广东省汕头市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）若i为虚数单位，则i+i2+i3+i4的值为（）a1bic0d12（5分）若全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，4，n=2，3，则集合5，6等于（）amnbmnc（um）（un）d（um）（un）3（5分）若双曲线的标准方程为=1，则它的渐近线方程为（）ax=0bxy=0cx2y=0d2xy=04（5分）已知命题p：xr，x2lgx，命题q：xr，ex1，则（）a命题pq是假命题b命题pq是真命题c命题p（q）是真命题d命题p（q）是假命题5（5分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a=，b=，a=3，则c的值为（）a3bc3d66（5分）设，为平面，m，n为直线，则m的一个充分条件是（）a，=n，mnb=m，c，mdn，n，m7（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，又知（xlnx）=lnx+1，且s10=lnxdx，s20=17，则s30为（）a33b46c48d508（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）abcd二、填空题（每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9（5分）二进制110011（2）化成十进制数为10（5分）设向量=（1，2，3），=（1，y，z），且，则y=，z=11（5分）二项展开式（+2x2）5中，含x4项的系数为12（5分）一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），则一元一次不等式ax+b0的解集为13（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=mx+y的最大值为2m+10，最小值为2m2，则实数m的取值范围是（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）曲线c：（为参数），若以点o（0，0）为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是【几何证明选讲选做题】15如图，ad是abc的高，ae是abc外接圆的直径，若bae=36，则dac=三、解答题（本题共6小题，共80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）（1）求f的值；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）设为第四象限的角，且=，求f（）的值17（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22列联表：成绩性别优秀不优秀总计男生女生总计（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（注：k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若从成绩在130，140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率18（14分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：bn平面c1b1n；（2）设为直线c1n与平面cnb1所成的角，求sin的值；（3）设m为ab中点，在bc边上求一点p，使mp平面cnb1，求的值19（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知动点p到两个定点f1（，0），f2（，0）的距离的和为定值4（1）求点p运动所成轨迹c的方程；（2）设o为坐标原点，若点a在轨迹c上，点b在直线y=2上，且oaob，试判断直线ab与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论20（14分）已知sn是数列an的前n项和，且满足sn2=n2an+sn12（n2，nn+）又已知a1=0，an0，n=2，3，4（1）计算a2，a3，并求数列a2n的通项公式；（2）若bn=（）an，tn为数列bn的前n项和，求证：tn21（14分）设函数g（x）=x22x+1+mlnx，（mr）（）当m=1时，求过点p（0，1）且与曲线y=g（x）（x1）2相切的切线方程（）求函数y=g（x）的单调增区间（）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且ab，记x表示不大于x的最大整数，试比较sin与cosg（a）g（b）的大小广东省汕头市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）若i为虚数单位，则i+i2+i3+i4的值为（）a1bic0d1考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：i+i2+i3+i4=i1i+1=0，故选：c点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2（5分）若全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，4，n=2，3，则集合5，6等于（）amnbmnc（um）（un）d（um）（un）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由题意可得5um，且5un；6um，且6un，从而得出结论解答：解：5m，5n，故5um，且5un同理可得，6um，且6un，5，6=（um）（un），故选：d点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题3（5分）若双曲线的标准方程为=1，则它的渐近线方程为（）ax=0bxy=0cx2y=0d2xy=0考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由于双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，求出所求双曲线的a，b，即可得到渐近线方程解答：解：由于双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，而双曲线=1的a=2，b=2，则所求渐近线方程为y=x，即为xy=0故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的求法，属于基础题4（5分）已知命题p：xr，x2lgx，命题q：xr，ex1，则（）a命题pq是假命题b命题pq是真命题c命题p（q）是真命题d命题p（q）是假命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出解答：解：对于命题p：例如当x=10时，81成立，故命题p是真命题；对于命题q：xr，ex1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；命题pq是真命题故选：c点评：本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题5（5分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a=，b=，a=3，则c的值为（）a3bc3d6考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由a与b的度数求出c的度数，再由sina，sinc以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可解答：解：在abc中，a=，b=，a=3，即c=，由正弦定理=得：c=3故选：a点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6（5分）设，为平面，m，n为直线，则m的一个充分条件是（）a，=n，mnb=m，c，mdn，n，m考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：空间位置关系与距离分析：根据面面垂直的判定定理可知选项a是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项b和c是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项d正确解答：解：对于选项a：，=n，mn，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；对于选项b：=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；对于选项c：，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；对于选项d：因为n，n，所以，又因为m，所以m正确，故选：d点评：本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键7（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，又知（xlnx）=lnx+1，且s10=lnxdx，s20=17，则s30为（）a33b46c48d50考点：等差数列的性质；定积分的简单应用 