实变函数试题库参考答案.doc

实变函数试题题库参考答案一、选择题1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:对于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可测；34、有；35、；36、；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、（开）；45、推广；46、测度；47、；48、，（闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( ) 理由: 集合具有无序性 2、( ) 理由: 举一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符号表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( ) 理由:表示没有任何元素的集合,而表示单元素集合,这个元素是6、( ) 理由: 表示没有任何元素的集合,而0表示单元素集合,这个元素是0 7、( ) 理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点 8、( ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( ) 理由: 有内点的定义可得. 10、( ) 理由: 有内点的定义可得. 11、( ) 理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E. 12、( ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E 13、（）理由: 因有若，E不可测，而可测 14、（）理由: 因 两可测集的并可测。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的顺序形成的函数列 18、（） 理由: 因的测度可能无限 19、（） 理由: 因若（可测），则 20、（） 理由: 反例：自然数集外测度为零。21、（） 理由: 若是E的不可测集就不行。22、（） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在单调下降趋于c的有理数列， 则有 ，故可测。24、（） 理由: 因 四、简答题1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面验证f是自然数全体到偶数全体的一一映射.（1） 设m自然数全体, n自然数全体且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 则m、n为偶数，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 则m、n为奇数，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是单射。（2） 对于任意的m偶数全体若m=0, 则有f(1)=0 ;若m0, 则有f(m)=m;若mn 时则，显然是可数集. 3、证明: 令C=AB, 则有, 故C是可数集或有限集若C是有限集，显然. 若C是可数集，显然，设，。令，则。而显然是可数集。故而是可数集. 4、证明：设 （）, 则是可数集，于是知全体正有理数成一可数集。 因正负有理数成一一对应，故负有理数成一可数集。但全体有理数，故有理数全体成一可数集。5、证明：在每个区间中取一有理数与这个区间对应，则不同的区间对应不同的有理数，故A与有理数的子集对等。 而有理数集是可列的，所以A是至多可列的。 6、证明：令 其中，Z为整数集。显然是可数集, 并且。因为可数个可数集的并是可数集，故是可数集。7、证明：必要性，取，则，从而 充分性，令，则，且。因此 8、证明：设是E上a, e有限的可测函数，由鲁金定理得，在E上基本连续，即对存在，及连续函数g满足 （1） （2） 于是对，所以 9、证明：因对，有 10、证明：因，由Riesz定理，存在的子列，使 ，且 设时有，且 这样时，有，从而 注意 11、证明：设， 令 则，且 由的定义知 故有 12、证明：有使，且在上一致收敛于 令，则在收敛于f，且。 从而 13、证： 14、证明：因 故， 从而 令 ，得 注意到故 ，即，a, e于E 15、证明：若E有界，则， 从而，即E可测 若E无界，则存在互不相交的有界集列，使。 而每个 ，且 ，所以 ， 因 ，所以E是可测的。 16、证明：首先 因， 故 所以 17、证明：因A可测，取，有 又因（定义3中取T = B即得） 所以 18、证明：显然 ，（时） （ 故 从而 19、证明：令，因在上可积，故在上也可积，且有 所以 故 。 20、证明：因为是上的有界函数，故可设，其中为常数。 则 所以 21、证明：用表示上的特征函数，由假设对于任何至少属于个，所以，因而。而另一方面，故，从而这个集中必有一集，它的测度大于或等于。22、证明：令， ，易