a，（1）ab+ab=b+a=a+b成立（2）此时abab=ba此时（2）不成立（3）abab=ba=ab，此时（3）成立（4）若ab时，ab=b，ab=a，此时abab=ba，（4）不一定成立故选：b点评：本题主要新定义，根据a，b的大小关系进行讨论即可，本题的实质是考查加法和乘法满足交换律，减法和除法不满足交换律二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分35分.9（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高一年级抽取15考点：分层抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：根据三个年级的人数比，做出2014-2015学年高一所占的比例，用要抽取得样本容量乘以2014-2015学年高一所占的比例，得到要抽取的2014-2015学年高一的人数解答：解：2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，2014-2015学年高一在总体中所占的比例是，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，要从2014-2015学年高一抽取50=15，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题10（5分）已知数列an，an=2n，则+=1考点：等比数列的前n项和 专题：计算题分析：由数列的通项公式an=2n，得到数列是首项为，公比为的等比数列，列举出所示式子的各项，利用等比数列的前n项和公式化简，即可得到结果解答：解：由题意得：数列an为首项是2，公比为2的等比数列，由an=2n，得到数列an各项为：2，22，2n，+=+，数列是首项为，公比为的等比数列，则+=+=1故答案为：1点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，其中确定出数列是首项为，公比为的等比数列是解本题的关键11（5分）（x2）6的展开式中x3的系数是160（用数字作答）考点：二项式定理 专题：计算题分析：根据题意，由二项式定理可得（x2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得t4=160x3，即可得答案解答：解：根据题意，（x2）6的展开式的通项为tr+1=c6rx6r（2）r=（1）r2rc6rx6r，令6r=3可得r=3，此时t4=（1）323c63x3=160x3，即x3的系数是160；故答案为160点评：本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x2）6的展开式的通项12（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y最小值为1考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为直线方程的斜截式，由图可知，当直线过点a（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z最小zmin=1+2（1）=1故答案为：1点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题13（5分）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为3考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数判断当x0时函数的周期性，然后利用周期性进行求值解答：解：由分段函数可知，当x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1），f（x+1）=f（x2），即f（x+3）=f（x），f（x+6）=f（x），即当x0时，函数的周期是6f=f（3356+3）=f（3）=f（0）=log2（80）=log28=3，故答案为：3点评：本题主要考查利用分段函数进行求值问题，利用函数的解析式确定当x0时，满足周期性是解决本题的关键14（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：（为参数）和直线l：（t为参数），则直线l与圆c相交所得的弦长等于4考点：直线的参数方程；圆的参数方程 专题：计算题分析：由题意将圆c和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆c相交所得的弦长解答：解：在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：（为参数），（x+1）2+（y2）2=25，圆心为（1，2），半径为5，直线l：（t为参数），3x+4y10=0，圆心到直线l的距离d=1，直线l与圆c相交所得的弦长=2=4故答案为4点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必考的热点问题15（5分）已知o的割线pab交oa，b两点，割线pcd经过圆心，若pa=3，ab=4，po=5，则o的半径为2考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：由于pab与pcd是圆的两条割线，且pa=3，ab=4，po=5，我们可以设圆的半径为r，然后根据切割线定理构造一个关于r的方程，解方程即可求解解答：解：设o的半径为r则pc=pooc=5rpd=po+od=5+r又pa=3，ab=4，pb=pa+ab=7由切割线定理易得：papb=pcpd即37=（5r）（5+r）解得r=2故答案：2点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且，b=c（）求cosb的值；（）设函数f（x）=sin（2x+b），求的值考点：余弦定理 专题：三角函数的求值分析：（）由等角对等边得到c=b，再由a=b，利用余弦定理即可求出cosb的值；（）由cosb的值，求出sinb的值，将x=代入f（x）计算即可求出f（）的值解答：解：（）b=c，c=b，又a=b，cosb=；（）由（）得sinb=，f（）=sin（+b）=sincosb+cossinb=+=点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17（12分）根据空气质量指数aqi（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：aqi（数值）05051100101150151200201300300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日10月30日，对空气质量指数aqi进行监测，获得数据后得到如图的条形图：（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别颜色为紫色的天数，求的分布列考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；等可能事件的概率 专题：概率与统计分析：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为中度污染的天数为6，从而可求此次监测结果中空气质量类别为中度污染的概率；（2）确定随机变量x的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可得的分布列解答：解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为中度污染的天数为6，所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 ；（2）随机变量的可能取值为0，1，2，则，所以的分布列为：012p点评：本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查离散型随机变量的分布列，确定随机变量的可能取值是关键属于中档题18（14分）已知数列an的前n项和是sn，且sn+an=1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3（1sn+1）（nn*），求适合方程的正整数n的值考点：等差数列与等比数列的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由s，得（n2），两式相减得an与an1的递推式，由递推式易判断数列an为等比数列，从而可求an；（2）由（1）易求得1sn+1，进而可求bn，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；解答：解：（1）由s，得（n2），两式相减得，an+=0（n2），即（n2），由s得=1，即=1，解得，所以数列an各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以an=；（2）由（1）知，即1sn+1=，所以b=（n+1），则=，所以=+=，所以方程 即=，解得n=100，故适合方程 的正整数n的值为100点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握an与sn间的关系是解决本题的关键19（10分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc，且abbc，o为ac中点（）证明：a1o平面abc；（）求直线a1c与平面a1ab所成角的正弦值；（）在bc1上是否存在一点e，使得oe平面a1ab，若不存在，说明理由；若存在，确定点e的位置考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：计算题；证明题分析：（1）由题意可知：平面aa1c1c平面abc，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明a1oac就行了（2）此小题由于直线a1c与平面a1ab所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证oe平面a1ab，可以转化成证明oe与法向量n垂直解答：解：（）证明：因为a1a=a1c，且o为ac的中点，所以a1oac（1分）又由题意可知，平面aa1c1c平面abc，交线为ac，且a1o平面aa1c1c，所以a1o平面abc（4分）（）如图，以o为原点，ob，oc，oa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意可知，a1a=a1c=ac=2，又ab=bc，abbc，所以得：则有：（6分）设平面aa1b的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得所以（7分）（9分）因为直线a1c与平面a1ab所成角和向量n与所成锐角互余，所以（10分）（）设，（11分）即，得所以，得，（12分）令oe平面a1ab，得，（13分）即1+2=0，得，即存在这样的点e，e为bc1的中点（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20（14分）已知椭圆c：=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆c的右焦点的动直线l与椭圆c相交于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）若线段ab中点的横坐标为，求直线l的方程；（3）若线段ab的垂直平分线与x轴相交于点d设弦ab的中点为p，试求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由已知可得，解得即可（2）设过椭圆c的右焦点的动直线l的方程为y=k（x1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出k（3）利用中点坐标公式和弦长公式即可得出解答：解：（1）椭圆c：=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，解得a2=4，b2=3，c=1椭圆方程为（2）设过椭圆c的右焦点的动直线l的方程为y=k（x1），联立化为（3+4k2）x28k2x+4k212=0设a（x1，y1），b（x2，y2）则，ab中点的横坐标为，解得k=直线l的方程（3）由（2）知ab的中点为p，直线pd的方程为，由y=0，得，则d，=又|=又k2+11，的取值范围是点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21（13分）已知函数f（x）=