专题：计算题分析：先利用微积分基本定理求定积分的值，得s10=1，再利用等差数列的性质，即s10，s20s10，s30s20为等差数列，即可列方程得所求值解答：解：s10=lnxdx=（xlnxx）=ee（1）=1等差数列中，s10，s20s10，s30s20为等差数列，即1，171，s3017为等差数列，32=1+s3017s30=48故选 c点评：本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分的方法，等差数列的定义和性质运用，属基础题8（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）abcd考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案解答：解：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26其连续5天的日平均温度均不低于22 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22若21 25 26 26 32 方差不大于10.8 是10.3 但是进一步扩大方差就会超过10.8，故对；则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地故选b点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可二、填空题（每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9（5分）二进制110011（2）化成十进制数为51考点：排序问题与算法的多样性 专题：计算题分析：根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果解答：解：110011（2）=1+12+022+023+124+125=51故答案为：51点评：本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则10（5分）设向量=（1，2，3），=（1，y，z），且，则y=2，z=3考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：，存在实数k使得，解得y=2，z=3故答案分别为：2；3点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题11（5分）二项展开式（+2x2）5中，含x4项的系数为80考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：先求出二项式（+2x2）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数解答：解：二项式（+2x2）5的展开式中通项公式为tr+1=（1）5r2rx3r5令3r5=4，可得r=3，展开式中含x4的项的系数是（1）5r2r=80，故答案为：80点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（5分）一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），则一元一次不等式ax+b0的解集为考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），可知：3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b进而解出一元一次不等式ax+b0的解集解答：解：一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，3+1=a，31=b，解得a=2，b=3一元一次不等式ax+b0即2x30，解得一元一次不等式ax+b0的解集为故答案为：点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根及其根与系数的关系、一元一次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题13（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=mx+y的最大值为2m+10，最小值为2m2，则实数m的取值范围是1，2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=mx+y的最大值为2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由目标函数z=mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小目标函数z=mx+y的最大值为2m+10，最小值为2m2，当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，2）时，取得最小值，目标函数z=mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2xy+6=0的斜率小，即1m2，故答案为：1，2点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）曲线c：（为参数），若以点o（0，0）为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是=4cos考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：根据参数方程的性质先将参数方程化为一般方程，然后再化为极坐标方程，从而求解解答：解：曲线c：（为参数），以点o（0，0）为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，又x=cos，y=sin，代入曲线c得，cos2=2cos，sin=2sin，消去得，=4cos，故答案为：=4cos点评：此题考查参数方程与极坐标方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必考的热点问题【几何证明选讲选做题】15如图，ad是abc的高，ae是abc外接圆的直径，若bae=36，则dac=36考点：弦切角 专题：直线与圆分析：由ae是abc的外接圆直径，得abe=90，根据bae+e=90，adc=90得到bae=cad由此能求出结果解答：解：连结be，ae是abc的外接圆直径，abe=90bae+aeb=90ad是abc的高，adc=90cad+acb=90aeb=acb，dac=bae=36故答案为：36点评：本题主要考查了圆中的有关性质，根据圆周角定理可得到相等的角，根据等量代换可求得aeb=acb是解题的关键三、解答题（本题共6小题，共80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）（1）求f的值；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）设为第四象限的角，且=，求f（）的值考点：正弦函数的图象；函数奇偶性的判断 