高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.4 二次函数性质的再研究与幂函数课件 理 北师大版.ppt

2 4二次函数与幂函数 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x a x m 2 n a 0 顶点坐标为 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 x1 x2为f x 的零点 ax2 bx c a 0 m n 知识梳理 2 二次函数的图像和性质 2 幂函数 1 幂函数的定义一般地 形如的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常量 2 常见的5种幂函数的图像 y x 3 常见的5种幂函数的性质 1 幂函数的图像和性质 1 幂函数的图像一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 2 幂函数的图像过定点 1 1 如果幂函数的图像与坐标轴相交 则交点一定是原点 3 当 0时 y x 在 0 上为增函数 当 0时 y x 在 0 上为减函数 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x r不可能是偶函数 3 在y ax2 bx c a 0 中 a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 4 函数y 是幂函数 5 如果幂函数的图像与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 基础自测 1 2 3 4 5 6 1 2 4 5 6 答案 解析 3 1 2 4 5 6 答案 解析 3 已知函数f x x2 4ax在区间 6 内是减少的 则a的取值范围是a a 3b a 3c a 3d a 3 解析函数f x x2 4ax的图像是开口向上的抛物线 其对称轴是x 2a 由函数在区间 6 内是减少的可知 区间 6 应在直线x 2a的左侧 2a 6 解得a 3 故选d 3 几何画板展示 题组三易错自纠4 幂函数f x a z 为偶函数 且f x 在区间 0 上是减函数 则a等于a 3b 4c 5d 6 解析因为a2 10a 23 a 5 2 2 f x a z 为偶函数 且在区间 0 上是减函数 所以 a 5 2 2 0 从而a 4 5 6 又 a 5 2 2为偶数 所以只能是a 5 故选c 解析 1 2 4 5 6 3 答案 5 已知函数y ax2 bx c 如果a b c且a b c 0 则它的图像可能是 解析由a b c 0和a b c知 a 0 c0 排除c 解析 1 2 4 5 6 答案 3 6 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 解析 1 2 4 5 6 1 2 答案 解析如图 由图像可知m的取值范围是 1 2 3 几何画板展示 题型分类深度剖析 典例 1 已知二次函数f x x2 bx c满足f 0 3 对任意x r 都有f 1 x f 1 x 成立 则f x 的解析式为 题型一求二次函数的解析式 师生共研 答案 解析 f x x2 2x 3 解析由f 0 3 得c 3 又f 1 x f 1 x 函数f x 的图像关于直线x 1对称 1 b 2 f x x2 2x 3 2 已知二次函数f x 与x轴的两个交点坐标为 0 0 和 2 0 且有最小值 1 则f x 解析 解析设函数的解析式为f x ax x 2 所以f x ax2 2ax 由 1 得a 1 所以f x x2 2x 答案 x2 2x 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 1 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b r且a 0 x r 若函数f x 的最小值为f 1 0 则f x 解析 解析设函数f x 的解析式为f x a x 1 2 ax2 2ax a 由已知f x ax2 bx 1 a 1 故f x x2 2x 1 答案 x2 2x 1 2 若函数f x x a bx 2a a b r 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 解析 解析由f x 是偶函数知f x 图像关于y轴对称 a 即b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 答案 2x2 4 命题点1二次函数的图像典例 2017 郑州模拟 对数函数y logax a 0且a 1 与二次函数y a 1 x2 x在同一坐标系内的图像可能是 解析 题型二二次函数的图像和性质 多维探究 答案 解析当0 a 1时 y logax为减函数 y a 1 x2 x开口向下 当a 1时 y logax为增函数 y a 1 x2 x开口向上 解析 命题点2二次函数的单调性典例函数f x ax2 a 3 x 1在区间 1 上是减少的 则实数a的取值范围是a 3 0 b 3 c 2 0 d 3 0 答案 解析当a 0时 f x 3x 1在 1 上递减 满足题意 解得 3 a 0 综上 a的取值范围为 3 0 若函数f x ax2 a 3 x 1的递减区间是 1 则a 解析由题意知f x 必为二次函数且a 0 3 解析 答案 命题点3二次函数的最值典例已知函数f x ax2 2ax 1在区间 1 2 上有最大值4 求实数a的值 解答 解f x a x 1 2 1 a 1 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上的值为常数1 不符合题意 舍去 2 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是增函数 3 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 最大值为f 1 1 a 4 解得a 3 将本例改为 求函数f x x2 2ax 1在区间 1 2 上的最大值 解f x x a 2 1 a2 f x 的图像是开口向上的抛物线 对称轴为x a 解答 命题点4二次函数中的恒成立问题典例 1 已知函数f x x2 x 1 在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 则实数m的取值范围是 解析f x 2x m等价于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 令g x x2 3x 1 m 要使g x x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 只需使函数g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上是减少的 g x min g 1 m 1 由 m 1 0 得m 1 因此满足条件的实数m的取值范围是 1 1 解析 答案 2 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 解析2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 3 0 成立 解析 答案 几何画板展示 解决二次函数图像与性质问题时要注意 1 抛物线的开口 对称轴位置 定义区间三者相互制约 要注意分类讨论 2 要注意数形结合思想的应用 尤其是给定区间上的二次函数最值问题 先 定性 作草图 再 定量 看图求解 3 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域 跟踪训练 1 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图像可能是 解析 答案 解析由a c d知 f 0 c 0 从而由abc 0 由b知f 0 c 0 2 已知函数f x x2 2ax 2a 4的定义域为r 值域为 1 