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由条件利用诱导公式求得f的值（2）由条件根据f（x）f（x）且f（x）f（x），可得f（x）=2sin（x+）为非奇非偶函数（3）由条件求得sin2=，再根据 f（）=2cos=2，求得结果解答：解：（1）由于函数f（x）=2sin（x+），故f=2sin=2sin（+）=2sin=1（2）函数f（x）=2sin（x+）为非奇非偶函数，证明：f（x）=2sin（x+），f（x）=2sin（x+）=2sin（x），f（x）f（x）且f（x）f（x），故函数f（x）=2sin（x+）为非奇非偶函数（3）为第四象限的角，且=34sin2，sin2=f（）=2sin（+）=2cos=2=点评：本题主要考查诱导公式、正弦函数的奇偶性、同角三角函数的基本关系，属于基础题17（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22列联表：成绩性别优秀不优秀总计男生女生总计（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（注：k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若从成绩在130，140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）根据直方图，易得到列联表的各项数据（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）利用列举法，分别列举出所有的基本事件，在列举出满足条件的基本事件，代入古典概型公式进行计算求解解答：解：（1）成绩性别优秀不优秀总计男生131023女生72027总计203050（2）由（1）中表格的数据知，k2=4.844k24.8443.841，有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系（3）成绩在130，140男生500.00810=4人，用1，2，3，4表示，女生有500.00410=2人，用5，6表示，故任取2人，共有15种，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）其中至少有1名女生，有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），有9种，故取到的2人中至少有1名女生的概率p=点评：本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，数据处理能力、运算求解能力和应用意识18（14分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：bn平面c1b1n；（2）设为直线c1n与平面cnb1所成的角，求sin的值；（3）设m为ab中点，在bc边上求一点p，使mp平面cnb1，求的值考点：直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：综合题分析：（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，ba，bc，bb1两两垂直 以b为坐标原点，分别以ba，bc，bb1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出=0，=0后即可证明bn平面c1b1n；（2）求出平面ncb1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线c1n与平面cnb1所成的角（3）设p（0，0，a）为bc上一点，由mp平面cnb1，得知，利用向量数量积为0求出a的值，并求出解答：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，ba，bc，bb1两两垂直 （2分）以b为坐标原点，分别以ba，bb1，bc所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则n（4，4，0），b1（0，8，0），c1（0，8，4），c（0，0，4）=（4，4，0）（4，4，0）=16+16=0=（4，4，0）（0，0，4）=0bnnb1，bnb1c1且nb1与b1c1相交于b1，bn平面c1b1n； （4分）（2）解：设n2=（x，y，z）为平面ncb1的一个法向量，则 则；（8分）（3）m（2，0，0）设p（0，0，a）为bc上一点，则，mp平面cnb1，又pm平面cnb1，mp平面cnb1，当pb=1时，mp平面cnb1（12分）点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确19（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知动点p到两个定点f1（，0），f2（，0）的距离的和为定值4（1）求点p运动所成轨迹c的方程；（2）设o为坐标原点，若点a在轨迹c上，点b在直线y=2上，且oaob，试判断直线ab与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程 专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a2与b2的值，即可确定出椭圆c的方程；（2）设出点a，b的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x00，由oaob得到，用坐标表示后把t用含有a点的坐标表示，然后分a，b的横坐标相等和不相等写出直线ab的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到ab的距离和圆的半径相等说明直线ab与圆x2+y2=2相切解答：（本小题满分12分）解：（1）动点p到两点f1（，0），f2（，0）的距离之和为4，由椭圆的定义可知，点p的轨迹是以f1（，0），f2（，0）为焦点，以4为长轴的椭圆，c=，a=2，b=，c的方程为（4分）（2）直线ab与圆x2+y2=2相切证明如下：设点a，b的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x00oaob，即tx0+2y0=0，解得t=当x0=t时，y0=，代入椭圆c的方程，得t=，故直线ab的方程为x=，圆心o到直线ab的距离d=此时直线ab与圆x2+y2=2相切当x0t时，直线ab的方程为y2=（xt），即（y02）x（x0t）y+2x0ty0=0圆心o到直线ab的距离d=又x02+2y02=4，t=故d=此时直线ab与圆x2+y2=2相切点评：此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是2015届高考常考的知识点，属于中档题20（14分）已知sn是数列an的前n项和，且满足sn2=n2an+sn12（n2，nn+）又已知a1=0，an0，n=2，3，4（1）计算a2，a3，并求数列a2n的通项公式；（2）若bn=（）an，tn为数列bn的前n项和，求证：tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由sn2=n2an+sn12（n2，nn+），a1=0，an0，分别取n=2，3即可得出a2，a3由sn2=n2an+sn12，利用an=snsn1，可得，利用递推式可得an+1+an=2n+1，变形为an+1（n+1）=（ann），利用等比数列的通项公式即可得出an，进而得到a2n（2）由（1）可知：an=可得t2k=1+，利用等比数列的前n项和公式即可得出即可证明解答：（1）解：sn2=n2an+sn12（n2，nn+），a1=0，an0，取n=2可得：，即=4a2+0，解得a2=4同理取n=3时可得：a3=1由sn2=n2an+sn12，可得sn2=n2（snsn1）+sn12，化为=0，sn+1+sn=（n+1）2，an+1+an=2n+1，化为an+1（n+1）=（ann），数列ann是从第二项开始为等比数列，公比为1，首项为a22=2ann=2（1）n2，a2n=2n+2，数列a2n的通项公式为a2n=2n+2（2）证明：由（1）可知：an=nn*t2k=1+=1+1+而t2k1t2k，因此对于nn*，tn点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式