则a的值为 解析 1或3 答案 解析由于函数f x 的值域为 1 所以f x min 1 又f x x a 2 a2 2a 4 当x r时 f x min f a a2 2a 4 1 即a2 2a 3 0 解得a 3或a 1 解析 答案 3 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 1 幂函数y f x 经过点 3 则f x 是a 偶函数 且在 0 上是增函数b 偶函数 且在 0 上是减函数c 奇函数 且在 0 上是减函数d 非奇非偶函数 且在 0 上是增函数 题型三幂函数的图像和性质 自主演练 答案 解析 2 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图像如图所示 则a b c d的大小关系是a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c 解析 解析由幂函数的图像可知 在 0 1 上幂函数的指数越大 函数图像越接近x轴 由题图知a b c d 故选b 答案 3 若 2m 1 m2 m 1 则实数m的取值范围是 解析 答案 解析因为函数y 的定义域为 0 且在定义域内为增函数 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 1 幂函数的形式是y x r 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图像越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图像越远离x轴 3 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键 典例 12分 设函数f x x2 2x 2 x t t 1 t r 求函数f x 的最小值 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导研究二次函数的性质 可以结合图像进行 对于含参数的二次函数问题 要明确参数对图像的影响 进行分类讨论 解f x x2 2x 2 x 1 2 1 x t t 1 t r 函数图像的对称轴为x 1 2分 当t 1 1 即t 0时 函数图像如图 1 所示 函数f x 在区间 t t 1 上为减函数 所以最小值为f t 1 t2 1 5分 当t 1 t 1 即0 t 1时 函数图像如图 2 所示 在对称轴x 1处取得最小值 最小值为f 1 1 8分 规范解答 当t 1时 函数图像如图 3 所示 函数f x 在区间 t t 1 上为增函数 所以最小值为f t t2 2t 2 11分 课时作业 1 幂函数y m z 的图像如图所示 则m的值为 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 y m z 的图像与坐标轴没有交点 m2 4m 0 即0 m 4 又 函数的图像关于y轴对称且m z m2 4m为偶数 m 2 解析 答案 a 0b 1c 2d 3 2 2018 江西九江七校联考 若幂函数f x m2 4m 4 在 0 上为增函数 则m的值为a 1或3b 1c 3d 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得m2 4m 4 1 m2 6m 8 0 解得m 1 解析 3 2017 汕头一模 若命题 ax2 2ax 3 0恒成立 是假命题 则实数a的取值范围是a a 0或a 3b a 0或a 3c a 0或a 3d 0 a 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析若ax2 2ax 3 0恒成立 则a 0或可得0 a 3 故当命题 ax2 2ax 3 0恒成立 是假命题时 a 0或a 3 解析 4 已知二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 在 0 2 上是增函数 若f a f 0 则实数a的取值范围是a 0 b 0 c 0 4 d 0 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可知函数f x 的图像开口向下 对称轴为x 2 如图 若f a f 0 从图像观察可知0 a 4 5 已知二次函数f x 2ax2 ax 1 af x2 c f x1 f x2 d 与a值有关 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又依题意 得x10 又x1 x2 0 当x1 x2在对称轴的两侧时 当x1 x2都在对称轴的左侧时 由单调性知f x1 f x2 综上 f x1 f x2 6 若关于x的不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解 则实数a的取值范围是a 2 b 2 c 6 d 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解等价于a x2 4x 2 max 令f x x2 4x 2 x 1 4 所以f x f 4 2 所以a 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p r q 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 已知幂函数f x x 当x 1时 恒有f x x 则 的取值范围是 1 解析当x 1时 恒有f x 1时 函数f x x 的图像在y x的图像的下方 作出幂函数f x x 在第一象限的图像 图略 由图像可知 1时满足题意 解析 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数y x2 3x 4的图像如图所示 10 若f x x2 2ax与g x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 解析由f x x2 2ax在 1 2 上是减函数可得 1 2 a a 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 答案 故0 a 1 11 已知y f x 是偶函数 当x 0时 f x x 1 2 若当x 时 n f x m恒成立 则m n的最小值为 解析 f x 为偶函数 当x0 f x f x x 1 2 x 1 2 解析 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 f x 1 m 1 n 0 m n min 1 12 已知函数f x x2 2a 1 x 3 1 当a 2 x 2 3 时 求函数f x 的值域 解当a 2时 f x x2 3x 3 x 2 3 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若函数f x 在 1 3 上的最大值为1 求实数a的值 解答 f x max f 1 2a 1 2a 1 1 即a 1满足题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知在 1 上递减的函数f x x2 2tx 1 且对任意的x1 x2 0 t 1 总有 f x1 f x2 2 则实数t的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由于函数f x x2 2tx 1的图像的对称轴为x t 函数f x x2 2tx 1在区间 1 上是减少的 t 1 当x 0 t 1 时 f x max f 0 1 f x min f t t2 2t2 1 t2 1 要使对任意的x1 x2 0 t 1 都有 f x1 f x2 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14 当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 5 解析方法一 不等式x2 mx 4 0对x